Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quan hệ liên thuộc (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình thang với hai đáy $AB\parallel CD$, $I$ là trung điểm $AD$ và $J$ là trung điểm $BC$ nên $IJ$ là đường trung bình của hình thang, do đó $IJ\parallel AB\parallel CD$.

Xét hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(IJG)$:
- $G$ là trọng tâm tam giác $SAB$ nên $G\in (SAB)$; rõ nhiên $G\in (IJG)$. Vậy $G$ là một điểm chung của hai mặt phẳng.
- Vì $IJ\parallel AB$ và $AB\subset (SAB)$, $IJ\not\subset (SAB)$ nên $IJ\parallel (SAB)$.

Giao tuyến $d$ của $(SAB)$ và $(IJG)$ đi qua điểm chung $G$. Mặt khác, theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng: nếu $IJ\parallel (SAB)$ và $(IJG)$ cắt $(SAB)$ theo giao tuyến $d$ thì $IJ\parallel d$. Vậy $d$ là đường thẳng qua $G$ và song song với $IJ$, tức là $d$ qua $G$ và song song với $AB$ (vì $IJ\parallel AB$).

Kết luận: Giao tuyến của $(SAB)$ và $(IJG)$ là đường thẳng $d$ đi qua $G$ và song song với $AB$ (cũng song song với $CD$ và $IJ$).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $I$, $J$ lần lượt là trung điểm của $BD$ và $CD$. Vì $G_1$ là trọng tâm tam giác $ABD$ nên $G_1$ nằm trên trung tuyến $AI$; tương tự $G_2$ nằm trên trung tuyến $AJ$ của tam giác $ACD$.

Trong tam giác $BCD$: $I$ là trung điểm $BD$, $J$ là trung điểm $CD$ nên $IJ$ là đường trung bình, do đó $IJ\parallel BC$.

Ta có $\frac{I{G}_1}{IA}=\frac{J{G}_2}{JA}=\frac{1}{3}$ (vì trọng tâm chia trung tuyến theo tỉ số $1:2$), suy ra trong tam giác $AIJ$: $G_1{G}_2\parallel IJ$. Vậy $G_1{G}_2\parallel BC$.

Xét hai mặt phẳng $(A{G}_1{G}_2)$ và $(ABC)$:
- Cả hai đều đi qua điểm $A$, nên chúng có giao tuyến đi qua $A$.
- $G_1{G}_2\subset (A{G}_1{G}_2)$ và $G_1{G}_2\parallel BC\subset (ABC)$, tức $G_1{G}_2$ song song với mặt phẳng $(ABC)$.

Do đó mặt phẳng $(A{G}_1{G}_2)$ cắt $(ABC)$ theo giao tuyến là đường thẳng qua $A$ và song song với $G_1{G}_2$, tức song song với $BC$.

Kết luận: Giao tuyến của $(A{G}_1{G}_2)$ và $(ABC)$ là đường thẳng $d$ đi qua $A$ với $d\parallel BC$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$, ta chứng minh $MN\parallel d$.

Bước 1: Chứng minh $AD\parallel d$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AD\parallel BC$. Xét $BC\subset (SBC)$ và $AD\not\subset (SBC)$, suy ra $AD\parallel (SBC)$. Mà $AD\subset (SAD)$ và $(SAD)$ cắt $(SBC)$ theo giao tuyến $d$, nên theo tính chất đường thẳng song song với mặt phẳng, ta có $AD\parallel d$.

Bước 2: Chứng minh $MN\parallel AD$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel DC$ và $AB=DC$. Vì $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $DC$ nên $AM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}DC=DN$, với $AM\parallel DN$ (do $AM$ cùng hướng với $AB$ và $DN$ cùng hướng với $DC$). Vậy tứ giác $AMND$ có hai cạnh $AM$ và $DN$ song song và bằng nhau, do đó $AMND$ là hình bình hành, suy ra $MN\parallel AD$.

Bước 3: Kết luận. Từ $MN\parallel AD$ và $AD\parallel d$ suy ra $MN\parallel d$, tức $MN$ song song với giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$. Chứng minh hoàn tất.

