Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quan hệ liên thuộc (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Xét mặt phẳng $(DEF)$. Ta có $I=DE\cap AB$, mà $DE\subset (DEF)$, $AB\subset (ABC)$, nên $I$ là điểm chung của $(DEF)$ và $(ABC)$. Tương tự, $J=EF\cap BC$ với $EF\subset (DEF)$, $BC\subset (ABC)$ nên $J$ cũng thuộc cả hai mặt phẳng $(DEF)$ và $(ABC)$. Và $K=FD\cap CA$ với $FD\subset (DEF)$, $CA\subset (ABC)$ nên $K$ cũng thuộc cả hai mặt phẳng $(DEF)$ và $(ABC)$. Vậy cả ba điểm $I,J,K$ đều là điểm chung của hai mặt phẳng $(DEF)$ và $(ABC)$. Mặt khác, $(DEF)\ne (ABC)$ (vì $D\in (DEF)$ nhưng $D\notin (ABC)$ do $D$ nằm trên cạnh $SA$ không thuộc mặt đáy). Theo định lý: nếu hai mặt phẳng phân biệt cắt nhau thì giao tuyến của chúng là một đường thẳng, nên giao tuyến $(DEF)\cap (ABC)$ là một đường thẳng. Do đó ba điểm $I,J,K$ cùng nằm trên đường thẳng giao tuyến này, tức là ba điểm $I,J,K$ thẳng hàng. Đpcm.

(AI giải đề cho tôi)
Trong mặt phẳng $(BCD)$, vì $O$ nằm trong tam giác $BCD$ nên đường thẳng $DO$ cắt cạnh $BC$ tại một điểm $E$ (với $E$ thuộc đoạn $BC$, $E$ khác $B$, $C$). Khi đó: $E\in DO\subset (AOD)$ nên $E\in (AOD)$; mặt khác $E\in BC$. Vậy $E$ là giao điểm của $BC$ và $(AOD)$. Thật vậy, hai mặt phẳng $(AOD)$ và $(BCD)$ cắt nhau theo giao tuyến $OD$, nên giao điểm của $BC$ (nằm trong $(BCD)$) với $(AOD)$ phải nằm trên $OD$, tức là $E=BC\cap OD$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu hỏi yêu cầu tìm thêm các ví dụ thực tế gợi hình ảnh về một điểm thuộc một mặt phẳng (như chấm phạt đền là một điểm nằm trên mặt sân bóng). Một số ví dụ khác: (1) Đèn thả neo nằm trên mặt biển hay mặt hồ phẳng lặng; (2) Con dấu đóng trên trang giấy (điểm mực nằm trên mặt phẳng trang giấy); (3) Vị trí một chiếc ghế ngồi trên mặt sàn nhà; (4) Chấm mực rơi xuống trang vở; (5) Vị trí đặt một quân cờ trên bàn cờ (điểm thuộc mặt phẳng bàn cờ); (6) Vết mực bắn lên tường (điểm thuộc mặt phẳng tường); (7) Vị trí một hòn sỏi nằm trên mặt đường nhựa. Trong mỗi ví dụ, vật được coi như một điểm (kích thước không đáng kể) và bề mặt được coi như một mặt phẳng, cho ta hình ảnh một điểm thuộc một mặt phẳng.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $E$, $F$ là trung điểm $AB$, $BC$ nên $EF\parallel AC$ (định lí đường trung bình). Mà $EF\subset (EFG)$ nên $AC\parallel (EFG)$, do đó mặt phẳng $(EFG)$ không cắt mặt $(SAC)$. Ba điểm $E\in AB$, $F\in BC$, $G\in SC$ (vì $\overrightarrow{SG}=\frac{1}{2}\overrightarrow{SC}$ nên $G$ là trung điểm $SC$) lần lượt nằm trên ba mặt $(SAB)$, $(SBC)$, $(ABC)$. Vậy thiết diện là tam giác $EFG$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M,N$ là trung điểm $SA,SB$ nên $MN\parallel AB$ (tính chất đường trung bình của tam giác $SAB$). Do đó mặt phẳng $(MNP)$ chứa phương // của $AB$.

