Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Nguyên hàm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng nguyên hàm: A đúng vì $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$; B đúng vì $(\ln |x|{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$; D đúng vì $(e^x{)}^{\prime }=e^x$. C sai vì theo công thức $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ ta có $\int x^{2026}dx=\frac{x^{2027}}{2027}+C$, không phải $2026x^{2025}+C$ (đó là kết quả của phép đạo hàm). Vậy mệnh đề SAI là C, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, Câu 1: C).

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng mệnh đề: $\int e^{x}dx=e^x+C$ đúng; $\int \cos xdx=\sin x+C$ đúng; $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$ đúng. Với B: $\int x^{2026}dx=\frac{x^{2027}}{2027}+C$, không phải $2026x^{2025}+C$ (đó là công thức đạo hàm). Vậy mệnh đề SAI là B, khớp đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 6: B).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int \sin xdx=-\cos x+C$ và $\int -2e^{x}dx=-2e^x+C$. Vậy họ nguyên hàm của $f(x)=\sin x-2e^x$ là $-\cos x-2e^x+C$, tương ứng phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $F(x)=-\cos x+2\sin x+C$. Do $F(0)=1$ nên $-1+C=1\Rightarrow C=2$, tức $F(x)=-\cos x+2\sin x+2$. Suy ra $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=-\cos \frac{\pi }{2}+2\sin \frac{\pi }{2}+2=0+2+2=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int 3^{-x}dx=\frac{3^{-x}}{-\ln 3}+C=-\frac{1}{3^x\ln 3}+C$. Kiểm tra: đạo hàm của $-\frac{1}{3^x\ln 3}$ là $-\frac{1}{\ln 3}\cdot 3^{-x}\ln \frac{1}{3}=-\frac{1}{\ln 3}\cdot 3^{-x}\cdot (-\ln 3)=3^{-x}=\frac{1}{3^x}=f(x)$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}$. Nguyên hàm: $\int x^{\frac{1}{3}}dx=\frac{x^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1}+C=\frac{3}{4}{x}^{\frac{4}{3}}+C=\frac{3}{4}x\cdot x^{\frac{1}{3}}+C=\frac{3x\sqrt[3]{x}}{4}+C$. Kiểm tra đạo hàm của $F(x)=\frac{3x\sqrt[3]{x}}{4}$: $F^{\prime }(x)=\frac{3}{4}\cdot \frac{4}{3}{x}^{\frac{1}{3}}=x^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{x}=f(x)$. Vậy đáp án là B. (Lưu ý: đáp án D sai vì $\frac{3}{4}{x}^{\frac{3}{4}}$ có đạo hàm $\frac{9}{16}{x}^{-\frac{1}{4}}\ne \sqrt[3]{x}$.)

(AI giải đề cho tôi)
Tích phân của tích hai hàm số nói chung không bằng tích hai tích phân. Ví dụ với $f(x)=g(x)=x$ thì $\int x^{2}dx=\frac{x^3}{3}+C$ còn $\int xdx\cdot \int xdx={\left(\frac{x^2}{2}\right)}^2=\frac{x^4}{4}+C$, hai kết quả khác nhau. Các tính chất A, C, D đều là tính chất tuyến tính đúng của tích phân bất định. Vậy khẳng định SAI là B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $g(x)=2^x$.
a) $g^{\prime }(x)=2^x\ln 2=h(x)$, vậy $g(x)$ là một nguyên hàm của $h(x)$; khẳng định 'g(x) không phải là nguyên hàm của h(x)' SAI.
b) $\int 2^{x}dx=\frac{2^x}{\ln 2}+C$, nên mọi nguyên hàm của $g(x)$ có dạng $G(x)=\frac{2^x}{\ln 2}+C$. ĐÚNG.
c) $G^{\prime }(x)=2^x=g(x)$ nên $G(x)$ là nguyên hàm của $g(x)$; $G(1)=\frac{2}{\ln 2}+1-\frac{2}{\ln 2}=1$. ĐÚNG.
d) $G(0)=\frac{1}{\ln 2}+C=\frac{1}{\ln 2}\Rightarrow C=0$, nên $G(x)=\frac{2^x}{\ln 2}$. Khi đó $T=\frac{2^0+2^1+\cdots +2^{2025}}{\ln 2}=\frac{2^{2026}-1}{\ln 2}\ne \frac{2^{2026}+1}{\ln 2}$. SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
$g^{\prime }(x)=2^x\ln 2=h(x)$ nên $g(x)$ là một nguyên hàm của $h(x)$; khẳng định sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\int 2^{x}dx=\frac{2^x}{\ln 2}+C$, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$G^{\prime }(x)=2^x=g(x)$ và $G(1)=\frac{2}{\ln 2}+1-\frac{2}{\ln 2}=1$, đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$C=0$ nên $G(x)=\frac{2^x}{\ln 2}$; tổng cấp số nhân $T=\frac{2^{2026}-1}{\ln 2}\ne \frac{2^{2026}+1}{\ln 2}$, sai.

