Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình chứa căn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $4x-3\ge 0\iff x\ge \frac{3}{4}$ và $2-x\ge 0\iff x\le 2$, nên $\frac{3}{4}\le x\le 2$. Bình phương hai vế: $4x-3=(2-x{)}^2=x^2-4x+4\iff x^2-8x+7=0\iff x=1$ hoặc $x=7$. Vì $x=7$ không thỏa điều kiện $x\le 2$ (thử lại: $\sqrt{25}=5\ne -5$), loại. Với $x=1$: $\sqrt{1}=1=2-1$, thỏa. Vậy $S=\{1\}$, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sqrt{x^2-7}=\sqrt{1-x^2}$ có điều kiện $x^2-7\ge 0$ và $1-x^2\ge 0$, tức $x^2\ge 7$ và $x^2\le 1$, mâu thuẫn nên không có giá trị $x$ nào thỏa mãn. Bình phương hai vế: $x^2-7=1-x^2\iff 2x^2=8\iff x^2=4$, nhưng khi đó $x^2-7=-3<0$ (không thỏa điều kiện). Vậy phương trình vô nghiệm, số nghiệm là 0.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x+2\ge 0\iff x\ge -2$. Bình phương hai vế: $2x^2+3x+2=(x+2{)}^2=x^2+4x+4\iff x^2-x-2=0\iff (x-2)(x+1)=0\iff x=2$ hoặc $x=-1$. Cả hai nghiệm đều thỏa mãn $x\ge -2$. Thử lại: với $x=2$, $\sqrt{2(4)+3(2)+2}=\sqrt{16}=4=x+2$ ✓; với $x=-1$, $\sqrt{2-3+2}=\sqrt{1}=1=x+2$ ✓. Vậy tập nghiệm $S=\{-1;2\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sqrt{3x^2-4x-1}=\sqrt{2x^2-4x+3}$. Điều kiện: $3x^2-4x-1\ge 0$ và $2x^2-4x+3\ge 0$. Vì $2x^2-4x+3=2(x-1{)}^2+1>0$ với mọi $x$, chỉ cần $3x^2-4x-1\ge 0$. Bình phương hai vế: $3x^2-4x-1=2x^2-4x+3\iff x^2=4\iff x=\pm 2$. Kiểm tra: với $x=2$: $3\cdot 4-8-1=3\ge 0$ thỏa; với $x=-2$: $3\cdot 4+8-1=19\ge 0$ thỏa. Vậy tập nghiệm $S=\{-2;2\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $3-x\ge 0\iff x\le 3$ (khi đó $x^2-8x+13=(3-x)\ge 0$ cũng tự thỏa). Bình phương hai vế: $x^2-8x+13=3-x\iff x^2-7x+10=0\iff (x-2)(x-5)=0\iff x=2$ hoặc $x=5$. So với điều kiện $x\le 3$: chỉ nhận $x=2$. Thử lại: $x=2$ thì $\sqrt{4-16+13}=\sqrt{1}=1$ và $\sqrt{3-2}=1$, thỏa mãn. Vậy $x=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $2x-2\ge 0\iff x\ge 1$ và $-x^2+4x\ge 0\iff 0\le x\le 4$, nên $1\le x\le 4$. Bình phương hai vế: $-x^2+4x=(2x-2{)}^2=4x^2-8x+4\iff 5x^2-12x+4=0$. Biệt thức $\Delta =144-80=64$, $\sqrt{\Delta }=8$, nên $x=\frac{12\pm 8}{10}$, tức $x=2$ hoặc $x=\frac{2}{5}$. Vì $x\ge 1$ nên chỉ nhận $x=2$. Thử lại: $\sqrt{-4+8}=2=2\cdot 2-2$, thỏa mãn. Vậy $x=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $3x-1\ge 0\iff x\ge \frac{1}{3}$ (biểu thức dưới căn $x^2-7x+10=(x-2)(x-5)$ luôn không âm khi cần). Bình phương hai vế: $x^2-7x+10=9x^2-6x+1\iff 8x^2+x-9=0$. Giải: $\Delta =1+288=289=17^2$, nên $x=\frac{-1\pm 17}{16}$, tức $x=1$ hoặc $x=-\frac{9}{8}$. Thử lại: với $x=1$: $\sqrt{1-7+10}=2=3\cdot 1-1$ (thỏa); với $x=-\frac{9}{8}$: vế phải $3x-1<0$, loại. Vậy $x=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 19a: Điều kiện: x+3 ≥ 0 và 6x²−x−1 ≥ 0. Bình phương hai vế: x+3 = 6x²−x−1 ⟺ 6x²−2x−4 = 0 ⟺ 3x²−x−2 = 0 ⟺ (x−1)(3x+2)=0 ⟺ x=1 hoặc x=−2/3. Cả hai giá trị đều thỏa mãn x ≥ −3 và làm 6x²−x−1 ≥ 0 (x=1: 6−1−1=4>0; x=−2/3: 24/9+2/3−1=7/3>0). Vậy tập nghiệm S = {1; −2/3}. Câu 19b: Hàm số xác định khi x²−4 ≥ 0 và x−1 ≠ 0, tức x ≤ −2 hoặc x ≥ 2 (điều kiện x ≠ 1 đã được bao gồm). Vậy D = (−∞; −2] ∪ [2; +∞).