Nhận xét: Dữ kiện $Sx$ là giao tuyến của $(SAD)$ và $(SBD)$ chỉ là dữ kiện đề cho, không cần dùng trong chứng minh trên.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SAD)$ đều chứa điểm $S$ và điểm $A$ (vì $A\in AC\subset (SAC)$ và $A\in AD\subset (SAD)$). Theo tính chất giao tuyến của hai mặt phẳng, giao tuyến là đường thẳng đi qua hai điểm chung phân biệt, tức là $SA$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $E\in AB\subset (SAB)$ và $E\in CD\subset (SCD)$, hơn nữa $S$ thuộc cả hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$. Vậy hai mặt phẳng có hai điểm chung $S$ và $E$, do đó giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng $SE$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ cùng chứa điểm $S$. Ngoài ra, $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ nên $O\in AC\subset (SAC)$ và $O\in BD\subset (SBD)$. Vậy $O$ thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng. Giao tuyến là đường thẳng đi qua hai điểm chung $S$ và $O$, tức là đường thẳng $SO$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định: A đúng vì hình chóp S.ABCD có 4 mặt bên là (SAB), (SBC), (SCD), (SDA). B đúng: (SAC) chứa O = AC ∩ BD, (SBD) chứa O, và cả hai đều chứa S nên giao tuyến là SO. C đúng: AD cắt BC tại I, hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) cùng chứa S và I nên giao tuyến là SI. D sai: (SAB) và (SAD) có hai điểm chung là S và A, do đó giao tuyến là đường thẳng SA, không phải 'đường trung bình của ABCD'. Vậy khẳng định sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $CM$ nằm trong mặt phẳng $(SAC)$ (vì $C\in (SAC)$ và $M\in SA\subset (SAC)$). Hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ có chung điểm $S$ và $O=AC\cap BD$, nên giao tuyến của chúng là $SO$. Do đó giao điểm của $CM$ với $(SBD)$ chính là giao điểm của $CM$ với $SO$, gọi là $J$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
$M$ thuộc $AB$, $P$ thuộc $BC$ nên $M$, $P$ cùng thuộc mặt $(ABC)$; đường thẳng $MP$ cắt $AC$ tại $Q$ (vì $P$ không là trung điểm $BC$ nên $MP$ không song song $AC$). Trong mặt $(ACD)$, đường thẳng $NQ$ cắt $AD$ tại $R$. Khi đó thiết diện bởi $(MNP)$ là tứ giác $MPNR$ ($M$ trên $AB$, $P$ trên $BC$, $N$ trên $CD$, $R$ trên $AD$). Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M,N$ là trung điểm của $BC,CD$ nên $MN\parallel BD$. Mặt phẳng $(MNP)$ cắt hình chóp tại: $P\in SA$, $M\in BC$, $N\in CD$. Xét giao tuyến với các mặt bên: trong mặt $(SAB)$, thiết diện cắt cạnh $SB$ tại điểm $E$ (vì đường thẳng qua $P$ thuộc giao của $(MNP)$ và $(SAB)$ gặp $SB$); tương tự trong mặt $(SAD)$, thiết diện cắt cạnh $SD$ tại điểm $F$. Kiểm tra bằng tọa độ: lấy $S(0,0,1),A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0)$ thì $M(1,0,5;0),N(0,5;1;0),P(0;0;0,5)$, mặt phẳng $(MNP)$ có phương trình $x+y+3z=1,5$. Giao với mặt $(SAB)$ ($y=0$): $x+3z=1,5$ cắt $SB$ tại $E(0,75;0;0,25)$; giao với mặt $(SAD)$ ($x=0$): cắt $SD$ tại $F(0;0,75;0,25)$; giao với đáy là đoạn $MN$. Vậy thiết diện là ngũ giác $PEMNF$ (năm đỉnh: $P\in SA$, $E\in SB$, $M\in BC$, $N\in CD$, $F\in SD$). Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $G$ là trọng tâm tam giác $ACD$ nên $G\in (ACD)$. Mặt khác $G\in (ABG)$ và $A\in (ABG)\cap (ACD)$. Vậy hai mặt phẳng $(ABG)$ và $(ACD)$ có hai điểm chung $A$ và $G$, do đó giao tuyến là đường thẳng $AG$. Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ACD$ nên $G$ nằm trên trung tuyến $AF$ (với $F$ là trung điểm $CD$), tức $A,G,F$ thẳng hàng. Vậy giao tuyến là đường thẳng $AF$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề với $I$ là trung điểm $SC$, $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$ (nên $O$ là trung điểm $AC$ và $BD$).

