Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quan hệ liên thuộc (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(MSB)$ và $(SAC)$ đều chứa điểm $S$. Trong mặt đáy, $BM$ cắt $AC$ tại $I$ (vì $M$ thuộc $CD$, đường thẳng $BM$ không song song với $AC$ trong hình thang). Khi đó $I\in BM\subset (MSB)$ và $I\in AC\subset (SAC)$. Vậy hai mặt phẳng có hai điểm chung là $S$ và $I$, nên giao tuyến là $SI$. Đáp án A, khớp với bảng đáp án (Mã đề 111, câu 13: A).

Xét hai mặt phẳng $(IMN)$ và $(ABC)$ có $I$ là điểm chung (1).

Mặt khác $\frac{SM}{SA}=\frac{SN}{SB}\iff MN//AB$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng $(IMN)$ và $(ABC)$ đi qua $I$ và song song với $AB$.

(AI giải đề cho tôi)
M thuộc $SA$ và N thuộc $SB$ nên cả M, N nằm trong mặt phẳng $(SAB)$, do đó đường thẳng $MN$ nằm trong $(SAB)$. Mặt phẳng $(SAB)$ cắt mặt phẳng $(ABC)$ theo giao tuyến $AB$. Vì N không trùng trung điểm $SB$ nên $MN$ không song song với $AB$ (nếu $MN\parallel AB$ thì theo định lý Thales N phải là trung điểm $SB$, mâu thuẫn). Vậy $MN$ cắt $AB$ tại một điểm duy nhất, và điểm đó thuộc cả $MN$ lẫn $(ABC)$. Kết luận: giao điểm của $MN$ với $(ABC)$ là giao điểm của $MN$ với $AB$. Đáp án C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 111, câu 7 = C).

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ đều chứa điểm $S$. Vì $O=AC\cap BD$ nên $O\in AC\subset (SAC)$ và $O\in BD\subset (SBD)$. Vậy hai mặt phẳng có hai điểm chung phân biệt là $S$ và $O$, suy ra giao tuyến của chúng là đường thẳng $SO$. Kết quả khớp với đáp án mã đề 1112: C.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ đều chứa điểm $S$. Ngoài ra, $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ nên $O\in AC\subset (SAC)$ và $O\in BD\subset (SBD)$. Vậy cả $S$ và $O$ đều thuộc hai mặt phẳng, do đó giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$ là đường thẳng $SO$. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 1111, câu 6: A).

(AI giải đề cho tôi)
G là trọng tâm tam giác $BCD$ nên $G$ nằm trên trung tuyến $BN$ của tam giác này, với $\frac{BG}{GN}=2$. Xét tam giác $ABN$: $M$ là trung điểm $AB$, $G$ nằm trên cạnh $BN$, do đó đường thẳng $AG$ nằm trong mặt phẳng $(ABN)$. Đường thẳng $MN$ cũng nằm trong mặt phẳng $(ABN)$ (vì $M\in AB$, $N\in BN$). Trong mặt phẳng $(ABN)$, hai đường thẳng $AG$ và $MN$ không song song (vì $\frac{BG}{GN}=2\ne \frac{AM}{MB}=1$, nên $G$ không phải điểm để $AG\parallel MN$), suy ra chúng cắt nhau. Vậy $AG$ cắt đường thẳng $MN$. Các phương án khác sai: $AG$ không nằm trong mặt phẳng $(BCD)$ nên không cắt $CD$ (và cũng không cắt $DN$ vì $DN\subset (BCD)$); $CM$ và $AG$ không cùng mặt phẳng nên không cắt nhau. Kết quả khớp với đáp án mã đề 1104: A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ nên $O$ là trung điểm của $AC$. Trong tam giác $SAC$, $E$ là trung điểm của $SA$ nên $E\in (SAC)$, và $O\in AC\subset (SAC)$. Do đó đường thẳng $OE$ nằm hoàn toàn trong mặt phẳng $(SAC)$. Kiểm tra các phương án khác: $O\notin (SBC)$, $E\notin (ABCD)$, và $(CDE)$ cắt $(SAC)$ theo giao tuyến $OE$ nhưng $OE$ không nằm trong $(CDE)$ vì $E,C$ xác định $(CDE)$ còn $O$ không thuộc mặt phẳng đó (nếu $O\in (CDE)$ thì $(CDE)\equiv (CDO)=(ABCD)$, mâu thuẫn vì $E\notin (ABCD)$). Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1104, câu 5: C).