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $x^2+2x-3=15-5x\iff x^2+7x-18=0\iff (x-2)(x+9)=0$, nên $x=2$ hoặc $x=-9$. Kiểm tra điều kiện: với $x=2$: $\sqrt{5}=\sqrt{5}$ thỏa; với $x=-9$: $\sqrt{60}=\sqrt{60}$ thỏa. Tổng các nghiệm $S=2+(-9)=-7$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $x^2-2x-3=2x^2+x-3\iff x^2+3x=0\iff x=0$ hoặc $x=-3$. Kiểm tra điều kiện: với $x=0$, $x^2-2x-3=-3<0$ (loại); với $x=-3$: hai vế bằng $\sqrt{12}$, thỏa mãn. Vậy phương trình có đúng 1 nghiệm, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x-1\ge 0\iff x\ge 1$. Bình phương hai vế: $x^2-3x+1=(x-1{)}^2=x^2-2x+1\iff -3x=-2x\iff x=0$. Nhưng $x=0$ không thỏa mãn điều kiện $x\ge 1$ (thử lại: $\sqrt{1}=1\ne -1$). Vậy phương trình vô nghiệm, $S=\varnothing$.

(AI giải đề cho tôi)
Thay $x=2$ vào phương trình $\sqrt{x^2-mx+m^2}=x-m$ ta được $\sqrt{4-2m+m^2}=2-m$. Điều kiện: $2-m\ge 0$, tức $m\le 2$. Bình phương hai vế: $4-2m+m^2=4-4m+m^2\iff -2m=-4m\iff 2m=0\iff m=0$. Thử lại: với $m=0$, $\sqrt{4}=2=2-0$, thỏa mãn. Vậy $m=0$, chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Giải Bài 5:

a) $\sqrt{x^2+x-12}=8-x$. Điều kiện: $x^2+x-12\ge 0\iff x\le -4$ hoặc $x\ge 3$, và $8-x\ge 0\iff x\le 8$. Kết hợp: $x\le -4$ hoặc $3\le x\le 8$. Bình phương hai vế: $x^2+x-12=(8-x{)}^2=64-16x+x^2\iff 17x=76\iff x=\frac{76}{17}\approx 4,47$. Thử lại: $\frac{76}{17}\in [3;8]$ thỏa mãn. Vậy $x=\frac{76}{17}$.

b) $\sqrt{x^2-3x+1}=2x-1$. Điều kiện: $2x-1\ge 0\iff x\ge \frac{1}{2}$. Bình phương hai vế: $x^2-3x+1=4x^2-4x+1\iff 3x^2-x=0\iff x=0$ hoặc $x=\frac{1}{3}$. Cả hai nghiệm đều nhỏ hơn $\frac{1}{2}$ nên bị loại. Vậy phương trình vô nghiệm.

