Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Nguyên hàm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng khẳng định: A đúng vì $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$. B đúng vì ${\left(\frac{1}{2}\sin 2x\right)}^{\prime }=\cos 2x$. C sai vì $\int e^{x}dx=e^x+C$, còn ${\left(\frac{e^{x+1}}{x+1}\right)}^{\prime }=e^{x+1}\cdot \frac{x+1-1}{(x+1{)}^2}=\frac{x{e}^{x+1}}{(x+1{)}^2}\ne e^x$. D đúng vì $\int x^{e}dx=\frac{x^{e+1}}{e+1}+C$ (với $e\ne -1$). Vậy khẳng định sai là C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=4x^3-6x$, $F$ là nguyên hàm của $f$ và $F(0)=2$.

a) Theo định nghĩa nguyên hàm, $F^{\prime }(x)=f(x)=4x^3-6x$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. → Đúng.

b) $\int 4x^3\mathrm{d}x-\int 6x\mathrm{d}x=x^4-3x^2+C_1-C_2$, tức chỉ là hiệu của hai nguyên hàm riêng mà thiếu hằng số tích phân tổng thể; viết $F(x)=\int 4x^3\mathrm{d}x-\int 6x\mathrm{d}x$ không phải một nguyên hàm xác định (mỗi tích phân đều có hằng số riêng, biểu thức này không xác định đúng một hàm $F$ với điều kiện $F(0)=2$). → Sai.

c) $F(x)=\int (4x^3-6x)\mathrm{d}x=x^4-3x^2+C$. Với $F(0)=2\Rightarrow C=2$, vậy $F(x)=x^4-3x^2+2$. → Đúng.

d) $F(1)=1^4-3\cdot 1^2+2=1-3+2=0\ne 3$. → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa nguyên hàm: $F^{\prime }(x)=f(x)=4x^3-6x,\forall x\in \mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Biểu thức $\int 4x^3\mathrm{d}x-\int 6x\mathrm{d}x$ thiếu hằng số tích phân tổng thể, không xác định đúng một nguyên hàm $F$ thỏa $F(0)=2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$F(x)=x^4-3x^2+C$; từ $F(0)=2$ suy ra $C=2$, nên $F(x)=x^4-3x^2+2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$F(1)=1-3+2=0\ne 3$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2: f'(x)=8x^3+sin x.
a) Đúng: theo định nghĩa, f là một nguyên hàm của f' vì f'(x) là đạo hàm của f(x).
b) Sai: f(x)=∫(8x^3+sin x)dx=2x^4−cos x+C. Với f(0)=−1+C=3 ⇒ C=4, vậy f(x)=2x^4−cos x+4, không phải 2x^4−cos x+3.
c) Sai: ∫f(x)dx=∫(2x^4−cos x+4)dx=(2/5)x^5−sin x+4x+C, hệ số của x phải là 4 chứ không phải 3.
d) Đúng: đề bài cho F là nguyên hàm của f thỏa mãn F(0)=2, nên khẳng định F(0)=2 là đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
f'(x) là đạo hàm của f(x), nên f(x) là một nguyên hàm của f'(x).
b) (AI giải đề cho tôi)
f(x)=2x^4−cos x+C; f(0)=−1+C=3 ⇒ C=4, nên f(x)=2x^4−cos x+4.
c) (AI giải đề cho tôi)
∫f(x)dx=(2/5)x^5−sin x+4x+C, không phải +3x.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giả thiết đã cho F(0)=2 nên khẳng định đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Với $f(x)=2\cos x$ và $g(x)=2{\sin }^2\frac{x}{2}=1-\cos x$.
a) $\int 2\cos xdx=2\sin x+C$ → đúng.
b) $\int g(x)dx=\int (1-\cos x)dx=x-\sin x+C\ne -\cos x+C$ → sai.
c) $f(x)+g(x)=2\cos x+1-\cos x=1+\cos x$, nên $\int [f(x)+g(x)]dx=x+\sin x+C$ → đúng.
d) Với $g(x)\ne 1$ tức $\cos x\ne 0$: $\frac{f(x)}{g(x)-1}=\frac{2\cos x}{-\cos x}=-2$, nên nguyên hàm là $-2x+C\ne 2x+C$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\int 2\cos xdx=2\sin x+C$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)=1-\cos x$ nên $\int g(x)dx=x-\sin x+C$, không phải $-\cos x+C$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)+g(x)=1+\cos x$ nên nguyên hàm là $x+\sin x+C$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{f(x)}{g(x)-1}=\frac{2\cos x}{-\cos x}=-2$ nên nguyên hàm là $-2x+C$, không phải $2x+C$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\frac{2x+1}{x-2}=\frac{2(x-2)+5}{x-2}=2+\frac{5}{x-2}$. Do đó $\int \frac{2x+1}{x-2}dx=\int \left(2+\frac{5}{x-2}\right)dx=2x+5\ln |x-2|+C$. Vậy $a=2$, $b=5$, nên $a+b=7$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\int f(x)\mathrm{d}x=x\sin x+C$ nên $f(x)=(x\sin x{)}^{\prime }=\sin x+x\cos x$. Do đó $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=\sin \frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}\cos \frac{\pi }{2}=1+0=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x<1$: $F(x)=x^3+4x+C_2$; với $x\ge 1$: $F(x)=x^2+5x+C_1$. Vì $F$ là nguyên hàm trên $\mathbb{R}$ nên $F$ liên tục tại $x=1$: $1+5+C_1=1+4+C_2\Rightarrow C_1=C_2-1$. Từ $F(0)=C_2=2$ suy ra $C_2=2$, $C_1=1$. Khi đó $F(-1)=(-1{)}^3+4(-1)+2=-3$ và $F(2)=2^2+5\cdot 2+1=15$. Vậy $F(-1)+2F(2)=-3+30=27$.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng khẳng định: $\int \sin xdx=-\cos x+C$ nên A sai. $\int \cos xdx=\sin x+C$ nên B sai. $\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=-\cot x+C$ nên C sai. $\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx=\tan x+C$ đúng vì $(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng khẳng định: A đúng vì với $n\ne -1$, $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$. B đúng vì $\int e^{x}dx=e^x+C$. C sai vì $\int 7^{x}dx=\frac{7^x}{\ln 7}+C$, không phải $\frac{7^{x+1}}{x+1}+C$ (đó là công thức sai áp dụng nhầm dạng lũy thừa). D đúng vì $\int \cos xdx=\sin x+C$. Vậy khẳng định sai là C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int 3x^{2}dx=x^3+C$. Các hàm $y=x^3$, $y=x^3+1$, $y=x^3-1$ đều có đạo hàm bằng $3x^2$, nên là nguyên hàm của $f(x)=3x^2$. Với $y=6x$ ta có $y^{\prime }=6\ne 3x^2$, nên $y=6x$ không là nguyên hàm của $f(x)=3x^2$. Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Cần tìm hàm số $f(x)$ sao cho $\sin 2x$ là một nguyên hàm của $f(x)$, tức $\int f(x)dx=\sin 2x+C$, tương đương $f(x)=(\sin 2x{)}^{\prime }=2\cos 2x$.

