Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

$C_5^2.C_{13}^2+C_5^1.C_{13}^3+C_{13}^4$. Vậy có 2925 cách.

(AI giải đề cho tôi)
Số có 7 chữ số gồm đúng hai chữ số 2, ba chữ số 3, và hai chữ số còn lại khác nhau lấy từ $\{1;4;5;6\}$ (mỗi chữ số xuất hiện không quá 1 lần). Chọn vị trí cho hai chữ số 2: $C_7^2=21$ cách. Chọn vị trí cho ba chữ số 3 trong 5 vị trí còn lại: $C_5^3=10$ cách. Hai vị trí cuối được điền bởi 2 chữ số phân biệt chọn từ 4 chữ số $\{1;4;5;6\}$: $A_4^2=12$ cách. Tổng: $21\times 10\times 12=2520$, khớp với đáp án nguồn.

$C_5^2.C_{13}^2+C_5^3.C_{13}^1+C_5^4$. Vậy có 915 cách.

(AI giải đề cho tôi)
Tập A có 7 phần tử. a) Chọn 1 chữ số từ A: có 7 cách → Đúng. b) Số có 4 chữ số đôi một khác nhau lập từ A: $A_7^4=840$; không chứa chữ số 5: $A_6^4=360$; nên có mặt chữ số 5: $840-360=480$ → Đúng. c) Chữ số 2 cố định ở hàng đơn vị, chọn 3 chữ số khác từ 6 chữ số còn lại: $A_6^3=120$ → Đúng. d) Số chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau: hàng đơn vị chọn từ {2;4;6} có 3 cách, 3 vị trí còn lại chọn từ 6 chữ số còn lại: $A_6^3=120$; tổng $3\cdot 120=360\ne 630$ → Sai. Kết quả khớp đáp án mã đề 1001: ĐĐĐS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tập A có 7 phần tử nên có 7 cách chọn một chữ số.
b) (AI giải đề cho tôi)
$A_7^4-A_6^4=840-360=480$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Chữ số 2 ở hàng đơn vị, 3 chữ số còn lại chọn từ 6 chữ số: $A_6^3=120$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Số chẵn: hàng đơn vị có 3 cách (2;4;6), ba vị trí còn lại $A_6^3=120$, tổng $3\cdot 120=360\ne 630$.

(AI giải đề cho tôi)
Hộp có 6 bi xanh, 5 bi đỏ, 4 bi vàng (tổng 15 bi), chọn ngẫu nhiên 4 bi.
a) Cùng một màu: chỉ có thể chọn 4 bi xanh (vì đỏ chỉ có 5, vàng chỉ có 4, không đủ 4 bi đỏ... thực tế đỏ có 5 nên chọn được C(5,4)=5). Số cách = C(6,4)+C(5,4)+C(4,4) = 15+5+1 = 21. Đúng.
b) 2 xanh, 1 đỏ, 1 vàng: C(6,2)·C(5,1)·C(4,1) = 15·5·4 = 300 cách, không phải 600. Sai.
c) Đủ cả ba màu, các phân phối (xanh, đỏ, vàng) là (2,1,1), (1,2,1), (1,1,2): C(6,2)·5·4 + 6·C(5,2)·4 + 6·5·C(4,2) = 300+240+180 = 720 cách, không phải 760. Sai.
d) Ít nhất 1 bi xanh = tổng cách chọn 4 bi từ 15 trừ trường hợp không có bi xanh (chọn từ 9 bi đỏ và vàng): C(15,4) − C(9,4) = 1365 − 126 = 1239 cách. Đúng.
Kết quả khớp với đáp án mã đề 1001: a Đúng, b Sai, c Sai, d Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Cùng một màu: C(6,4)+C(5,4)+C(4,4)=15+5+1=21 cách.
b) (AI giải đề cho tôi)
C(6,2)·C(5,1)·C(4,1)=15·5·4=300 cách, không phải 600.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đủ ba màu: 300+240+180=720 cách, không phải 760.
d) (AI giải đề cho tôi)
C(15,4)−C(9,4)=1365−126=1239 cách.

