Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Nguyên hàm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int \cos xdx=\sin x+C$ và $\int 6xdx=3x^2+C$. Vậy họ nguyên hàm của $f(x)=\cos x+6x$ là $\sin x+3x^2+C$, tương ứng với phương án A. Kiểm tra: đạo hàm của $\sin x+3x^2+C$ là $\cos x+6x=f(x)$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int x^{3}dx=\frac{x^{3+1}}{3+1}+C=\frac{1}{4}{x}^4+C$. Kiểm tra: đạo hàm của $\frac{1}{4}{x}^4+C$ là $\frac{1}{4}\cdot 4x^3=x^3=f(x)$, đúng. Vậy họ tất cả các nguyên hàm của $f(x)=x^3$ là $\frac{1}{4}{x}^4+C$, tương ứng phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. $\int \left(2x+\sin \frac{x}{2}\right)dx=x^2-2\cos \frac{x}{2}+C$ vì $\int \sin \frac{x}{2}dx=-2\cos \frac{x}{2}+C$, không phải $-\cos \frac{x}{2}$. b) Sai. $(e^x+e^{-x}{)}^2=e^{2x}+2+e^{-2x}$, nên nguyên hàm là $\frac{1}{2}{e}^{2x}+\frac{1}{2}{e}^{-2x}+2x+C$ (hệ số của $x$ phải là 2, không phải 1). c) Đúng. $\int \frac{1}{x}dx=\ln x+C$ và $\int \frac{2}{x^2}dx=-\frac{2}{x}+C$, tổng lại đúng bằng $\ln x-\frac{2}{x}+C$. d) Sai. $\frac{x^2+\ln x}{x}=x+\frac{\ln x}{x}$, nên nguyên hàm là $\frac{x^2}{2}+\frac{(\ln x{)}^2}{2}+C$, không phải $\frac{1}{2}\ln x$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm đúng là $x^2-2\cos \frac{x}{2}+C$ vì $\int \sin \frac{x}{2}dx=-2\cos \frac{x}{2}+C$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Khai triển $(e^x+e^{-x}{)}^2=e^{2x}+2+e^{-2x}$, nguyên hàm là $\frac{1}{2}{e}^{2x}+\frac{1}{2}{e}^{-2x}+2x+C$, hệ số của $x$ sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\int \left(\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}\right)dx=\ln x-\frac{2}{x}+C$, đúng như mệnh đề.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\int \frac{x^2+\ln x}{x}dx=\int \left(x+\frac{\ln x}{x}\right)dx=\frac{x^2}{2}+\frac{(\ln x{)}^2}{2}+C$, không phải $\frac{1}{2}\ln x$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $F^{\prime }(x)=(2ax+b)\sqrt{2x-4}+\frac{a{x}^2+bx+c}{\sqrt{2x-4}}=\frac{(2ax+b)(2x-4)+a{x}^2+bx+c}{\sqrt{2x-4}}=\frac{5a{x}^2+(4b-8a)x+(c-4b)}{\sqrt{2x-4}}$. Đồng nhất với $f(x)=\frac{10x^2-13x-252}{\sqrt{2x-4}}$: $5a=10\Rightarrow a=2$; $4b-8a=-13\Rightarrow 4b=3\Rightarrow b=\frac{3}{4}$; $c-4b=-252\Rightarrow c=-255$. Vậy $T=abc=2\cdot \frac{3}{4}\cdot (-255)=-\frac{765}{2}=-382,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int 2\sin xdx=2\int \sin xdx=2(-\cos x)+C=-2\cos x+C$. Kiểm tra: $(-2\cos x+C{)}^{\prime }=2\sin x=f(x)$, đúng. Các phương án khác sai: $(2\cos x+C{)}^{\prime }=-2\sin x$; $({\sin }^{2}x+C{)}^{\prime }=2\sin x\cos x=\sin 2x\ne 2\sin x$ (nói chung); $(\sin 2x+C{)}^{\prime }=2\cos 2x\ne 2\sin x$. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Tính $\int \sqrt{2x-1}dx$ bằng cách đặt $u=2x-1$, khi đó $du=2dx$ nên $dx=\frac{1}{2}du$. Do đó $\int \sqrt{2x-1}dx=\frac{1}{2}\int \sqrt{u}du=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}{u}^{3/2}+C=\frac{1}{3}(2x-1{)}^{3/2}+C=\frac{1}{3}(2x-1)\sqrt{2x-1}+C$. Kiểm tra bằng đạo hàm: ${\left[\frac{1}{3}(2x-1)\sqrt{2x-1}\right]}^{\prime }=\frac{1}{3}\left(2\sqrt{2x-1}+(2x-1)\cdot \frac{1}{\sqrt{2x-1}}\right)=\frac{1}{3}\cdot 3\sqrt{2x-1}=\sqrt{2x-1}=f(x)$. Vậy đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $(\cot x{)}^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$, do đó $\int \frac{dx}{{\sin }^{2}x}=-\cot x+C$. Vậy họ các nguyên hàm của $f(x)=\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ là $-\cot x+C$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{1-x}{x}=\frac{1}{x}-1$, nên $f(x)=\ln |x|-x+C$. Với $f(1)=5$: $\ln 1-1+C=5\Rightarrow C=6$. Vậy $f(x)=\ln |x|-x+6$, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int 3^{x}dx=\frac{3^x}{\ln 3}+C$ và $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$ (với $x\ne 0$). Vậy họ nguyên hàm của $f(x)=3^x+\frac{1}{x}$ là $\frac{3^x}{\ln 3}+\ln |x|+C$, trùng với đáp án B và khớp với đáp án của đề (mã đề 102, câu 1: B).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $F(x)=2x^2+x\Rightarrow F^{\prime }(x)=4x+1=f(x)$, nên $F(x)=2x^2+x$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$. Kiểm tra các phương án khác: $F(x)=2x^2+2x\Rightarrow F^{\prime }(x)=4x+2\ne f(x)$ (sai); $F(x)=2x^2+x+2\Rightarrow F^{\prime }(x)=4x+1=f(x)$ nên đây là một nguyên hàm, khẳng định C sai; $F(x)=4x^2+x\Rightarrow F^{\prime }(x)=8x+1\ne f(x)$ (sai). Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 102, Câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
a) $(3x^3-x^2+3x+3{)}^{\prime }=9x^2-2x+3\ne f(x)=6x^2-2x+3$, nên SAI. Nguyên hàm đúng dạng $2x^3-x^2+3x+C$. b) $(F+G{)}^{\prime }=F^{\prime }+G^{\prime }=f+g$, nên ĐÚNG. c) Đúng theo định nghĩa nguyên hàm trên $\mathbb{R}$: $G^{\prime }(x)=g(x),\forall x\in \mathbb{R}$ — ĐÚNG. d) $\int (6x^2-2x+4+2\sin x)dx=2x^3-x^2+4x-2\cos x+C$ — ĐÚNG. Kết quả SĐĐĐ khớp bảng đáp án mã đề 102 (Câu 1: SDDD).
a) (AI giải đề cho tôi)
$(3x^3-x^2+3x+3{)}^{\prime }=9x^2-2x+3\ne f(x)=6x^2-2x+3$, nên không phải nguyên hàm của $f(x)$. Nguyên hàm đúng dạng $2x^3-x^2+3x+C$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(F(x)+G(x){)}^{\prime }=F^{\prime }(x)+G^{\prime }(x)=f(x)+g(x)$, nên $F(x)+G(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)+g(x)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đúng theo định nghĩa: $G(x)$ là nguyên hàm của $g(x)$ trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $G^{\prime }(x)=g(x)$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\int [f(x)+g(x)]dx=\int (6x^2-2x+4+2\sin x)dx=2x^3-x^2+4x-2\cos x+C$.