(I) Trong tam giác $SAC$: $I$ là trung điểm $SC$, $O$ là trung điểm $AC$, nên $IO$ là đường trung bình, suy ra $IO\parallel SA$. Mệnh đề (I) đúng.

(II) Mặt phẳng $(IBD)$: $B,D$ thuộc đáy, $I$ thuộc cạnh $SC$. Thiết diện gồm: đoạn $IB$ trong mặt $(SBC)$, đoạn $ID$ trong mặt $(SDC)$ và đoạn $BD$ trong đáy. Vậy thiết diện là tam giác $IBD$, không phải tứ giác. Mệnh đề (II) sai.

(III) Trong mặt phẳng $(SAC)$, gọi $G=AI\cap SO$. Vì $AI$ và $SO$ là hai đường trung bình của tam giác $SAC$ (trung điểm từ $A$ và từ $S$), $G$ là trọng tâm tam giác $SAC$, nên $\frac{SG}{GO}=2$. Mặt khác, trọng tâm tam giác $SBD$ cũng nằm trên trung tuyến $SO$ và chia $SO$ theo tỉ số $\frac{S{G}^{\prime }}{G^{\prime }O}=2$ (vì $O$ là trung điểm $BD$). Do đó $G^{\prime }\equiv G$: giao điểm của $AI$ và $(SBD)$ chính là trọng tâm tam giác $SBD$. Mệnh đề (III) đúng.

(IV) $O\in BD\subset (IBD)$ và $O\in (SAC)$; $I\in (IBD)\cap (SAC)$. Vậy giao tuyến của $(IBD)$ và $(SAC)$ là $OI$. Mệnh đề (IV) đúng.

Số mệnh đề đúng là 3 (các mệnh đề I, III, IV).

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAC$: $I$ là trung điểm $SC$, $O$ là trung điểm $AC$ (tâm hình bình hành) nên $IO$ là đường trung bình, suy ra $IO\parallel SA$. Do $SA\subset (SAB)$, $SA\subset (SAD)$ và $IO\not\subset$ các mặt phẳng đó nên $IO\parallel (SAB)$ và $IO\parallel (SAD)$: B và D đúng. Vì $I\in SC\subset (SAC)$, $O\in AC\subset (SAC)$ và $I,O\in (IBD)$ nên $(IBD)\cap (SAC)=IO$: C đúng. Mặt phẳng $(IBD)$ chứa $B,D$ thuộc đáy và $I\in SC$: giao tuyến với $(SBC)$ là $BI$, với $(SDC)$ là $DI$, với đáy là $BD$. Thiết diện là tam giác $BDI$, không phải tứ giác. Vậy khẳng định A SAI.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $MN$ nằm trong mặt phẳng $(SAB)$ vì $M\in SA$, $N\in SB$. Trong mặt phẳng $(SAB)$, do $M$ là trung điểm $SA$ nên $\frac{SM}{SA}=\frac{1}{2}$, còn $N$ không là trung điểm $SB$ nên $\frac{SN}{SB}\ne \frac{1}{2}$. Suy ra $MN$ không song song với $AB$, do đó $MN$ cắt $AB$ tại một điểm $Q$. Điểm $Q\in AB\subset (ABC)$ và $Q\in MN$, nên $Q$ chính là giao điểm của $MN$ với $(ABC)$. Vậy giao điểm của $MN$ với $(ABC)$ là giao điểm của $MN$ với $AB$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 13: a) Đúng vì $E,F$ đều thuộc mặt phẳng đáy $(ABCD)$ nên $EF\subset (ABCD)$. b) Đúng vì hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(ABCD)$ có chung hai điểm $A,B$ nên giao tuyến là $AB$. c) Sai: $(SAB)$ và $(SCD)$ có chung điểm $S$ và $E=AB\cap CD\in (SAB),E\in (SCD)$ nên giao tuyến là $SE$ (không phải $SF$); tương tự $(SAC)$ và $(SBD)$ có chung $S$ và $F=AC\cap BD$ nên giao tuyến là $SF$ (không phải $SE$). Phát biểu hoán đổi hai kết quả nên sai. d) Đúng vì $G=EF\cap AD$ thì $G\in (SEF)$ (do $G\in EF$) và $G\in (SAD)$ (do $G\in AD$), hai mặt phẳng có chung điểm $S$ và $G$ nên giao tuyến là $SG$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$E\in AB,F\in AC$ đều thuộc mặt phẳng đáy $(ABCD)$, nên đường thẳng $EF\subset (ABCD)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(ABCD)$ có chung hai điểm phân biệt $A,B$, do đó giao tuyến là $AB$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là $SE$ (chung $S$ và $E=AB\cap CD$), còn giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$ là $SF$ (chung $S$ và $F=AC\cap BD$). Phát biểu đã hoán đổi $SE$ và $SF$ nên sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$G=EF\cap AD$ nên $G\in (SEF)$ và $G\in (SAD)$; hai mặt phẳng có chung hai điểm $S,G$ nên giao tuyến là $SG$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 14: Xét hình chóp $S.ABCD$, $M\in SC$, $N\in BC$, $O=AC\cap BD$, $K=AN\cap CD$.

a) Hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ cùng chứa điểm $S$. Ta có $AC\subset (SAC)$, $BD\subset (SBD)$ và $AC\cap BD=O$, nên $O$ thuộc cả hai mặt phẳng. Vậy giao tuyến là $SO$. → Đúng.

b) Đường thẳng $AM$ nằm trong mặt phẳng $(SAC)$, còn $(SAC)\cap (SBD)=SO$. Trong tam giác $SAC$, $M$ nằm trên cạnh $SC$, $O$ nằm trên cạnh $AC$, nên hai đường thẳng $AM$ và $SO$ là hai đường thẳng đồng phẳng không song song, chúng cắt nhau tại một điểm $P$ nằm trong tam giác $SAC$, tức $P$ thuộc đoạn $SO$. Vậy giao điểm của $AM$ và $(SBD)$ nằm trên cạnh $SO$. → Đúng.

c) $M\in SC$ nên $M\in (SCD)$ và $M\in (AMN)$. $K=AN\cap CD$ nên $K\in AN\subset (AMN)$ và $K\in CD\subset (SCD)$. Hai mặt phẳng có hai điểm chung $M$, $K$ phân biệt, vậy giao tuyến là $KM$. → Đúng.

d) $SD$ nằm trong mặt phẳng $(SCD)$, mà $(SCD)\cap (AMN)=KM$ (theo c), nên giao điểm của $SD$ và $(AMN)$ là giao điểm của $SD$ và $KM$. Trong mặt phẳng $(SCD)$ xét tam giác $SCD$: $M$ nằm trên cạnh $SC$, $K$ nằm trên cạnh $CD$, nên đoạn $MK$ nằm trong tam giác và không cắt cạnh $SD$ tại điểm trong (chỉ gặp $SD$ khi $M\equiv S$ hoặc $K\equiv D$). Do đó $SD$ cắt đường thẳng $KM$ tại điểm nằm ngoài đoạn $KM$ (trên phần kéo dài), không nằm trên cạnh $KM$. → Sai.

Kết luận: a đúng, b đúng, c đúng, d sai.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $Q=MN\cap BC$ (tồn tại vì $M\in AB$, $N\in AC$ nên $MN$ nằm trong mặt phẳng $(ABC)$, và $MN$ không song song với $BC$ nên chúng cắt nhau tại $Q$). Vì $Q\in MN\subset (MNP)$ và $Q\in BC\subset (BCD)$ nên $Q$ thuộc cả hai mặt phẳng $(MNP)$ và $(BCD)$.

a) Vì $M\in AB\subset (ABC)$ và $N\in AC\subset (ABC)$ nên đường thẳng $MN$ nằm trong $(ABC)$; đồng thời $MN\subset (MNP)$. Vậy giao tuyến của $(MNP)$ và $(ABC)$ là đường thẳng $MN$.

b) Hai mặt phẳng $(MNP)$ và $(BCD)$ cùng chứa điểm $Q$. Lấy $P$ (thuộc $△BCD$, tức $P\in (BCD)$, và $P\in (MNP)$). Hai mặt phẳng này không trùng nhau (vì $M\notin (BCD)$), nên giao tuyến là đường thẳng đi qua hai điểm chung $P$ và $Q$. Vậy giao tuyến của $(MNP)$ và $(BCD)$ là đường thẳng $PQ$.