Kiểm tra: $\int 2\cos 2xdx=\sin 2x+C$, đúng.
- A: $\int \cos 2xdx=\frac{\sin 2x}{2}+C\ne \sin 2x+C$ (sai).
- B: $\int -\frac{\cos 2x}{2}dx=-\frac{\sin 2x}{4}+C$ (sai).
- C: $\int \frac{\cos 2x}{2}dx=\frac{\sin 2x}{4}+C$ (sai).
- D: $\int 2\cos 2xdx=\sin 2x+C$ (đúng).

Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int (x^2+2)dx=\frac{x^3}{3}+2x+C$. Kiểm tra: đạo hàm của $\frac{x^3}{3}+2x+C$ là $x^2+2=f(x)$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=x(4x^2+2)=4x^3+2x$. Do đó $\int f(x)dx=\int (4x^3+2x)dx=x^4+x^2+C$. Vậy đáp án D. Kiểm tra: $F^{\prime }(x)=4x^3+2x=f(x)$ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int e^{2x}dx=\frac{e^{2x}}{2}+C$ và $\int \sin 3xdx=-\frac{\cos 3x}{3}+C$. Vậy $\int f(x)dx=\frac{e^{2x}}{2}-\frac{\cos 3x}{3}+C$, tương ứng phương án D. Kiểm tra bằng đạo hàm: ${\left(\frac{e^{2x}}{2}-\frac{\cos 3x}{3}\right)}^{\prime }=e^{2x}+\sin 3x=f(x)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) F'(x)=[(2ax+b)(2x+3)+(ax²+bx+c)]/√(2x+3)=[5ax²+(6a+2b)x+(3b+c)]/√(2x+3). Suy ra 5a=20→a=4; 6a+2b=30→b=3; 3b+c=11→c=2. T=4+3+2=9≠10 → sai.
b) ∫₂⁵ (xf(x)+x²−1)/x dx = ∫₂⁵ f(x)dx + ∫₂⁵ (x−1/x)dx = 2 + [x²/2 − ln x]₂⁵ = 2 + 21/2 + ln(2/5) = 25/2 + ln(2/5) → a=25 → đúng.
c) Lợi nhuận biên P'(t)=R'(t)−C'(t)=602−15t². P'(t)=0 khi t=√(602/15)≈6,34 năm. Lợi nhuận bắt đầu giảm sau thời điểm này, nên tuổi thọ hữu ích ≈6,34 năm ≠ 8 → sai.
d) f(x)=5^x ln5 − 2x + 1/x − 1/(x+1). Tổng = ln5·5(5^2025−1)/4 − 2·(2025·2026/2) + (1−1/2025) = (5/4)ln5(5^2025−1) − 2025·2026 + 2024/2025. Vậy a=2025, b=2026, a+b=4051 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
So sánh tử số: 5a=20, 6a+2b=30, 3b+c=11 cho a=4, b=3, c=2, T=9≠10.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tích phân bằng 2 + 21/2 + ln(2/5) = 25/2 + ln(2/5), suy ra a=25.
c) (AI giải đề cho tôi)
P'(t)=602−15t²=0 tại t≈6,34 năm, không phải 8 năm.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng các f(k) cho a=2025, b=2026 nên a+b=4051.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int (3x+\cos 3x)dx=\frac{3x^2}{2}+\frac{\sin 3x}{3}+C$, vì $\int 3xdx=\frac{3x^2}{2}$ và $\int \cos 3xdx=\frac{\sin 3x}{3}$. Đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{x^2+5x-7}{x}=x+5-\frac{7}{x}$ với $x\ne 0$.
a) Đúng: chia tử cho mẫu ta được $f(x)=x+5-\frac{7}{x}$.
b) Đúng: $\int f(x)dx=\int \left(x+5-\frac{7}{x}\right)dx=\frac{x^2}{2}+5x-7\ln |x|+C$.
c) Sai: nguyên hàm $F(x)=\frac{x^2}{2}+5x-7\ln |x|+C$; điều kiện $F(1)=\frac{1}{2}+5+C=5$ cho $C=-\frac{1}{2}$, vậy $F(x)=\frac{x^2}{2}+5x-7\ln |x|-\frac{1}{2}$, không phải $+\frac{1}{2}$.