Xét giao của $(MNP)$ với mặt đáy $(ABCD)$: hai mặt phẳng này cùng chứa phương // của $AB$ nên giao tuyến của chúng đi qua $P$ và song song với $AB$. Đường thẳng qua $P\parallel AB$ cắt cạnh $AD$ tại điểm $U$ (vì $AB\parallel CD$ nên nó song song với $CD$, không cắt $CD$; mà cắt $AD$ tại $U$ với $U$ nằm giữa $A$ và $D$). Vậy $(MNP)$ cắt đáy theo đoạn $PU\parallel AB$.

Tiếp tục: trong mặt $(SAD)$, mặt phẳng $(MNP)$ cắt theo đoạn $MU$ (M trên $SA$, U trên $AD$); đường thẳng $MU$ không cắt đoạn $SD$ bên trong, và đường thẳng $NP$ cắt đường thẳng $SC$ ngoài đoạn $SC$, nên mặt phẳng không cắt thêm cạnh nào khác của hình chóp.

Vậy thiết diện là tứ giác $MNPU$ với $MN\parallel PU$ (cùng song song với $AB$) và $MN=\frac{1}{2}AB<PU=AB$, tức là một hình thang.

Đáp án: B. Hình thang.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABD$, $N$, $P$ là trung điểm $BD$, $AD$ nên $NP\parallel AB$, do đó $AB\parallel (MNP)$ và mặt phẳng không cắt cạnh $AB$. Trong mặt phẳng $(BCD)$, đường thẳng $MN$ cắt đường thẳng $CD$ tại điểm $Q$ ngoài đoạn $CD$ (vì $M$ không phải trung điểm), nên mặt phẳng không cắt cạnh $CD$ trong đoạn cạnh. Xét mặt phẳng cắt cạnh $AC$: dùng tọa độ với $A,B,C,D$ làm gốc: $P=\frac{A+D}{2}$, $N=\frac{B+D}{2}$, $M=\frac{2B+C}{3}$. Mặt phẳng $(MNP)$ có phương trình barycentric $-A-B+2C+D=0$. Điểm trên $AC$ dạng $(1-u)A+uC$ thỏa $-(1-u)+2u=0\Rightarrow u=\frac{1}{3}$, tức mặt phẳng cắt cạnh $AC$ tại $E$ với $AE=\frac{1}{3}AC$, nằm trong đoạn $AC$. Vậy thiết diện là tứ giác $PNME$ (các đỉnh lần lượt trên $AD,BD,BC,AC$). Ta có $NP\parallel AB$ và $E=\frac{2A+C}{3}$, $M=\frac{2B+C}{3}$ nên $EM\parallel AB$, suy ra $NP\parallel EM$. Thiết diện là tứ giác có một cặp cạnh đối song song, tức hình thang. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel CD$. Mặt phẳng $(ICD)$ chứa $CD$ và điểm $I$ trên cạnh $SO$. Trong mặt phẳng $(SAB)$, giao tuyến của $(ICD)$ với $(SAB)$ là đường thẳng qua $I$ song song với $AB$ (do $CD\parallel AB$), cắt $SA$ tại $E$ và cắt $SB$ tại $F$, suy ra $EF\parallel CD$. Thiết diện cắt các mặt $SAD$, $SBC$ và chứa $CD$ là tứ giác $EFCD$ (thứ tự $E,F,C,D$) có $EF\parallel CD$ nhưng $EC$ và $FD$ không song song (chúng nằm trên hai cạnh bên của hình chóp và không song song nhau). Vậy thiết diện là hình thap.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M,N$ là trung điểm $AB,AC$ nên $MN\parallel BC$ và $MN=\frac{1}{2}BC$. Mặt phẳng $(MNE)$ chứa đường thẳng $MN\parallel BC$, mà $BC\subset (BCD)$, nên giao tuyến của $(MNE)$ với $(BCD)$ là đường thẳng qua $E$ song song với $BC$, cắt $BD$ tại $F$ với $EF\parallel BC$. Tam giác $DEF$ đồng dạng $DCB$ nên $EF=\frac{ED}{DC}BC=\frac{3}{4}BC$. Trong tứ giác $MNEF$: $MN\parallel EF$ (cùng song song $BC$) nhưng $MN=\frac{1}{2}BC\ne \frac{3}{4}BC=EF$, do đó thiết diện là hình thang $MNEF$ với $F$ trên cạnh $BD$ sao cho $EF\parallel BC$. Chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(IBC)$ chứa $B$, $C$ và $I$ (trung điểm $SA$). Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $BC\parallel AD$, do đó $BC\parallel (SAD)$. Giao tuyến của $(IBC)$ với mặt $(SAD)$ là đường thẳng qua $I$ song song với $AD$ (cũng song song với $BC$), cắt $SD$ tại $J$. Trong tam giác $SAD$, đường thẳng qua trung điểm $I$ của $SA$ và song song với $AD$ đi qua trung điểm $J$ của $SD$ (tính chất đường trung bình), nên $IJ\parallel AD\parallel BC$. Vậy thiết diện là tứ giác $IBCJ$ với $IJ\parallel BC$, tức hình thang $IBCJ$ với $J$ là trung điểm $SD$. Khớp với đáp án B của nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
a) Trong tam giác $ABC$, $E$ là trung điểm $AB$, $F$ là trung điểm $BC$ nên $EF$ là đường trung bình, suy ra $EF\parallel AC$. Đúng.
b) Vì $AB\parallel CD$ (đáy là hình bình hành) và $CD\subset (SCD)$, $AB\not\subset (SCD)$ nên $AB\parallel (SCD)$. Mặt phẳng $(SAB)$ chứa $AB$ và cắt $(SCD)$ theo giao tuyến $d$ qua $S$, do đó $d\parallel AB$ (tức $d\parallel CD$), không phải song song với $AC$. Sai.
c) Vì $BC\parallel AD$ (đáy là hình bình hành) và $AD\subset (SAD)$, $BC\not\subset (SAD)$ nên $BC\parallel (SAD)$. Mặt phẳng $(MBC)$ chứa $BC$ và cắt $(SAD)$ theo giao tuyến $d$ qua $M$ (vì $M\in SA\subset (SAD)$ và $M\in (MBC)$), suy ra $d\parallel BC$. Đúng.
d) Theo câu a), $EF\parallel AC$ với $AC\subset (SAC)$, $EF\not\subset (SAC)$ nên $EF\parallel (SAC)$. Mặt phẳng $(MEF)$ chứa $EF$ và cắt $(SAC)$ theo giao tuyến $d$ qua $M$ (vì $M\in SA\subset (SAC)$ và $M\in (MEF)$), suy ra $d\parallel AC$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$E,F$ là trung điểm $AB,BC$ nên $EF$ là đường trung bình tam giác $ABC$, suy ra $EF\parallel AC$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $AB\parallel CD$ nên $AB\parallel (SCD)$; giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường qua $S$ song song với $AB$ (tức $CD$), không song song với $AC$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $BC\parallel AD$ nên $BC\parallel (SAD)$; giao tuyến của $(MBC)$ và $(SAD)$ là đường qua $M$ song song với $BC$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $EF\parallel AC$ nên $EF\parallel (SAC)$; giao tuyến của $(MEF)$ và $(SAC)$ là đường qua $M$ song song với $AC$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Trong tam giác $ACD$, $I$ là trung điểm $AD$, $J$ là trung điểm $AC$ nên $IJ$ là đường trung bình của tam giác $ACD$, suy ra $IJ\parallel CD$ và $IJ=\frac{1}{2}CD=3$.