c) $\sqrt{x^2+x-12}=\sqrt{-x^2+x}$. Điều kiện: $x^2+x-12\ge 0\iff x\le -4$ hoặc $x\ge 3$, và $-x^2+x\ge 0\iff 0\le x\le 1$; kết hợp được $x\in \varnothing$. Hơn nữa, bình phương hai vế cho $x^2+x-12=-x^2+x\iff 2x^2=12\iff x=\pm \sqrt{6}$, nhưng khi đó $x^2+x-12=6\pm \sqrt{6}-12<0$, không thỏa mãn. Vậy phương trình vô nghiệm.

d) $\sqrt{2x^2+3x+1}=\sqrt{3x^2+x}$. Bình phương hai vế: $2x^2+3x+1=3x^2+x\iff x^2-2x-1=0\iff x=1\pm \sqrt{2}$. Kiểm tra: với $x=1+\sqrt{2}$, cả hai biểu thức dưới dấu căn đều bằng $10+7\sqrt{2}>0$; với $x=1-\sqrt{2}$, cả hai đều bằng $10-7\sqrt{2}>0$. Vậy $x=1+\sqrt{2}$ hoặc $x=1-\sqrt{2}$.

Kết luận: a) $x=\frac{76}{17}$; b) vô nghiệm; c) vô nghiệm; d) $x=1\pm \sqrt{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $3-x\ge 0\iff x\le 3$. Bình phương hai vế: $x^2-7x+10=(3-x{)}^2=9-6x+x^2$, suy ra $-7x+10=9-6x\iff x=1$. Thử lại: $\sqrt{1-7+10}=\sqrt{4}=2=3-1$, thỏa mãn. Vậy $x=1\in (0;2]$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 30.
a) Điều kiện: $2x^2-4x-2\ge 0$ và $x^2-x-2\ge 0$. Bình phương hai vế: $2x^2-4x-2=x^2-x-2\iff x^2-3x=0\iff x=0$ hoặc $x=3$. Thử: với $x=0$ thì $2x^2-4x-2=-2<0$ (loại); với $x=3$ thì $2\cdot 9-12-2=4\ge 0$ và $9-3-2=4\ge 0$ (thỏa). Vậy $x=3$.
b) Điều kiện: $2x^2-5x-9\ge 0$ và $x-1\ge 0\iff x\ge 1$. Bình phương hai vế: $2x^2-5x-9=(x-1{)}^2\iff 2x^2-5x-9=x^2-2x+1\iff x^2-3x-10=0\iff x=5$ hoặc $x=-2$. Vì $x\ge 1$ nên loại $x=-2$. Thử $x=5$: $\sqrt{50-25-9}=\sqrt{16}=4=5-1$ (thỏa). Vậy $x=5$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 12. Giải các phương trình chứa căn:

a) Bình phương hai vế: $2x^2+7x+1=3x^2+4x-9\iff x^2-3x-10=0\iff x=5$ hoặc $x=-2$. Với $x=-2$: $2x^2+7x+1=-5<0$ (loại). Với $x=5$: hai vế đều bằng $\sqrt{86}$. Vậy $x=5$.

b) Điều kiện $2x-1\ge 0\iff x\ge \frac{1}{2}$. Bình phương: $5x^2-5x=4x^2-4x+1\iff x^2-x-1=0\iff x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$. Chỉ nhận $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ (thỏa $x\ge \frac{1}{2}$). Vậy $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

c) Bình phương: $-x^2+77x-212=x^2+x-2\iff 2x^2-76x+210=0\iff x^2-38x+105=0\iff x=35$ hoặc $x=3$. Kiểm tra: với $x=35$, hai vế bằng $\sqrt{1258}$; với $x=3$, hai vế bằng $\sqrt{10}$. Cả hai thỏa mãn. Vậy $x\in \{3;35\}$.

d) Điều kiện $x-x^2\ge 0\iff 0\le x\le 1$. Bình phương: $x^2+25x-26=x-x^2\iff 2x^2+24x-26=0\iff x^2+12x-13=0\iff x=1$ hoặc $x=-13$. Chỉ $x=1$ thuộc $[0;1]$ (kiểm tra: hai vế bằng 0). Vậy $x=1$.

