Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Để lấy 2 bi có đủ cả 2 màu, cần chọn 1 bi đỏ trong 5 bi và 1 bi xanh trong 4 bi. Số cách chọn bi đỏ là $C_5^1=5$, số cách chọn bi xanh là $C_4^1=4$. Theo quy tắc nhân, số cách lấy 2 bi đủ cả 2 màu là $5\times 4=20$ cách. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 1 bông mỗi màu: 5 cách chọn hoa trắng, 6 cách chọn hoa đỏ, 7 cách chọn hoa vàng. Theo quy tắc nhân, số cách chọn ba bông hoa có đủ cả ba màu là $5\cdot 6\cdot 7=210$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số hoa là 9 (4 trắng, 5 hồng). a) Chọn 4 tùy ý: $C_9^4=126$ → đúng. b) Mỗi màu bằng nhau tức 2 trắng và 2 hồng: $C_4^2\cdot C_5^2=6\cdot 10=60\ne 36$ → sai. c) 3 hồng và 1 trắng: $C_5^3\cdot C_4^1=10\cdot 4=40$ → đúng. d) Chọn 4 bông có đủ hai màu = tổng trừ trường hợp chỉ một màu: $126-C_4^4-C_5^4=126-1-5=120\ne 100$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$C_9^4=126$ cách chọn 4 bông tùy ý từ 9 bông.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số bông mỗi màu bằng nhau: chọn 2 trắng và 2 hồng, $C_4^2\cdot C_5^2=6\cdot 10=60\ne 36$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$C_5^3\cdot C_4^1=10\cdot 4=40$ cách.
d) (AI giải đề cho tôi)
Có đủ hai màu: $126-C_4^4-C_5^4=126-1-5=120\ne 100$.

(AI giải đề cho tôi)
Có tất cả 4 + 3 + 2 = 9 quyển sách đôi một khác nhau. Xếp 9 quyển sách này trên một giá nằm ngang là một hoán vị của 9 phần tử, nên số cách xếp là $9!=9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=362880$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Xếp 3 khối sách (toán, lý, hoá) cạnh nhau: có $3!=6$ cách xếp thứ tự các khối. Trong khối toán: $4!=24$ cách; khối lý: $3!=6$ cách; khối hoá: $2!=2$ cách. Tổng: $3!\cdot 4!\cdot 3!\cdot 2!=6\cdot 24\cdot 6\cdot 2=1728$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2: Lớp có 18 nam và 12 nữ.
a) Chọn 3 học sinh có duy nhất một bạn nữ: chọn 1 nữ trong 12 bạn và chọn 2 nam trong 18 bạn. Số cách là $C_{12}^1\cdot C_{18}^2=12\cdot \frac{18\cdot 17}{2}=12\cdot 153=1836$ cách.
b) Chọn 3 học sinh làm ban cán sự gồm lớp trưởng, lớp phó học tập, lớp phó văn thể mĩ: đây là chọn và sắp xếp 3 người từ 30 học sinh (các chức vụ khác nhau nên thứ tự quan trọng). Số cách là $A_{30}^3=30\cdot 29\cdot 28=24360$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Chữ số chia hết cho 5 phải có chữ số tận cùng là 5. Vì lập từ các số 1,2,3,4,5,6 (mỗi số dùng đúng một lần), ta chọn và xếp 3 chữ số từ 5 số còn lại {1,2,3,4,6} vào 3 vị trí đầu: có $A_5^3=5\cdot 4\cdot 3=60$ cách. Vậy lập được 60 chữ số có 4 chữ số chia hết cho 5.

(AI giải đề cho tôi)
Đội hình 2-4-4 gồm 1 thủ môn, 2 hậu vệ, 4 tiền vệ, 4 tiền đạo. Số cách chọn: $$C_3^1\cdot C_7^2\cdot C_8^4\cdot C_5^4=3\cdot 21\cdot 70\cdot 5=22050.$$ Vậy Huấn luyện viên có 22050 cách sắp xếp đội hình ra sân.

(AI giải đề cho tôi)
Có tất cả $10\times 3=30$ học sinh. Nếu mọi cặp học sinh đều bắt tay nhau thì số lần bắt tay là $C_{30}^2=\frac{30\cdot 29}{2}=435$. Tuy nhiên, hai học sinh cùng lớp không bắt tay nhau, mỗi lớp có $C_3^2=3$ cặp như vậy, và có 10 lớp nên trừ đi $10\times 3=30$ cặp. Vậy số lần bắt tay là $435-30=405$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Số có ba chữ số đôi một khác nhau lấy từ tập X gồm 6 chữ số {0;1;2;3;4;5} là các chỉnh hợp chập 3 của 6 phần tử: $A_6^3=6\cdot 5\cdot 4=120$. Vậy không gian mẫu có 120 phần tử, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách xếp thứ tự phát biểu của 4 đại biểu A, B, C, D là $4!=24$ cách. Do tính đối xứng, trong mỗi hoán vị, A đứng trước B và B đứng trước A xảy ra với xác suất bằng nhau, nên số cách để A phát biểu trước B là $\frac{24}{2}=12$ cách. Vậy có tất cả 12 cách xếp thứ tự phát biểu sao cho đại biểu A phát biểu trước đại biểu B.