b) Ta có $I\in (BCD)$? Không, $I\notin (BCD)$. Xét: $G\in (BCD)$ và $G\in (GIJ)$ nên $G$ thuộc giao tuyến. Trong mặt phẳng $(ACD)$, $IJ\parallel CD$ với $CD\subset (BCD)$, $IJ\subset (GIJ)$, $CD\subset (BCD)$, do đó đường thẳng qua $G$ song song với $CD$ (nằm trong $(BCD)$) cũng song song với $IJ$, nên nó chính là giao tuyến. Vậy giao tuyến của $(GIJ)$ và $(BCD)$ là đường thẳng $d$ đi qua $G$ và $d\parallel CD$ (hay $d\parallel IJ$).

c) Đường thẳng $d$ qua $G$ song song $CD$ cắt $BC$ tại $M$, cắt $BD$ tại $N$. Trong tam giác $BCD$, đường thẳng qua trọng tâm $G$ song song với $CD$ nên $\frac{BM}{BC}=\frac{BN}{BD}=\frac{2}{3}$ (vì $G$ cách đỉnh $B$ một khoảng bằng $\frac{2}{3}$ đường trung tuyến). Suy ra $MN$ là đường trung bình tương tự: $MN=\frac{2}{3}CD=\frac{2}{3}\cdot 6=4$, và $G$ là trung điểm $MN$.

Vậy $2IJ+3MN=2\cdot 3+3\cdot 4=6+12=18$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABD$: $M$ là trung điểm $AB$, $N$ là trung điểm $AD$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN\parallel BD$.

Ta có $BD\subset (BCD)$ và $MN\subset (MNP)$, với $BD\not\subset (MNP)$, nên theo định lí về giao tuyến của hai mặt phẳng, giao tuyến của $(MNP)$ và $(BCD)$ là đường thẳng đi qua $P$ và song song với $BD$.

Mặt khác, $Q$ là giao điểm của $BC$ với $(MNP)$, mà $BC\subset (BCD)$ nên $Q$ thuộc giao tuyến của $(MNP)$ và $(BCD)$. Do đó giao tuyến này chính là đường thẳng $PQ$.

Vậy $PQ\parallel BD$. Đpcm.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A(0,0,0)$, $B(b,0,0)$, $C(b,c,0)$, $D(0,c,0)$, $O\left(\frac{b}{2},\frac{c}{2},0\right)$, $S\left(\frac{b}{2},\frac{c}{2},h\right)$. Trung điểm $M$ của $OC$ là $M\left(\frac{3b}{4},\frac{3c}{4},0\right)$. Mặt phẳng $(\alpha )$ qua $M$ có hai vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_1=(b,-c,0)$ (song song $BD$) và ${\vec{u}}_2=\left(\frac{b}{2},\frac{c}{2},h\right)$ (song song $SA$), nên điểm thuộc $(\alpha )$ có dạng $M+t(b,-c,0)+s\left(\frac{b}{2},\frac{c}{2},h\right)$.