(AI giải đề cho tôi)
Bốn điểm không đồng phẳng, mỗi mặt phẳng được xác định bởi 3 điểm không thẳng hàng. Số tổ hợp chập 3 của 4 điểm là $C_4^3=4$, tương ứng các mặt phẳng $(ABC)$, $(ABD)$, $(ACD)$, $(BCD)$. Vậy có 4 mặt phẳng phân biệt. Khớp với đáp án nguồn (Mã đề 1102, Câu 12: B).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ nên $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$, do đó $O\in AC$. Mặt khác $E$ là trung điểm của $SA$ nên $E\in SA$. Vậy cả $O$ và $E$ đều thuộc mặt phẳng $(SAC)$, suy ra đường thẳng $OE\subset (SAC)$. Các mặt phẳng $(SBC)$, $(ABCD)$, $(CDE)$ không đồng thời chứa $O$ và $E$ (ví dụ $E\notin (ABCD)$ vì $E$ nằm trên cạnh $SA$ ngoài đáy). Đáp án khớp với đáp án nguồn: D.

Chọn D. Ta có $MN$ cắt $BD$ tại $I$ nên $\{\begin{array}{l}I\in MN\subset (ABD)\\ I\in BD\end{array}\Rightarrow I$ thuộc các mp $(ABD),(BCD),(CMN)$.

Chọn B. Ta có M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB nên MN là đường trung bình của tam giác SAB $\Rightarrow \{\begin{array}{l}MN\parallel AB\\ MN=\frac{1}{2}AB\end{array}$ (1). Lại có $\{\begin{array}{l}CD\parallel AB\\ CD=\frac{1}{2}AB\end{array}$ (2). Từ (1) và (2) suy ra $\{\begin{array}{l}MN\parallel CD\\ MN=CD\end{array}$ nên tứ giác MNCD là hình bình hành $\Rightarrow MD\parallel NC$.

Chọn C. Ta có G là điểm chung của 2 mp (GIJ) và (BCD). Mà $IJ\parallel CD$ nên giao tuyến của 2 mp (GIJ) và (BCD) là đường thẳng qua $G$ và song song với $CD$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(SHD)$ và $(SAC)$ có điểm chung là $S$. Gọi $I=HD\cap AC$: vì $I\in HD\subset (SHD)$ và $I\in AC\subset (SAC)$ nên $I$ cũng là điểm chung. Vậy giao tuyến là đường thẳng $SI$. Đáp án khớp với mã đề 201 (câu 9: C).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AD\parallel BC$. Ta có $AD\subset (SAD)$ và $BC\subset (SBC)$, do đó $BC\parallel (SAD)$ (vì $BC$ song song với $AD$ nằm trong $(SAD)$, và $BC\not\subset (SAD)$). Mặt khác $BC\subset (SBC)$, nên giao tuyến $d=(SAD)\cap (SBC)$ là đường thẳng đi qua $S$ (điểm chung của hai mặt phẳng) và song song với $BC$. Vậy khẳng định đúng là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 12: C).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định: A đúng (tiên đề: qua hai điểm phân biệt cho trước có đúng một đường thẳng). B sai vì nếu ba điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua chúng; chỉ khi ba điểm không thẳng hàng mới có duy nhất một mặt phẳng. C đúng (hai mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo một giao tuyến duy nhất chứa mọi điểm chung). D đúng (tồn tại bốn điểm không đồng phẳng, ví dụ bốn đỉnh không cùng mặt của một hình chóp). Vậy khẳng định sai là B, trùng với đáp án nguồn (đề 101, câu 14: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$ đều chứa điểm $S$, nên giao tuyến đi qua $S$. Ta có $N=AD\cap BC$ với $AD\subset (SAD)$, $BC\subset (SBC)$, do đó $N$ thuộc cả hai mặt phẳng. Vậy giao tuyến là đường thẳng $SN$. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 2: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ đều chứa điểm $S$, nên giao tuyến đi qua $S$. Trong mặt đáy, $O=AC\cap BD$ thuộc cả $AC\subset (SAC)$ lẫn $BD\subset (SBD)$, nên $O$ thuộc giao tuyến. Vậy giao tuyến là đường thẳng $SO$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 5: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ đều chứa điểm $S$ (vì $S\in (SAC)$ và $S\in (SBD)$), nên giao tuyến đi qua $S$. Mặt khác, $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$, nên $O\in AC\subset (SAC)$ và $O\in BD\subset (SBD)$, tức $O$ cũng thuộc cả hai mặt phẳng. Vậy giao tuyến là đường thẳng đi qua hai điểm chung phân biệt $S$ và $O$, tức là đường thẳng $SO$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (Câu 8, mã đề 1001: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$ đều chứa điểm $S$, nên giao tuyến đi qua $S$. Lại có $N=AD\cap BC$ với $AD\subset (SAD)$, $BC\subset (SBC)$, nên $N$ thuộc cả hai mặt phẳng. Vậy giao tuyến là đường thẳng $SN$. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 1001, Câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(SAM)$ và $(SBC)$ đều chứa điểm $S$ và điểm $M$ (vì $M\in BC\subset (SBC)$ và $M\in (SAM)$). Điểm chung thứ hai là $S$ (vì $S\in (SAM)$ và $S\in (SBC)$). Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng đi qua hai điểm chung $S$ và $M$, tức là đường thẳng $SM$. Kết quả khớp với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 1101, câu 10: B).