d) Sai: với $G(x)=\frac{x^2}{2}+5x-7\ln |x|+C$, điều kiện $G(1)=\frac{1}{2}+5+C=4$ cho $C=-\frac{3}{2}$. Khi đó $G(3)=\frac{9}{2}+15-7\ln 3=\frac{39}{2}-7\ln 3$ và $G(-9)=\frac{81}{2}-45-7\ln 9=-\frac{9}{2}-14\ln 3$, suy ra $G(3)+G(-9)=15-21\ln 3\approx -8,07\ne 20$. Hai điều kiện $G(1)=4$ và $G(3)+G(-9)=20$ là mâu thuẫn (không tồn tại $G$ thỏa mãn cả hai), nên khẳng định d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Chia tử cho mẫu: $\frac{x^2+5x-7}{x}=x+5-\frac{7}{x}$, đúng với mọi $x\ne 0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\int \left(x+5-\frac{7}{x}\right)dx=\frac{x^2}{2}+5x-7\ln |x|+C$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$F(1)=\frac{1}{2}+5+C=5\Rightarrow C=-\frac{1}{2}$, nên $F(x)=\frac{x^2}{2}+5x-7\ln |x|-\frac{1}{2}$, không phải $+\frac{1}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$G(1)=4\Rightarrow C=-\frac{3}{2}$. Khi đó $G(3)=\frac{39}{2}-7\ln 3$ và $G(-9)=-\frac{9}{2}-14\ln 3$, suy ra $G(3)+G(-9)=15-21\ln 3\ne 20$: các điều kiện mâu thuẫn, không tồn tại $G$ thỏa mãn, nên khẳng định sai.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x<0$: $f(x)=2{\cos }^2\frac{x}{2}=1+\cos x$, nên $F(x)=x+\sin x+C_1$. Từ $F\left(-\frac{\pi }{3}\right)=\pi$: $-\frac{\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}+C_1=\pi \Rightarrow C_1=\frac{4\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$. Vậy với $x<0$: $F(x)=\sin x+x+\frac{4\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$ (khẳng định b đúng). Do $F$ liên tục tại $0$: $F(0)=\frac{4\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$. Với $x\ge 0$: $F(x)=-\cos x+2x+C_2$, $F(0)=-1+C_2=\frac{4\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow C_2=\frac{4\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}+2}{2}$, nên khẳng định c đúng. a) Sai vì $\int (\sin x+2)dx=-\cos x+2x+C$. d) Tính: $F\left(-\frac{2\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{2\pi }{3}+\frac{4\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2\pi }{3}$; $F\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{2\pi }{3}-\frac{1}{2}+\frac{4\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}+2}{2}=2\pi +\frac{\sqrt{3}}{2}$; $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=\pi -0+\frac{4\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}+2}{2}=\frac{7\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}+1$. Tổng: $\frac{2\pi }{3}+2\pi +\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{7\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}-1=\frac{\pi }{3}-1\ne 5\pi$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\int (\sin x+2)dx=-\cos x+2x+C$, không phải $\cos x+2x+C$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $x<0$, $f(x)=1+\cos x$ nên $F(x)=x+\sin x+C_1$; từ $F(-\pi /3)=\pi$ suy ra $C_1=\frac{4\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$, đúng như khẳng định.
c) (AI giải đề cho tôi)
Do tính liên tục tại $0$, $F(0)=\frac{4\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$; với $x\ge 0$, $F(x)=-\cos x+2x+C_2$ với $C_2=\frac{4\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}+2}{2}$, đúng như khẳng định.
d) (AI giải đề cho tôi)
$F(-2\pi /3)=\frac{2\pi }{3}$, $F(\pi /3)=2\pi +\frac{\sqrt{3}}{2}$, $F(\pi /2)=\frac{7\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}+1$; tổng bằng $\frac{\pi }{3}-1\ne 5\pi$.