c) Trong mặt phẳng $(BCD)$, đường thẳng $PQ$ cắt cạnh $BD$ tại $I$ (nếu $PQ\parallel BD$ thì lấy giao điểm của $PM$ với $BD$; trường hợp tổng quát $I=PQ\cap BD$). Khi đó $I\in BD\subset (ABD)$ và $I\in PQ\subset (MNP)$. Mặt khác $M\in AB\subset (ABD)$ và $M\in (MNP)$. Vậy $(MNP)$ và $(ABD)$ có hai điểm chung $M$ và $I$, giao tuyến là đường thẳng $MI$.

d) Trong mặt phẳng $(BCD)$, đường thẳng $PQ$ cắt cạnh $CD$ tại $J$ ($J=PQ\cap CD$). Khi đó $J\in CD\subset (ACD)$ và $J\in PQ\subset (MNP)$. Mặt khác $N\in AC\subset (ACD)$ và $N\in (MNP)$. Vậy $(MNP)$ và $(ACD)$ có hai điểm chung $N$ và $J$, giao tuyến là đường thẳng $NJ$.

Tóm tắt: a) $MN$; b) $PQ$ với $Q=MN\cap BC$; c) $MI$ với $I=PQ\cap BD$; d) $NJ$ với $J=PQ\cap CD$.

(AI giải đề cho tôi)
Giả sử phản chứng: giả sử bốn điểm $M,N,C,D$ cùng nằm trong một mặt phẳng $(\alpha )$. Vì $M,N$ là trung điểm của $AB,BC$ nên $M,N$ thuộc mặt phẳng $(ABC)$, do đó $MN$ là đường thẳng nằm trong $(ABC)$. Mặt khác $M,N\in (\alpha )$ nên $MN\subset (\alpha )$. Trong tam giác $ABC$, đường trung bình $MN$ song song với $AC$, tức $MN\parallel AC$. Vì $MN\subset (\alpha )$, $AC\not\subset (\alpha )$ (nếu $AC\subset (\alpha )$ thì $A\in (\alpha )$, khi đó $(\alpha )$ chứa $A,C,D$ và $M$... dẫn tới $(\alpha )=(ACD)$, mâu thuẫn vì $B$ không thuộc $(ACD)$). Theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, từ $MN\parallel AC$ và $AC\subset (ACD)$ suy ra $MN\parallel (ACD)$. Nhưng $M\in (\alpha )$ và $MN\subset (\alpha )$, tức $(\alpha )$ là mặt phẳng đi qua $MN$; mặt phẳng $(\alpha )$ chứa $D$ và chứa đường thẳng $MN$ song song với $(ACD)$, trong khi $(\alpha )$ cũng chứa $C\in (ACD)$ — mâu thuẫn vì một mặt phẳng đi qua $MN$ song song với $(ACD)$ thì không thể cắt $(ACD)$ tại $C$. Cách trình bày gọn hơn: giả sử $M,N,C,D$ đồng phẳng trong $(\alpha )$. Khi đó $C\in (\alpha )$ và $MN\subset (\alpha )$. Vì $MN\parallel AC$ (đường trung bình tam giác $ABC$) nên giao tuyến của $(\alpha )$ với $(ABC)$ là đường thẳng qua $C$ và song song với $MN$, tức là đường thẳng qua $C$ song song với $AC$, đó chính là đường thẳng $AC$. Suy ra $A\in (\alpha )$. Vậy $(\alpha )$ chứa bốn điểm $A,B$ (vì $M,N\in (\alpha )$ nên đường thẳng $MN$... thực ra từ $A,C,M\in (\alpha )$, ba điểm không thẳng hàng, suy ra $(\alpha )=(ACM)=(ABC)$). Do đó $D\in (ABC)$, mâu thuẫn với giả thiết $ABCD$ là tứ diện (bốn điểm $A,B,C,D$ không đồng phẳng). Vậy giả sử sai, tức bốn điểm $M,N,C,D$ không cùng nằm trong một mặt phẳng. $■$

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là giao điểm của $a$ và $b$. Vì $a\subset (P)$ nên $M\in (P)$; vì $b\subset (Q)$ nên $M\in (Q)$. Suy ra $M\in (P)\cap (Q)$. Mà $(P)\cap (Q)=d$, do đó $M\in d$. Vậy giao điểm của $a$ và $b$ thuộc đường thẳng $d$. (Điều này cũng đúng khi $a$ hoặc $b$ chính là $d$.)