Số cách chọn vị trí cho chữ số 6 là: 6. Số cách chọn số (trừ 0, 9, 8, 6) cho 5 vị trí còn lại là $A_6^5$. Vậy số điện thoại có thể lập ra là: 4320. (Điểm: 0,25 + 0,25)

Cách chọn 4 học sinh trong 32 học sinh là: $C_{32}^4$. (Điểm: 0,1) Chọn ra 4 bạn, trong đó có 1 cặp song sinh, không có mặt cặp còn lại: $2.C_{28}^2$. Chọn ra 4 bạn, trong đó có 3 trong 4 bạn song sinh, 1 bạn trong 28 bạn còn lại: $\mathrm{2.2.}{C}_{28}^1$. Chọn ra 4 bạn, trong đó có đủ 2 cặp song sinh: 1. Vậy số cách chọn thỏa ycbt: $C_{32}^4-(2.C_{28}^2+\mathrm{2.2.}{C}_{28}^1+1)=35091$. (Điểm: 0,2; 0,2) Cách khác: TH1: Chọn ra 4 bạn, không có bạn nào trong 2 cặp sinh đôi: $C_{28}^4$. TH2: Chọn ra 1 bạn trong 2 cặp sinh đôi, 3 bạn trong 28 bạn còn lại: $4.C_{28}^3$. TH3: Chọn ra 2 bạn trong 2 cặp sinh đôi, nhưng không phải anh em, chọn 2 bạn trong 28 bạn còn lại: $4.C_{28}^2$. Vậy có $C_{28}^4+4.C_{28}^3+4.C_{28}^2=35091$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (mã đề 210), đáp án Đúng-Sai-Sai-Đúng khớp bảng đáp án trang 9.
a) Chọn 3 học sinh bất kỳ từ 18: $C_{18}^3=\frac{18\cdot 17\cdot 16}{6}=816$ cách → ĐÚNG.
b) Mỗi khối đúng một học sinh: $9\cdot 5\cdot 4=180$ cách, không phải 25 → SAI.
c) Chọn mỗi khối một học sinh (180 cách) rồi tặng 3 suất học bổng khác nhau: $180\cdot 3!=1080$ cách, không phải 1008 → SAI.
d) Chọn 4 học sinh có ít nhất 2 khối 12: tổng $C_{18}^4=3060$; trừ trường hợp 0 khối 12: $C_9^4=126$ và đúng 1 khối 12: $9\cdot C_9^3=9\cdot 84=756$; kết quả $3060-126-756=2178$ cách → ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
$C_{18}^3=816$ cách, mệnh đề đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số cách là $9\cdot 5\cdot 4=180\ne 25$, mệnh đề sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$180\cdot 3!=1080\ne 1008$, mệnh đề sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$C_{18}^4-C_9^4-9C_9^3=3060-126-756=2178$, mệnh đề đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác không thể có 3 đỉnh cùng nằm trên một đường thẳng, nên mỗi tam giác phải có 2 đỉnh trên một đường và 1 đỉnh trên đường kia. Trường hợp 1: 2 đỉnh trên $d_1$ và 1 đỉnh trên $d_2$: $C_{12}^2\cdot C_8^1=66\cdot 8=528$. Trường hợp 2: 1 đỉnh trên $d_1$ và 2 đỉnh trên $d_2$: $C_{12}^1\cdot C_8^2=12\cdot 28=336$. Tổng số tam giác: $528+336=864$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 864.

Đáp án chính thức (theo thứ tự a, b, c, d): Đúng - Sai - Sai - Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Số cần lập có 4 chữ số đôi một khác nhau, lấy từ $\{1,2,3,4,5,6,7\}$ và không vượt quá 2026. Xét chữ số hàng nghìn: nếu là 2 thì số có dạng $2abc$ với $a\ge 1$, tức $21xx$ trở lên, đều lớn hơn 2026 (vì $2111>2026$); các chữ số 3–7 cũng bị loại. Vậy chữ số hàng nghìn phải là 1. Ba chữ số còn lại chọn từ $\{2,3,4,5,6,7\}$ (6 chữ số) và đôi một khác nhau: số cách $=A(6,3)=6\cdot 5\cdot 4=120$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1020: 120).

