Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Nguyên hàm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin x\cos 2x=\sin x(2{\cos }^{2}x-1)$. Đặt $u=\cos x$, $du=-\sin xdx$ thì họ nguyên hàm là $F(x)=\cos x-\frac{2}{3}{\cos }^{3}x+C$.

Tại $x=\frac{\pi }{6}$: $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, nên $F\left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{2}{3}\cdot \frac{3\sqrt{3}}{8}+C=\frac{\sqrt{3}}{4}+C=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow C=\frac{\sqrt{3}}{4}$.

Tại $x=\frac{\pi }{3}$: $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$, nên $F\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}-\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{8}+\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{5}{12}+\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{5+3\sqrt{3}}{12}$.

Vậy $a=3,b=3,c=12$ và $T=a+b+c=3+3+12=18$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\tan }^{2}x={\sec }^{2}x-1$ và ${\cot }^{2}x={\csc }^{2}x-1$. Do đó $$\int f(x)dx=\int ({\sec }^{2}x-1)dx+\int ({\csc }^{2}x-1)dx=\tan x-x-\cot x-x+C=\tan x-\cot x-2x+C.$$ Kiểm tra bằng đạo hàm: $(\tan x-\cot x-2x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x+{\csc }^{2}x-2=(1+{\tan }^{2}x)+(1+{\cot }^{2}x)-2={\tan }^{2}x+{\cot }^{2}x=f(x)$. Vậy đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int 2^{x}dx=\frac{2^x}{\ln 2}+C$ và $\int e^{x}dx=e^x+C$. Vậy $\int (2^x+e^x)dx=\frac{2^x}{\ln 2}+e^x+C$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Trên $(0;+\infty )$ ta có $f(x)=x^2\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}=x^{5/2}+x^{-2/3}$. Khi đó $\int x^{5/2}dx=\frac{x^{7/2}}{7/2}+C=\frac{2}{7}\sqrt{x^7}+C$ và $\int x^{-2/3}dx=\frac{x^{1/3}}{1/3}+C=3\sqrt[3]{x}+C$. Vậy $\int f(x)dx=\frac{2}{7}\sqrt{x^7}+3\sqrt[3]{x}+C$, tương ứng phương án A. Kiểm tra bằng đạo hàm: ${\left(\frac{2}{7}{x}^{7/2}\right)}^{\prime }=x^{5/2}$, $(3x^{1/3}{)}^{\prime }=x^{-2/3}$, đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int \frac{dx}{5x-2}=\frac{1}{5}\ln |5x-2|+C$ vì ${\left(\frac{1}{5}\ln |5x-2|\right)}^{\prime }=\frac{1}{5}\cdot \frac{5}{5x-2}=\frac{1}{5x-2}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=(x^2+1{)}^2=x^4+2x^2+1$, nên $F(x)=\frac{x^5}{5}+\frac{2x^3}{3}+x+C$. Với $F(1)=\frac{18}{15}$: $\frac{1}{5}+\frac{2}{3}+1=\frac{3+10+15}{15}=\frac{28}{15}$, suy ra $C=\frac{18}{15}-\frac{28}{15}=-\frac{10}{15}=-\frac{2}{3}$. Vậy $F(x)=\frac{x^5}{5}+\frac{2x^3}{3}+x-\frac{2}{3}$, đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{3}{x+1}$ nên trên mỗi khoảng liên tục, $f(x)=3\ln |x+1|+C$.

Trên khoảng $(-1;+\infty )$: $f(x)=3\ln (x+1)+C_1$. Vì $f(0)=1$ nên $C_1=1$, do đó $f(1)=3\ln 2+1$.

Trên khoảng $(-\infty ;-1)$: $f(x)=3\ln (-(x+1))+C_2=3\ln (-x-1)+C_2$. Khi đó $f(-2)=3\ln 1+C_2=C_2$.

Điều kiện $f(1)+f(-2)=2$ cho: $(3\ln 2+1)+C_2=2\Rightarrow C_2=1-3\ln 2$.

Vậy $f(-3)=3\ln 2+C_2=3\ln 2+1-3\ln 2=1$.

Đáp án: C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)=3x^2+6x+2$ nên $F^{\prime }(x)=f(x)$. Ta có $F^{\prime }(x)=3a{x}^2+2(a+b)x+(2a-b+c)$. So sánh hệ số: $3a=3\Rightarrow a=1$; $2(a+b)=6\Rightarrow b=2$; $2a-b+c=2\Rightarrow 2-2+c=2\Rightarrow c=2$. Vậy $S=a+b+c=1+2+2=5$. Đáp án D.