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: ∫h'(t)dt = at³ + b·t²/2 + C nên a) đúng. Vì ban đầu bể không có nước nên h(0)=0 ⇒ C=0, do đó h(t)=at³+b·t²/2, khẳng định b) (với hằng số +1) sai. Từ h(5)=150: 125a+12,5b=150 ⇔ 10a+b=12; từ h(10)=1100: 1000a+50b=1100 ⇔ 20a+b=22. Trừ hai phương trình: 10a=10 ⇒ a=1, b=2 ⇒ a·b=2, c) đúng. h(20)=8000+2·(400/2)=8000+400=8400 m³ ≠ 8040 m³, d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
∫(3at²+bt)dt = at³ + b·t²/2 + C, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì h(0)=0 nên C=0, h(t)=at³+b·t²/2, không có hằng số +1.
c) (AI giải đề cho tôi)
h(5)=125a+12,5b=150 và h(10)=1000a+50b=1100 cho hệ 10a+b=12, 20a+b=22 ⇒ a=1, b=2 ⇒ a·b=2.
d) (AI giải đề cho tôi)
h(20)=1·8000+2·(400/2)=8400 m³, không phải 8040 m³.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(t)=t^2-8t$ trên đoạn $[3;10]$ và $f(3)=50$. Nguyên hàm tổng quát: $f(t)=\int (t^2-8t)dt=\frac{t^3}{3}-4t^2+C$. Thay $f(3)=9-36+C=50\Rightarrow C=77$, vậy $f(t)=\frac{t^3}{3}-4t^2+77$ trên $[3;10]$.
a) Sai: $\int (t^2-8t)dt=\frac{t^3}{3}-4t^2+C$, không phải $\frac{t^3}{3}-8t^2+C$.
b) Sai: $f^{\prime }(t)=t(t-8)<0$ với $t\in (3;8)$ và $f^{\prime }(t)>0$ với $t\in (8;10)$, nên số lượng giảm trên $(3;8)$ rồi mới tăng trên $(8;10)$, không tăng liên tục từ 3 đến 10 giờ.
c) Đúng: từ kết quả câu b, $f$ giảm trên $[3;8]$ và tăng trên $[8;10]$, nên $f$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $t=8$ (tức sau 8 giờ từ lúc bắt đầu thí nghiệm).
d) Đúng: $f(6)=\frac{216}{3}-4\cdot 36+77=72-144+77=5$ con.
a) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm của $f^{\prime }(t)=t^2-8t$ là $\frac{t^3}{3}-4t^2+C$, không phải $\frac{t^3}{3}-8t^2+C$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(t)=t(t-8)$ âm trên $(3;8)$ và dương trên $(8;10)$, nên số lượng giảm rồi tăng, không tăng liên tục.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f$ giảm trên $[3;8]$ và tăng trên $[8;10]$ nên đạt nhỏ nhất tại $t=8$ giờ.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $f(t)=\frac{t^3}{3}-4t^2+77$ (do $f(3)=50$), ta có $f(6)=72-144+77=5$ con.