- Giao với mặt đáy ($z=0\Rightarrow s=0$): đường thẳng qua $M$ song song $BD$, cắt $BC$ tại $P\left(b,\frac{c}{2},0\right)$ (trung điểm $BC$) và cắt $CD$ tại $Q\left(\frac{b}{2},c,0\right)$ (trung điểm $CD$).
- Giao với mặt $(SBC)$: điểm trên $SC$ có dạng $C+u(S-C)=\left(b-\frac{ub}{2},c-\frac{uc}{2},uh\right)$. Thay vào phương trình của $(\alpha )$: từ tung độ $z$ được $s=u$; từ $x$: $\frac{3}{4}+t+\frac{u}{2}=1-\frac{u}{2}\Rightarrow t=\frac{1}{4}-u$; từ $y$: $\frac{3}{4}-t+\frac{u}{2}=1-\frac{u}{2}\Rightarrow t=u-\frac{1}{4}$. Suy ra $u=\frac{1}{4}$, tức giao điểm $R$ trên $SC$ với $CR=\frac{1}{4}SC$: $R=\left(\frac{7b}{8},\frac{7c}{8},\frac{h}{4}\right)$.
- Giao với mặt $(SCD)$: điểm dạng $C+u(S-C)+v(D-C)$. Tương tự thu được $v=\frac{1}{2}-2u$ với $0\le u\le \frac{1}{4}$: hai đầu mút là $u=0,v=\frac{1}{2}$ cho đúng điểm $Q$ và $u=\frac{1}{4},v=0$ cho đúng điểm $R$. Vậy giao tuyến trên mặt $(SCD)$ là đoạn $QR$.
- Với $(SAB)$ và $(SAD)$: giải hệ cho tham số nằm ngoài đoạn nên $(\alpha )$ không cắt hai mặt bên này (do $(\alpha )\parallel SA$).

Vậy thiết diện là tam giác $PQR$ với $P$ trung điểm $BC$, $Q$ trung điểm $CD$, $R$ thuộc $SC$ sao cho $CR=\frac{1}{4}SC$. Đáp án: hình tam giác.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình thang cân với đáy lớn $AD$ nên $AB\parallel CD$ không đúng, nhưng $M,N$ là trung điểm của $AB$ và $CD$ nên $MN$ là đường trung bình của hình thang, do đó $MN\parallel AD\parallel BC$.

Vì $MN\parallel BC$ và $BC\subset (SBC)$ nên $MN\parallel (SBC)$. Mặt phẳng $(P)$ qua $MN$ cắt $(SBC)$ theo giao tuyến $EF$ (với $E\in SB$, $F\in SC$), suy ra $EF\parallel MN$ (giao tuyến của hai mặt phẳng, một mặt chứa đường thẳng song song với mặt kia).

Thiết diện là tứ giác $MNEF$ có $MN\parallel EF$. Hai cạnh còn lại $ME$ nằm trong mặt $(SAB)$ và $NF$ nằm trong mặt $(SDC)$; vì $AB$ và $CD$ không song song (hình thang) nên nói chung $ME$ không song song $NF$. Vậy thiết diện là tứ giác có một cặp cạnh đối song song: hình thang.

Đáp án: B.

(AI giải đề cho tôi)
Cách dựng: Trong mặt phẳng $(ABC)$, qua $M$ vẽ đường thẳng song song với $BC$, cắt $AC$ tại $P$. Vì $(\alpha )$ chứa $M$ và $(\alpha )\parallel BC$ nên giao tuyến của $(\alpha )$ với mặt $(ABC)$ là đường thẳng qua $M$ song song $BC$, tức $MP$. Tương tự, trong mặt phẳng $(BCD)$, qua $N$ vẽ đường thẳng song song với $BC$ cắt $BD$ tại $Q$; đó là giao tuyến của $(\alpha )$ với mặt $(BCD)$. Khi đó: $(\alpha )\cap (ABC)=MP$ ($MP\parallel BC$); $(\alpha )\cap (BCD)=NQ$ ($NQ\parallel BC$); $(\alpha )\cap (ABD)=MQ$ vì $M\in AB$, $Q\in BD$ đều thuộc $(ABD)$ và thuộc $(\alpha )$; $(\alpha )\cap (ACD)=NP$ vì $N\in CD$, $P\in AC$ đều thuộc $(ACD)$ và thuộc $(\alpha )$. Vậy thiết diện của $(\alpha )$ với tứ diện là tứ giác $MPNQ$ (với $MP\parallel NQ$ cùng song song $BC$). Lưu ý: nếu $M$ trùng $A$ hoặc $N$ trùng $D$... thì một số cạnh của tứ giác suy biến thành tam giác, nhưng với $M,N$ là điểm bất kỳ trong lòng hai cạnh, kết quả là tứ giác $MPNQ$.