e) Bình phương: $4x^2+8x-37=-x^2-2x+3\iff 5x^2+10x-40=0\iff x^2+2x-8=0\iff x=2$ hoặc $x=-4$. Điều kiện $-x^2-2x+3\ge 0\iff -3\le x\le 1$: cả hai nghiệm đều loại. Vậy phương trình vô nghiệm.

f) Điều kiện $6-x\ge 0\iff x\le 6$. Bình phương: $2x^2-13x+16=(6-x{)}^2=x^2-12x+36\iff x^2-x-20=0\iff x=5$ hoặc $x=-4$. Cả hai thỏa $x\le 6$; kiểm tra: $x=5$: $\sqrt{1}=1=6-5$; $x=-4$: $\sqrt{100}=10=6-(-4)$. Vậy $x\in \{-4;5\}$.

g) Điều kiện $x-5\ge 0\iff x\ge 5$. Bình phương: $3x^2-33x+55=(x-5{)}^2\iff 2x^2-23x+30=0\iff x=\frac{23\pm 17}{4}$, tức $x=10$ hoặc $x=\frac{3}{2}$. Chỉ $x=10\ge 5$ (kiểm tra: $\sqrt{25}=5=10-5$). Vậy $x=10$.

h) Điều kiện $x-4\ge 0\iff x\ge 4$. Bình phương: $-x^2+3x+1=(x-4{)}^2\iff 2x^2-11x+15=0\iff x=3$ hoặc $x=\frac{5}{2}$. Cả hai đều $<4$, loại. Vậy phương trình vô nghiệm.

i) Điều kiện $x-3\ge 0\iff x\ge 3$. Bình phương: $2x-3=(x-3{)}^2\iff x^2-8x+12=0\iff x=2$ hoặc $x=6$. Chỉ $x=6\ge 3$ (kiểm tra: $\sqrt{9}=3=6-3$). Vậy $x=6$.

j) $(x-3)\sqrt{x^2+4}=x^2-9=(x-3)(x+3)\iff (x-3)\left(\sqrt{x^2+4}-(x+3)\right)=0$.
• $x=3$: thỏa (hai vế bằng 0).
• $\sqrt{x^2+4}=x+3$, cần $x\ge -3$; bình phương: $x^2+4=x^2+6x+9\iff x=-\frac{5}{6}$ (thỏa $x\ge -3$; kiểm tra: $\sqrt{25/36+4}=\sqrt{169/36}=13/6$ và $x+3=13/6$).
Vậy $x\in \left\{3;-\frac{5}{6}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x-3\ge 0\iff x\ge 3$. Bình phương hai vế: $x^2+4x-2=(x-3{)}^2=x^2-6x+9\iff 10x=11\iff x=\frac{11}{10}$. Vì $\frac{11}{10}<3$ (không thỏa điều kiện $x\ge 3$), nên phương trình vô nghiệm. Vậy số nghiệm là $0$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $3-x\ge 0\iff x\le 3$. Bình phương hai vế: $2x^2-9x-9=(3-x{)}^2=9-6x+x^2\iff x^2-3x-18=0\iff (x-6)(x+3)=0\iff x=6$ hoặc $x=-3$. Vì $x\le 3$ nên loại $x=6$, chỉ nhận $x=-3$ (thử lại: $\sqrt{18+27-9}=6=3-(-3)$ đúng). Vậy $S=\{-3\}$, chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế (điều kiện cả hai biểu thức trong căn không âm): $2x^2-5x+1=x^2+2x-9\iff x^2-7x+10=0\iff x=2$ hoặc $x=5$. Thử lại: với $x=2$ thì $2x^2-5x+1=8-10+1=-1<0$ (loại). Với $x=5$ thì $2\cdot 25-25+1=26$ và $25+10-9=26$, cả hai đều không âm nên thỏa mãn. Vậy $S=\{5\}$, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x-1\ge 0$ và $x-3\ge 0$, tức $x\ge 3$. Bình phương hai vế: $x-1=(x-3{)}^2\iff x^2-7x+10=0\iff (x-2)(x-5)=0$, nên $x=2$ (loại vì $2<3$) hoặc $x=5$ (thỏa mãn). Kiểm tra: $\sqrt{5-1}=2=5-3$. Vậy $S=\{5\}$, chọn A.