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $F(x)=e^x+2x^2+C$. Với $F(0)=1+C=2$ suy ra $C=1$, nên $F(x)=e^x+2x^2+1$. Do đó $F(3)=e^3+18+1\approx 20,0855+19=39,0855\approx 39,1$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\int f(x)dx=2x^3-x+C$ suy ra $f(x)=6x^2-1$. Khi đó $g(x)=3f(x)=18x^2-3$, nên $\int g(x)dx=6x^3-3x+C$. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 5: D).

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng khẳng định: A) $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$ nên $\int \cos xdx=\sin x+C$ đúng. B) Sai khi $\alpha =-1$ (khi đó $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$); nói chung phải là $\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C$ với $\alpha \ne -1$. C) $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$ nên $\int \sin xdx=-\cos x+C$, sai. D) $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$, thiếu giá trị tuyệt đối nên sai. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int 3^{x}dx=\frac{3^x}{\ln 3}+C$ và $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$. Vậy họ nguyên hàm của $f(x)=3^x+\frac{1}{x}$ là $\frac{3^x}{\ln 3}+\ln |x|+C$, trùng với đáp án A và khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (mã đề 101): a) ∫[f(x)+g(x)]dx = ∫(6x²−2x+4+2sin x)dx = 2x³−x²+4x−2cos x+C → Đúng. b) Theo tính chất tuyến tính của nguyên hàm: [F(x)+G(x)]' = f(x)+g(x) → Đúng. c) Đạo hàm của 3x³−x²+3x+3 là 9x²−2x+3 ≠ 6x²−2x+3, nên đây không phải nguyên hàm của f(x) (nguyên hàm đúng dạng 2x³−x²+3x+C) → Sai. d) Theo định nghĩa, G(x) là nguyên hàm của g(x) trên ℝ nếu G'(x)=g(x) với mọi x∈ℝ → Đúng. Khớp bảng đáp án mã đề 101: DDSD.
a) (AI giải đề cho tôi)
∫(6x²−2x+3+2sin x+1)dx = 2x³−x²+4x−2cos x+C, đúng như đề.
b) (AI giải đề cho tôi)
[F(x)+G(x)]' = F'(x)+G'(x) = f(x)+g(x), nên F+G là nguyên hàm của f+g.
c) (AI giải đề cho tôi)
(3x³−x²+3x+3)' = 9x²−2x+3 ≠ 6x²−2x+3 = f(x), nên khẳng định sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đúng theo định nghĩa nguyên hàm trên ℝ: G'(x)=g(x), ∀x∈ℝ.

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $F(x)=e^x+2x^2+C$. Với $F(0)=1+C=2$ suy ra $C=1$, nên $F(x)=e^x+2x^2+1$. Do đó $F(3)=e^3+18+1\approx 20,0855+19=39,0855\approx 39,1$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng khẳng định: A sai vì công thức $\int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C$ chỉ đúng khi $\alpha \ne -1$. B sai vì $\int \sin xdx=-\cos x+C$. C đúng vì $(\sin x+C{)}^{\prime }=\cos x$, tức $\int \cos xdx=\sin x+C$. D sai vì $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$ (chỉ đúng với $x>0$). Vậy đáp án đúng là C, khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int (4x+1)dx=2x^2+x+C$. Kiểm tra từng phương án: A: $F^{\prime }(x)=4x+2\ne 4x+1$, sai. B: $F^{\prime }(x)=4x+1=f(x)$, đúng. C: $F(x)=2x^2+x+2$ có $F^{\prime }(x)=4x+1=f(x)$ nên nó là một nguyên hàm của $f(x)$, khẳng định C sai. D: $F^{\prime }(x)=8x+1\ne 4x+1$, sai. Vậy đáp án B, khớp với mã đề 101 trong bảng đáp án.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int f(x)dx=2x^3-x+C$, nên theo tính chất tuyến tính của nguyên hàm: $\int g(x)dx=\int 3f(x)dx=3\int f(x)dx=3(2x^3-x)+C=6x^3-3x+C$. Vậy họ nguyên hàm của $g(x)=3f(x)$ là $6x^3-3x+C$, khớp với đáp án B (đáp án nguồn cho mã đề 101 là B).