(AI giải đề cho tôi)
Thiết diện qua $M$ song song $(SBC)$: trong mặt $(SAB)$ qua $M$ kẻ $MN\parallel SB$ với $N\in SA$; trong đáy qua $M$ kẻ $MP\parallel BC$ với $P\in CD$ (tồn tại vì $AB\parallel CD$); trong mặt $(SCD)$ qua $P$ kẻ $PQ\parallel SC$ với $Q\in SD$. Ta có $\frac{SN}{SA}=\frac{MB}{AB}$ và $\frac{SQ}{SD}=\frac{PC}{DC}=\frac{MB}{AB}$, suy ra $\frac{SN}{SA}=\frac{SQ}{SD}$ nên $NQ\parallel AD$, tức $NQ\parallel MP$ (cùng song song $BC$). Còn $MN\nparallel QP$ vì $SB$ không song song $SC$. Vậy thiết diện $MNQP$ là hình thang. Vì $SBC$ đều nên $SB=SC$, do đó $MN=\frac{MB}{AB}\cdot SB=\frac{MB}{AB}\cdot SC=QP$: hai cạnh bên bằng nhau. Thiết diện là hình thang cân. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Trong mặt phẳng $(BCD)$, qua $M$ kẻ đường song song với $BI$, cắt $BD$ tại $N$ (vì $BI$ cắt $BD$ tại $B$). Khi đó $MN\parallel BI\subset (ABI)$ nên $MN\parallel (ABI)$.
Trong mặt phẳng $(ABD)$, qua $N$ kẻ đường song song với $AB$, cắt $AD$ tại $P$; khi đó $NP\parallel AB$ nên $NP\parallel (ABI)$.
Gọi thiết diện là $(MNP)$. Vì $(MNP)\cap (ACD)$ là đường qua $P$ và $(ABI)\cap (ACD)=AI$, nên đường giao này song song với $AI$, tức $PM\parallel AI$ (đúng vì $M$ nằm trên đường qua $P$ song song $AI$ trong $(ACD)$, cắt $BC$ tại $M$ ban đầu).
Vậy thiết diện là tam giác $MNP$ với $MN\parallel BI$, $NP\parallel AB$, $PM\parallel AI$, nên $△MNP\sim △IBA$.
Trong tứ diện đều cạnh $a$: $AB=a$, còn $AI=BI=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ (đường trung tuyến của tam giác đều). Suy ra tam giác $IBA$ cân tại $I$, do đó tam giác $MNP$ cũng là tam giác cân (không đều vì $AB\ne AI$).
Vậy thiết diện là một tam giác cân.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và chân đường cao trùng tâm đáy (tương đương các cạnh bên bằng nhau). Do đó khẳng định A đúng. B sai vì các mặt bên là tam giác cân, không nhất thiết vuông; C và D sai vì đáy phải là đa giác đều. Khớp với đáp án mã đề 101: A.

(AI giải đề cho tôi)
Tứ diện ABCD có 4 đỉnh, mỗi cạnh là một cặp đỉnh, nên số cạnh là $\frac{4\cdot 3}{2}=6$. Đáp án B. (Lưu ý: bản in gốc có phương án C và D đều ghi '8.', đây là lỗi in của nguồn, không ảnh hưởng đáp án.)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $M\in SA\subset (SAB)$ và $M\in (MCD)$. Ngoài ra $N=AB\cap CD$ nên $N\in AB\subset (SAB)$ và $N\in CD\subset (MCD)$. Vậy hai mặt phẳng $(MCD)$ và $(SAB)$ cùng chứa hai điểm phân biệt $M,N$, do đó giao tuyến của chúng là đường thẳng $MN$. Đáp án A.