(AI giải đề cho tôi)
Số chẵn nên chữ số tận cùng phải là 0, 2 hoặc 4. TH1: tận cùng là 0, chọn 3 chữ số từ 5 chữ số còn lại xếp vào 3 vị trí đầu: $A_5^3=60$. TH2: tận cùng là 2 hoặc 4 (2 cách), chữ số hàng nghìn khác 0 và khác chữ số tận cùng nên có 4 cách, hai vị trí còn lại chọn từ 4 chữ số còn lại: $A_4^2=12$, suy ra $2\cdot 4\cdot 12=96$. Tổng: $60+96=156$ số. Khớp với đáp án B của đề (mã đề 1020, câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
Số có 4 chữ số đôi một khác nhau từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7 và không vượt quá 2026. Vì các chữ số đều khác 0, số bắt đầu bằng 2 sẽ có dạng $2abc\ge 2000$ nhưng chữ số thứ hai nhỏ nhất là 1 nên số nhỏ nhất dạng này là $2134>2026$, do đó chữ số đầu tiên phải là 1. Khi đó 3 chữ số còn lại chọn từ $\{2,3,4,5,6,7\}$ đôi một khác nhau và khác 1: có 6 cách chọn chữ số hàng trăm, 5 cách chọn chữ số hàng chục, 4 cách chọn chữ số hàng đơn vị. Tổng: $6\times 5\times 4=120$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (120).

Tổng số quả cầu trong hộp là: $6+5+4=15$.

a) Số cách lấy ra 3 quả cầu từ hộp là: $C_{15}^3=455$ cách. Kết luận: 455 cách. (0,5 điểm)

b) Ta thực hiện theo các bước sau: Chọn 1 quả cầu vàng có 4 cách. Chọn 1 quả cầu đỏ (không cùng số với quả vàng đã chọn) có 4 cách. Chọn 1 quả cầu xanh (không cùng số với quả vàng và đỏ đã chọn) có 4 cách. (0,25 điểm)

Theo quy tắc nhân, ta có: $\mathrm{4.4.4}=64$ cách. Kết luận: 64 cách. (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Hộp có 3 bi đỏ, 4 bi vàng, 5 bi xanh (tổng 12 bi).
a) Đúng. Chọn 4 bi có đủ 3 màu nghĩa là phân bố (1,1,2): đỏ1 vàng1 xanh2: $3\cdot 4\cdot C_5^2=120$; đỏ1 vàng2 xanh1: $3\cdot C_4^2\cdot 5=90$; đỏ2 vàng1 xanh1: $C_3^2\cdot 4\cdot 5=60$. Tổng $120+90+60=270$, và mọi cách đều có ít nhất 1 bi xanh (vì đủ 3 màu).
b) Đúng. Chọn 1 viên bi bất kỳ trong 12 bi: 12 cách.
c) Đúng. Chọn 2 bi khác màu: $3\cdot 4+3\cdot 5+4\cdot 5=12+15+20=47$ cách.
d) Sai. Chọn 2 bi cùng màu: $C_3^2+C_4^2+C_5^2=3+6+10=19$ cách, không phải 12. Kết quả khớp với đáp án nguồn (a Đ, b Đ, c Đ, d S).
a) (AI giải đề cho tôi)
Đủ 3 màu: $3\cdot 4\cdot C_5^2+3\cdot C_4^2\cdot 5+C_3^2\cdot 4\cdot 5=120+90+60=270$, đều có ít nhất 1 bi xanh.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tổng số bi là $3+4+5=12$, nên có 12 cách chọn 1 viên bi.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hai bi khác màu: $3\cdot 4+3\cdot 5+4\cdot 5=47$ cách.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai bi cùng màu: $C_3^2+C_4^2+C_5^2=3+6+10=19\ne 12$ cách.