(AI giải đề cho tôi)
Số chẵn có 3 chữ số từ các chữ số 0;1;2;3;4;5. Trường hợp 1: chữ số tận cùng là 0, chọn hàng trăm và hàng chục từ 5 chữ số còn lại: $5\cdot 4=20$ số. Trường hợp 2: chữ số tận cùng là 2 hoặc 4 (2 cách), hàng trăm không được là 0 nên còn 4 cách, hàng chục còn 4 cách: $2\cdot 4\cdot 4=32$ số. Tổng: $20+32=52$ số. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp 10 bạn (5 nam, 5 nữ, mỗi bạn là một cá nhân phân biệt) thành một hàng dọc là một hoán vị của 10 phần tử, nên số cách là $10!$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Số có ba chữ số khác nhau từ 1;2;3;4: $A_4^3=4\cdot 3\cdot 2=24$ → đúng.
b) Số lẻ có ba chữ số khác nhau từ 0;1;2;3;4;5: chữ số cuối thuộc $\{1;3;5\}$ (3 cách), chữ số đầu khác 0 và khác chữ số cuối (4 cách), chữ số giữa (4 cách) → $3\cdot 4\cdot 4=48\ne 40$ → sai.
c) Số có ba chữ số chia hết cho 5 từ các chữ số 0..8 (cho phép lặp): tận cùng 0: $8\cdot 9=72$; tận cùng 5: $8\cdot 9=72$; tổng $144$ → đúng.
d) Số chẵn bốn chữ số từ 0..6: nếu các chữ số khác nhau: tận cùng 0: $A_6^3=120$; tận cùng 2;4;6: $5\cdot A_5^2=100$ mỗi trường hợp, tổng $120+300=420$. Nếu cho phép lặp: tận cùng 0: $6^3=216$; tận cùng 2;4;6: $5\cdot 6\cdot 6=180$ mỗi trường hợp, tổng $216+540=756$. Cả hai cách hiểu đều không cho 1170 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$A_4^3=24$ số, mệnh đề đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đếm đúng là $3\cdot 4\cdot 4=48$, không phải 40.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tận cùng 0 hoặc 5, mỗi trường hợp $8\cdot 9=72$, tổng 144, mệnh đề đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Số chẵn bốn chữ số từ 0..6 là 420 (khác nhau) hoặc 756 (cho phép lặp), không phải 1170.

(AI giải đề cho tôi)
Số chia hết cho 2 nên chữ số cuối phải chẵn: chỉ có 2 lựa chọn (2 hoặc 4). Ba vị trí còn lại... thực tế có 5 chữ số đôi một khác nhau: chọn chữ số cuối (2 cách), sau đó xếp 4 chữ số còn lại vào 4 vị trí: $4!=24$ cách. Tổng: $2\cdot 4!=48$ số. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Số cần lập có 9 chữ số gồm: chữ số 2 xuất hiện 2 lần, chữ số 3 xuất hiện 3 lần, chữ số 4 xuất hiện 4 lần. Đây là bài toán hoán vị lặp: số cách sắp xếp 9 vị trí với các nhóm lặp là $$\frac{9!}{2!\cdot 3!\cdot 4!}=\frac{362880}{2\cdot 6\cdot 24}=\frac{362880}{288}=1260.$$ Vậy lập được 1260 số.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 1 Hoa hậu từ 59 thí sinh: $C_{59}^1$ cách. Sau đó chọn 4 Á hậu (1,2,3,4) từ 58 thí sinh còn lại: vì các vị trí Á hậu 1,2,3,4 là khác nhau nên có $A_{58}^4$ cách. Theo quy tắc nhân, số cách là $C_{59}^1\cdot A_{58}^4=59\cdot A_{58}^4=A_{59}^5$ (vì $C_{59}^1\cdot A_{58}^4=59\cdot \frac{58!}{54!}=\frac{59!}{54!}=A_{59}^5$). Vậy đáp án là $A_{59}^5$.

(AI giải đề cho tôi)
Số cách chọn nhóm 3 học sinh bất kỳ từ 30 học sinh là $C_{30}^3=\frac{30\cdot 29\cdot 28}{6}=4060$. Số cách chọn nhóm 3 học sinh không có nữ (tức cả 3 đều nam) là $C_{20}^3=\frac{20\cdot 19\cdot 18}{6}=1140$. Vậy số cách chọn nhóm có ít nhất một học sinh nữ là $C_{30}^3-C_{20}^3=4060-1140=2920$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Có 10 cách chọn người đàn ông, với mỗi lựa chọn có 9 người đàn bà không phải vợ của anh ta. Tổng: $10\times 9=90$ cách. Vậy đáp án D.