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=\sin 2x+\cos 2x$ là: $\frac{1}{2}(-\cos 2x+\sin 2x)+C$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int 2\sin xdx=-2\cos x$ và $\int -3\cos xdx=-3\sin x$. Vậy họ nguyên hàm là $-2\cos x-3\sin x+C$, tương ứng phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $\int 6x^{5}dx=x^6$ và $\int x^{-3}dx=\frac{x^{-2}}{-2}=-\frac{1}{2x^2}$. Vậy $F(x)=x^6-\frac{1}{2x^2}+C$. Với $F(1)=0$: $1-\frac{1}{2}+C=0\Rightarrow C=-\frac{1}{2}$. Do đó $F(x)=x^6-\frac{1}{2x^2}-\frac{1}{2}$... kiểm tra lại: $F(1)=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$ đúng, nhưng so với các đáp án, phương án có $+\frac{1}{2}$ là A cho $F(1)=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1\ne 0$; phương án C cho $F(1)=0$. Tính lại đạo hàm của C: $F^{\prime }(x)=6x^5+\frac{1}{x^3}$ đúng. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ nghĩa là $F^{\prime }(x)=f(x)$ với mọi $x\in K$. Vậy khẳng định đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
a) $F^{\prime }(x)=4x^3\ne 4x^3+5x=f(x)$ nên khẳng định SAI. b) Với $x\ne 0$, $F^{\prime }(x)=\frac{1}{x}=f(x)$ nên khẳng định ĐÚNG. c) $f(x)=(x^2-3)(4x+3)=4x^3+3x^2-12x-9$, còn $F^{\prime }(x)=4x^3+12x^2-12x-9\ne f(x)$ nên SAI. d) Nguyên hàm tổng quát: $F(x)=x^4+4x^3-6x^2-9x+C$. Vì $F(1)=1+4-6-9+C=-10+C=-10$ nên $C=0$, do đó $F(0)=0\ne 3$, khẳng định SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
$F^{\prime }(x)=4x^3$ khác $f(x)=4x^3+5x$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$F^{\prime }(x)={\left(\ln |x|+1\right)}^{\prime }=\frac{1}{x}=f(x)$ với mọi $x\ne 0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=4x^3+3x^2-12x-9$ nhưng $F^{\prime }(x)=4x^3+12x^2-12x-9\ne f(x)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$F(x)=x^4+4x^3-6x^2-9x+C$; từ $F(1)=-10$ suy ra $C=0$, nên $F(0)=0\ne 3$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int (1+\sin x)dx=x-\cos x+C$. So sánh với $ax+b\cos x+C$ cho ta $a=1$, $b=-1$. Vậy $a=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Tính tuyến tính của tích phân bất định: $\int (f(x)-g(x))dx=\int f(x)dx-\int g(x)dx$ đúng. Tích phân không có tính chất nhân/quy đối với tích hay thương của hai hàm, nên A, B, C sai.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng phương án: $\int 1dx=x+C\ne 0$ nên A sai. $\int x^{2}dx=\frac{x^3}{3}+C\ne 2x+C$ nên B sai. $\int xdx=\frac{x^2}{2}+C\ne x^2+C$ nên C sai. $\int 1dx=x+C$ đúng, chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên khoảng $K$ nếu $F^{\prime }(x)=f(x)$ với mọi $x\in K$. Do đó đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int \frac{1}{2x+1}dx=\frac{1}{2}\ln |2x+1|+C$ (đổi biến $u=2x+1$, $du=2dx$).
a) Sai: thiếu hệ số $\frac{1}{2}$, đúng phải là $\frac{1}{2}\ln |2x+1|+C$.
b) Đúng: theo định nghĩa nguyên hàm, nếu $F$ là nguyên hàm của $f$ thì $F^{\prime }(x)=f(x)=\frac{1}{2x+1}$.
c) Sai: $F(x)=\frac{1}{2}\ln |2x+1|+C$; với $F(0)=1$ thì $C=1$, nên $F(x)=\frac{1}{2}\ln |2x+1|+1$ (không phải $-1$).
d) Sai: $\int (2x+1)f(x)dx=\int 1dx=x+C$, không phải $x+2\ln |2x+1|+C$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\int \frac{1}{2x+1}dx=\frac{1}{2}\ln |2x+1|+C$, mệnh đề thiếu hệ số $\frac{1}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, $F$ là nguyên hàm của $f$ khi và chỉ khi $F^{\prime }(x)=f(x)=\frac{1}{2x+1}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$F(x)=\frac{1}{2}\ln |2x+1|+C$; từ $F(0)=1$ suy ra $C=1$, nên $F(x)=\frac{1}{2}\ln |2x+1|+1$, không phải $-1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$(2x+1)\cdot f(x)=1$ nên $\int (2x+1)f(x)dx=x+C$, không phải $x+2\ln |2x+1|+C$.

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $F(x)=x^3-2x^2+x+C$. Với $F(2)=8-8+2+C=2+C=2$ suy ra $C=0$, nên $F(x)=x^3-2x^2+x$. Do đó $F(3)=27-18+3=12$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức nguyên hàm $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ với $n=4$, ta có $\int x^{4}dx=\frac{1}{5}{x}^5+C$. Kiểm tra: đạo hàm của $\frac{1}{5}{x}^5+C$ là $x^4$. Vậy đáp án đúng là A.