1) 3 điểm vừa chọn thẳng hàng. (0,5 điểm)
Chọn 3 điểm trên từng cạnh ta được: $C_7^3,C_8^3,C_9^3$ (0,25 điểm)
Số cách chọn: $C_7^3+C_8^3+C_9^3=175$. (0,25 điểm)
2) 3 điểm vừa chọn tạo thành một tam giác. (0,5 điểm)
Số cách chọn 3 điểm trong 23 điểm bằng: $C_{23}^3$ (0,25 điểm)
Số tam giác tạo thành: $C_{24}^3-(C_7^3+C_8^3+C_9^3)=1849$. (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Hộp có 3 bi đỏ, 4 bi vàng, 5 bi xanh (tổng 12 bi).
a) Chọn 1 viên bi bất kỳ: có $3+4+5=12$ cách → Đúng.
b) Chọn 4 viên bi đủ 3 màu nghĩa là phân bố $(1,1,2)$ giữa ba màu, với ít nhất 1 bi xanh. Các trường hợp: 1 đỏ, 1 vàng, 2 xanh: $3\cdot 4\cdot C_5^2=120$; 1 đỏ, 1 xanh, 2 vàng: $3\cdot 5\cdot C_4^2=90$; 1 vàng, 1 xanh, 2 đỏ: $4\cdot 5\cdot C_3^2=60$. Tổng $120+90+60=270$ → Đúng.
c) Chọn 2 viên bi khác màu: $3\cdot 4+3\cdot 5+4\cdot 5=12+15+20=47$ → Đúng.
d) Chọn 2 viên bi cùng màu: $C_3^2+C_4^2+C_5^2=3+6+10=19\ne 12$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tổng số bi là $3+4+5=12$ nên có 12 cách chọn 1 viên bi bất kỳ.
b) (AI giải đề cho tôi)
Phân bố $(1,1,2)$: $3\cdot 4\cdot C_5^2+3\cdot 5\cdot C_4^2+4\cdot 5\cdot C_3^2=120+90+60=270$ cách.
c) (AI giải đề cho tôi)
$3\cdot 4+3\cdot 5+4\cdot 5=47$ cách chọn 2 bi khác màu.
d) (AI giải đề cho tôi)
$C_3^2+C_4^2+C_5^2=3+6+10=19\ne 12$ nên khẳng định sai.

1) 3 điểm vừa chọn thẳng hàng. (0,5 điểm)
Chọn 3 điểm trên từng cạnh ta được: $C_7^3,C_6^3,C_{10}^3$ (0,25 điểm)
Số cách chọn: $C_6^3+C_7^3+C_{10}^3=175$. (0,25 điểm)
2) 3 điểm vừa chọn tạo thành một tam giác. (0,5 điểm)
Số cách chọn 3 điểm trong 23 điểm bằng: $C_{23}^3$ (0,25 điểm)
Số tam giác tạo thành: $C_{23}^3-\left(C_6^3+C_7^3+C_{10}^3\right)=1596$. (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Trong khai triển $(x+3{)}^5$, số hạng chứa $x^4$ ứng với $k=1$: $C_5^1{x}^4\cdot 3=15x^4$, là số hạng thứ hai (theo thứ tự số mũ của $x$ giảm dần), không phải số hạng thứ ba.
b) Sai. Từ các chữ số 1, 5, 6, 7 lập số tự nhiên có 4 chữ số (chữ số được lặp lại): mỗi vị trí có 4 cách chọn nên có $4^4=256$ số, không phải 24. (Chỉ khi các chữ số đôi một khác nhau mới được $4!=24$.)
c) Đúng. Số lẻ có 4 chữ số khác nhau từ các chữ số 0,1,2,3,4,5: chữ số cuối (hàng đơn vị) là lẻ có 3 cách (1, 3, 5); chữ số đầu khác 0 và khác chữ số cuối nên có 4 cách; hai chữ số còn lại chọn từ 4 chữ số còn lại: $A_4^2=12$ cách. Tổng: $3\cdot 4\cdot 12=144$ số.
d) Đúng. Chọn 4 học sinh từ 12 học sinh (5 nam + 7 nữ): $C_{12}^4=\frac{12!}{4!8!}=495$ cách.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số hạng chứa $x^4$ trong $(x+3{)}^5$ là $C_5^1{x}^4\cdot 3=15x^4$, là số hạng thứ hai (theo số mũ của $x$ giảm dần), không phải số hạng thứ ba.
b) (AI giải đề cho tôi)
Mỗi trong 4 vị trí có 4 cách chọn chữ số (1, 5, 6, 7) nên có $4^4=256$ số, không phải 24.
c) (AI giải đề cho tôi)
Chữ số cuối lẻ: 3 cách (1, 3, 5); chữ số đầu khác 0 và khác chữ số cuối: 4 cách; hai chữ số giữa: $A_4^2=12$ cách. Tổng $3\cdot 4\cdot 12=144$ số.
d) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 4 học sinh từ 12 học sinh: $C_{12}^4=495$ cách.