Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Nguyên hàm (Toán học Lớp 12)

Câu 12. Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=2x-\frac{1}{x}$ trên $(0;+\infty )$ thỏa mãn $F(1)=1$. Tính $F(e)$.

Câu 1. Chủ một trung tâm thương mại muốn cho thuê một số gian hàng như nhau. Người đó muốn tăng giá cho thuê của mỗi gian hàng thêm $x$ (triệu đồng) ($x\ge 0$). Tốc độ thay đổi doanh thu từ các gian hàng đó được biểu diễn bởi hàm số $T^{\prime }(x)=-20x+300$, trong đó $T^{\prime }(x)$ tính bằng triệu đồng. Biết rằng nếu người đó tăng giá thuê cho mỗi gian hàng thêm 10 triệu đồng thì doanh thu là 12 tỷ đồng.

Câu 4. Cho hàm số $f(x)=\frac{2x+1}{x}$.

Câu 6. Một bể chứa nước hình trụ thẳng đứng đang đầy nước. Khi mở một nút xả ở đáy bể, nước chảy ra ngoài với tốc độ giảm thể tích tỷ lệ thuận với căn bậc hai của thể tích nước hiện tại trong bể. Nếu gọi $V(t)$ là thể tích nước còn lại trong bể sau $t$ phút, tốc độ thay đổi thể tích được mô tả bởi phương trình: $V^{\prime }(t)=-k\sqrt{V(t)}$ với $k>0$. Biết bể ban đầu có lượng nước là 144 lít. Sau 10 phút xả, lượng nước còn lại trong bể là 64 lít. Hỏi sau bao lâu kể từ lúc mở nút xả thì bể sẽ cạn hoàn toàn? (Tính bằng phút).

Cho hàm số $f(x)=2x^2+\cos x$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Đối với ngành xử lý môi trường, việc kiểm soát nồng độ hóa chất độc hại tồn dư trong nguồn nước thải là một nhiệm vụ quan trọng. Khi nghiên cứu một phương pháp lọc nước mới, người ta nhận thấy nồng độ hóa chất độc hại $y(t)$ (đơn vị: $\text{mg/lıˊt}$) tồn dư trong bể nước thải của một nhà máy tại thời điểm $t$ ngày ($t\ge 0$) thỏa mãn $y(t)>0$ và $y^{\prime }(t)=-k\cdot y^2(t)$, trong đó $k$ là hằng số dương. Đo nồng độ hóa chất độc hại trong bể tại các thời điểm $t=1$ (ngày) và $t=3$ (ngày) nhận được kết quả lần lượt là $2\text{ mg/lıˊt}$ và $1\text{ mg/lıˊt}$. Cho biết $y(t)=\frac{1}{g(t)}$ với mọi $t\ge 0$. Theo tiêu chuẩn an toàn sinh thái, nhà máy được phép xả bể nước thải ra môi trường bên ngoài khi nồng độ hóa chất độc hại tồn dư trong bể nước thải giảm xuống mức $0,1\text{ mg/lıˊt}$ hoặc thấp hơn. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày kể từ lúc bắt đầu xử lý, bể nước thải đạt tiêu chuẩn để được phép xả thải ra môi trường bên ngoài?

Câu 10. Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=\cos x-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ là

Câu 4. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x)=1-\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ là

Câu 8. Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $K$ và $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Câu 9. Một nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)=2\sin x-\cos x$ thỏa mãn $F\left(\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ là:

Câu 4. Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}2x-1,& \text{khi }x\ge 1\\ 3x^2+2x+m,& \text{khi }x<1\end{array},(m\in \mathbb{R})$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

Câu 4. Nguyên hàm của hàm số $f(x)=e^x\left(1-\frac{2e^{-x}}{x^5}\right)$ có dạng $F(x)=e^{ax}+\frac{b}{2x^c}+C$ với $C$ là hằng số và $a,b,c$ là các số nguyên dương. Tính $a^{2026}\cdot b^{2027}\cdot c^5$.

Câu 6. Họ các nguyên hàm của hàm số $f(x)=2x+1$ là

Câu 1. Cho hàm số $f(x)=3x+2e^x$.

Câu 11. $\int x^{4}dx$ bằng

Câu 1. Cho hàm số $f(x)=3x^2+2{\sin }^{2}x+\sin x-1$. Gọi $F(x)$ là nguyên hàm của hàm số $f(x)$, biết $F(0)=2$. Tính $F\left(\frac{\pi }{2}\right)$? (Kết quả làm tròn đến một chữ số thập phân).

Câu 12. Nguyên hàm của hàm số $4x-\sin x$ là:

Câu 2. Nguyên hàm của hàm số $2x+\cos x$ là:

Biết $f(x)=x^2+2x$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Biết hàm số $f(x)$ thỏa mãn $f^{\prime }(x)=\sin x,\forall x\in \mathbb{R}$. Khẳng định nào dưới đây đúng?