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $\int (3x^2-2+\frac{1}{x})dx=x^3-2x+\ln |x|+C$. So với dạng $a{x}^3+bx+c\ln |x|+C$ ta có $a=1$, $b=-2$, $c=1$. Vậy $a-b+c=1-(-2)+1=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int \left(\frac{x^2}{2}+2x-5\right)dx=\frac{x^3}{6}+x^2-5x+C$. Đáp án A đúng (B thiếu $+C$, C và D sai hệ số).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $F(x)=\int \left(3\sin x+\frac{4}{{\cos }^{2}x}\right)dx=-3\cos x+4\tan x+C$. Vì $F(0)=-3\cos 0+4\tan 0+C=-3+C=2$ nên $C=5$, tức $F(x)=-3\cos x+4\tan x+5$. Do đó $F\left(\frac{\pi }{3}\right)=-3\cdot \frac{1}{2}+4\sqrt{3}+5=\frac{7}{2}+4\sqrt{3}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=3x^2-x$ liên tục trên $\mathbb{R}$, nên nguyên hàm tổng quát là $F(x)=\int (3x^2-x)dx=x^3-\frac{x^2}{2}+C$.
a) Sai. Với $F(0)=1\Rightarrow C=1$, khi đó $F(1)=1-\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}\ne 3$.
b) Đúng. $F(x)=x^3-\frac{1}{2}{x}^2+C$ đúng là họ nguyên hàm của $f(x)$ (đạo hàm của nó bằng $3x^2-x$).
c) Sai. Theo tính tuyến tính, $\int (3x^2-x)dx=\int 3x^{2}dx-\int xdx$, dấu trước $\int xdx$ phải là trừ, không phải cộng.
d) Đúng. Theo định nghĩa nguyên hàm, $F^{\prime }(x)=f(x)$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (S, D, S, D).
a) (AI giải đề cho tôi)
$F(0)=1\Rightarrow C=1$, nên $F(1)=1-\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}\ne 3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\left(x^3-\frac{1}{2}{x}^2+C\right)}^{\prime }=3x^2-x=f(x)$, đây là họ nguyên hàm của $f(x)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\int (3x^2-x)dx=\int 3x^{2}dx-\int xdx$, dấu phải là trừ chứ không phải cộng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, $F$ là nguyên hàm của $f$ nên $F^{\prime }(x)=f(x)$ trên $\mathbb{R}$.

