Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Với $a={\log }_{3}2$, ta có ${\log }_{6}48=\frac{{\log }_{3}48}{{\log }_{3}6}=\frac{{\log }_3(16\cdot 3)}{{\log }_3(2\cdot 3)}=\frac{4{\log }_{3}2+1}{{\log }_{3}2+1}=\frac{4a+1}{a+1}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình ${\log }_{\frac{1}{2}}(x^2-5x+7)=0$ tương đương $x^2-5x+7=1$ (điều kiện $x^2-5x+7>0$ luôn đúng vì $\Delta =25-28<0$). Suy ra $x^2-5x+6=0$, có hai nghiệm $x=2$ và $x=3$. Tổng bình phương các nghiệm: $2^2+3^2=4+9=13$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $2^{x^2-6x+1}={\left(\frac{1}{4}\right)}^{x-3}=2^{-2(x-3)}=2^{-2x+6}$. Suy ra $x^2-6x+1=-2x+6\iff x^2-4x-5=0$. Theo Viète, $S=x_1+x_2=4$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 3: Giải phương trình $730\cdot (0,82{)}^t=V$.

a) $730\cdot (0,82{)}^t=500\Rightarrow (0,82{)}^t=\frac{500}{730}=\frac{50}{73}$. Lấy logarit hai vế: $t=\frac{\ln (50/73)}{\ln 0,82}\approx \frac{-0,37844}{-0,19845}\approx 1,91$.
Vậy theo mô hình này, sau khoảng $t\approx 1,91$ năm (khoảng 1 năm 11 tháng) chiếc xe có giá trị 500 triệu đồng.

b) $730\cdot (0,82{)}^t=200\Rightarrow (0,82{)}^t=\frac{200}{730}=\frac{20}{73}$. Suy ra $t=\frac{\ln (20/73)}{\ln 0,82}\approx \frac{-1,29447}{-0,19845}\approx 6,52$.
Vậy theo mô hình này, sau khoảng $t\approx 6,52$ năm (khoảng 6 năm 6 tháng) chiếc xe có giá trị 200 triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất logarit: ${\log }_a(b^2{c}^3)={\log }_a{b}^2+{\log }_a{c}^3=2{\log }_{a}b+3{\log }_{a}c=2\cdot 3+3\cdot (-5)=6-15=-9$. Kết quả trùng với đáp án nguồn $-9$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất logarit: ${\log }_a(b^2{c}^3)=2{\log }_{a}b+3{\log }_{a}c=2\cdot 3+3\cdot (-5)=6-15=-9$. Kết quả trùng với đáp án nguồn $-9$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=2^x+2^{-x}$. Theo AM-GM, $t\ge 2$. Khi đó $t^2=4^x+2+4^{-x}=7+2=9$, nên $t=3$ (thỏa $t\ge 2$). Thay vào $P$: $P=\frac{5+t}{8-4t}=\frac{5+3}{8-12}=\frac{8}{-4}=-2$. Vậy $P=-2$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_2{a}^3+{\log }_{2}b={\log }_2(a^{3}b)=6$, suy ra $a^{3}b=2^6=64$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: điều kiện $x+8>0\Rightarrow x>-8$, tập xác định là $\mathbb{D}=(-8;+\infty )$, không phải $(0;+\infty )$.
b) Sai: $f(x)\ge 0\iff 9-3^x\ge 0\iff 3^x\le 9\iff x\le 2$, tập nghiệm là $(-\infty ;2]$. Vì $x=2$ thỏa mãn ($f(2)=9-9=0\ge 0$) nhưng $2\notin (-\infty ;2)$, phát biểu $(-\infty ;2)$ là sai.
c) Đúng: $f(x)=-6\iff 9-3^x=-6\iff 3^x=15\iff x={\log }_{3}15>0$, nên phương trình có nghiệm dương.
d) Sai: $g(x)\le 2\iff {\log }_3(x+8)\le 2\iff 0<x+8\le 9\iff -8<x\le 1$, tập nghiệm là $(-8;1]$, không phải $(-8;+\infty )$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $x+8>0\Rightarrow x>-8$, tập xác định là $(-8;+\infty )$, không phải $(0;+\infty )$. Phát biểu sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)\ge 0\iff 3^x\le 9\iff x\le 2$, tập nghiệm là $(-\infty ;2]$. Vì $x=2$ thỏa mãn ($f(2)=0\ge 0$) nhưng $2\notin (-\infty ;2)$, phát biểu sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$9-3^x=-6\iff 3^x=15\iff x={\log }_{3}15>0$: có nghiệm dương. Phát biểu đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_3(x+8)\le 2\iff 0<x+8\le 9\iff -8<x\le 1$, tập nghiệm là $(-8;1]$, không phải $(-8;+\infty )$. Phát biểu sai.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)={\log }_3(5x-3)$.
a) Sai. Điều kiện có nghĩa là $5x-3>0\iff x>\frac{3}{5}$, không phải $x>0$.
b) Đúng. $f\left(\frac{9}{5}\right)={\log }_3(9-3)={\log }_{3}6$, $f(1)={\log }_3(5-3)={\log }_{3}2$, nên $f\left(\frac{9}{5}\right)-f(1)={\log }_3\frac{6}{2}={\log }_{3}3=1$.
c) Sai. $f(x)=1\iff 5x-3=3\iff x=\frac{6}{5}$, không phải $\frac{4}{5}$.
d) Đúng. $f(x)\le 2\iff 0<5x-3\le 9\iff \frac{3}{5}<x\le \frac{12}{5}$. Các số nguyên trong khoảng này là $1$ và $2$, đúng 2 số nguyên.
a) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $5x-3>0\iff x>\frac{3}{5}$, không phải $x>0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f\left(\frac{9}{5}\right)-f(1)={\log }_{3}6-{\log }_{3}2={\log }_{3}3=1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$5x-3=3\Rightarrow x=\frac{6}{5}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{3}{5}<x\le \frac{12}{5}$ chứa đúng 2 số nguyên: 1 và 2.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $P={\log }_a(a{b}^2)={\log }_{a}a+2{\log }_{a}b=1+2\cdot 2=5$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\frac{a^2}{4}={\left(\frac{a}{2}\right)}^2$ với $a>0$, $a\ne 2$ nên $\frac{a}{2}>0$ và $\frac{a}{2}\ne 1$ (cơ số hợp lệ). Do đó $I={\log }_{\frac{a}{2}}{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=2{\log }_{\frac{a}{2}}\frac{a}{2}=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo đề: $s(t)=s(0)\cdot 2^t$. Sau 3 phút có 625 nghìn con nên $s(0)\cdot 2^3=625000\Rightarrow s(0)=78125$ con. Cần tìm $t$ sao cho $78125\cdot 2^t=20000000\Rightarrow 2^t=256=2^8\Rightarrow t=8$. Vậy sau 8 phút kể từ lúc ban đầu, số lượng vi khuẩn là 20 triệu con.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_3{a}^3+{\log }_3\frac{b}{a}={\log }_3\left(a^3\cdot \frac{b}{a}\right)={\log }_3(a^{2}b)=1$. Suy ra $a^{2}b=3^1=3$. Vậy $T=3$. Kiểm tra: tồn tại ví dụ $a=1,b=3$ thỏa mãn điều kiện và $T=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x>3$. Phương trình tương đương ${\log }_2(x(x-3))=2\Rightarrow x(x-3)=4\Rightarrow x^2-3x-4=0\Rightarrow x=4$ hoặc $x=-1$. Chỉ $x=4$ thỏa điều kiện $x>3$, nên phương trình có đúng 1 nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x^2-6>0$ và $x-2>0$, tức $x>\sqrt{6}$. Phương trình tương đương ${\log }_3(x^2-6)={\log }_3(3x-6)$, suy ra $x^2-6=3x-6\iff x^2-3x=0\iff x=0$ hoặc $x=3$. Kết hợp điều kiện $x>\sqrt{6}$ ta được $x=3$ (thỏa mãn: ${\log }_{3}3={\log }_{3}1+1$). Vậy $x=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $3\log a+2\log b=\log (a^3{b}^2)=1$ (logarit cơ số 10), suy ra $a^3{b}^2=10^1=10$. Vậy mệnh đề đúng là C. Lưu ý logarit không biến đổi $a^3+b^2$ hay $3a+2b$ thành số cụ thể, nên A, B, D sai.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện xác định: $x>0$. Với $x>0$, phương trình ${\log }_{2}x={\log }_2{x}^2$ tương đương $x=x^2$, tức $x(x-1)=0$, cho $x=0$ (loại vì ngoài điều kiện) hoặc $x=1$. Vậy nghiệm là $x=1$, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $Q=\ln (5e^3)=\ln 5+\ln e^3=\ln 5+3\approx 1,6094+3=4,6094\approx 4,61$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x\ne 0$ (vì $x^4>0$ cần $x\ne 0$; $x^2-x+3>0$ luôn đúng vì $\Delta =1-12<0$).

Đổi cơ số: ${\log }_9{x}^4=\frac{{\log }_3{x}^4}{{\log }_{3}9}=\frac{4{\log }_3|x|}{2}=2{\log }_3|x|={\log }_3{x}^2$.

Phương trình trở thành:
$${\log }_3(x^2-x+3)={\log }_3{x}^2⟺x^2-x+3=x^2⟺-x+3=0⟺x=3.$$

Thử lại: ${\log }_3(9-3+3)={\log }_{3}9=2$ và ${\log }_{9}81=2$. Thỏa mãn.

Vậy $x=3$.