+) $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)=3x^2+3$ $\Rightarrow F(x)=x^3+3x+C$
+) Mặt khác: $F(0)=1\Rightarrow C=1$.
Vậy $F(x)=x^3+3x+1$.
+) $F(1)=1^3+3.1+1=5$

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên khoảng $K$ khi $F^{\prime }(x)=f(x)$ với mọi $x\in K$. Do đó đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (Câu 4, mã đề 121: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int (x+\sin x)dx=\frac{x^2}{2}-\cos x+C$ vì $\int xdx=\frac{x^2}{2}$ và $\int \sin xdx=-\cos x$. Đạo hàm kiểm tra: ${\left(\frac{x^2}{2}-\cos x\right)}^{\prime }=x+\sin x$ đúng. Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn (mã đề 121, câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int e^{x}dx=e^x+C$. Kiểm tra: đạo hàm của $e^x+C$ là $e^x=f(x)$, đúng. Các phương án khác sai vì $(e^{-x}+C{)}^{\prime }=-e^{-x}$, $(-e^x+C{)}^{\prime }=-e^x$, còn $e^x$ thiếu hằng số $C$. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 121 (Câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
f(x)=x+sin x. a) f'(x)=1+cos x, không phải 1−cos x → Sai. b) F'(x)=x+sin x=f(x) → Đúng. c) ∫(x+sin x)dx=x²/2−cos x+C → Đúng. d) G(x)=x²/2−cos x+C; G(0)=−1+C=1 ⇒ C=2; G(π)=π²/2−cos π+2=π²/2+3 → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)=1+cos x, không phải 1−cos x.
b) (AI giải đề cho tôi)
F'(x)=x+sin x=f(x), nên F là một nguyên hàm của f.
c) (AI giải đề cho tôi)
∫(x+sin x)dx=x²/2−cos x+C.
d) (AI giải đề cho tôi)
G(x)=x²/2−cos x+C; G(0)=−1+C=1 ⇒ C=2; G(π)=π²/2+1+2=π²/2+3.

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $\int (3x^2+2x+5)dx=x^3+x^2+5x+C$, nên $a=1,b=1$, do đó $T=a+b=2$.

(AI giải đề cho tôi)
$F(x)$ là nguyên hàm của $\frac{1}{x}$ trên $(0;+\infty )$ nên $F(x)=\ln x+C$. Với $F(1)=1$ suy ra $C=1$, do đó $F(3)=\ln 3+1$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét f(x)=2x+3, nguyên hàm F(x)=x^2+3x+C.
a) F(1)=1+3+C=2 ⟹ C=−2, nên F(x)=x^2+3x−2, không phải x^2+3x+2 ⟹ Sai.
b) ∫₀²f=[x²+3x]₀²=10; ∫₅²f=−∫₂⁵f=−(35−10)=−30; ∫₋₁⁰f=0−(1−3)=2. Tổng: 10−(−30)+2=42 ⟹ Đúng.
c) f(x)=0 tại x=−3/2. Trên [−2,−3/2] f<0, trên [−3/2,1] f>0. ∫₋₂^{−3/2}f=−9/4+2=−1/4; ∫_{−3/2}^1 f=4+9/4=25/4. Diện tích = 1/4+25/4=13/2=6,5 ≠ 6 ⟹ Sai.
d) Giao điểm: 2x+3=x²−2x+6 ⟺ x²−4x+3=0 ⟹ x=1, x=3; trên [1;3] đường thẳng nằm trên parabol. V=π∫₁³[(2x+3)²−(x²−2x+6)²]dx=π∫₁³(−x⁴+4x³−12x²+36x−27)dx=π[(−x⁵/5+x⁴−4x³+18x²−27x)]₁³=π(27/5+61/5)=88π/5 ≠ 1556π/15 ⟹ Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
F(x)=x²+3x+C, F(1)=2 ⟹ C=−2 nên F(x)=x²+3x−2, không phải x²+3x+2.
b) (AI giải đề cho tôi)
∫₀²f=10, ∫₅²f=−30, ∫₋₁⁰f=2, tổng 10−(−30)+2=42.
c) (AI giải đề cho tôi)
f đổi dấu tại x=−3/2; diện tích = 1/4+25/4=13/2=6,5 ≠ 6.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giao tại x=1,3; V=π∫₁³[(2x+3)²−(x²−2x+6)²]dx=88π/5 ≠ 1556π/15.