Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
a) Chọn 4 trong 8 bông hoa rồi cắm vào 4 bình khác nhau: $A_8^4=\frac{8!}{4!}=8\cdot 7\cdot 6\cdot 5=1680$ cách. Đúng.
b) Dán 6 tem khác nhau vào 6 bì thư khác nhau, mỗi bì một tem là một hoán vị: $6!=720$ cách, không phải $6^6=46656$. Sai.
c) Chọn đúng 3 bông hồng từ 10 và 2 bông cúc từ 15: $C_{10}^3\cdot C_{15}^2=120\cdot 105=12600$ cách, không phải 53130. Sai.
d) Chữ số chẵn trong $X=\{1;2;3;4;5;6\}$ là $\{2;4;6\}$, mỗi chữ số có 3 cách chọn, số có ba chữ số: $3^3=27$ số. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số cách chọn và cắm 4 bông hoa vào 4 bình: $A_8^4=1680$ cách.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số cách dán là hoán vị 6 tem vào 6 bì: $6!=720$, không phải 46656.
c) (AI giải đề cho tôi)
$C_{10}^3\cdot C_{15}^2=120\cdot 105=12600$, không phải 53130.
d) (AI giải đề cho tôi)
Chữ số chẵn trong X là 2;4;6 nên có $3^3=27$ số.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ trang 1: A nối với B bằng 3 con đường, B nối với C bằng 2 con đường, C nối với D bằng 3 con đường. Muốn đi từ A đến D qua B và C mỗi nơi đúng một lần, ta chọn lần lượt: 1 trong 3 đường A→B, 1 trong 2 đường B→C, 1 trong 3 đường C→D. Theo quy tắc nhân, số cách đi là $3\times 2\times 3=18$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Số cách chọn 4 học sinh từ 30 học sinh (không phân biệt vai trò, thứ tự) là tổ hợp: $C_{30}^4=\frac{30!}{4!26!}=\frac{30\cdot 29\cdot 28\cdot 27}{24}=27405$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn một cây bút chì có 5 cách, chọn một cây bút bi có 10 cách. Theo quy tắc nhân, số cách chọn đồng thời một cây bút chì và một cây bút bi là $5\times 10=50$ (cách). Khớp với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 1106, câu 11: B).

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
a) Giáo viên phụ trách nhóm 7 học sinh này gọi ngẫu nhiên lần lượt tất cả từng học sinh trong nhóm, xác suất để giáo viên gọi được học sinh cuối cùng là học sinh nữ bằng $\frac{3.6!}{7!}=\frac{3}{7}$.
b) Hàng được xếp phải thỏa mãn: Nam-Nữ-Nam-Nữ-Nam-Nữ-Nam. Chọn một nam sinh cho vị trí thứ nhất: có 4 cách. Chọn một nữ sinh cho vị trí thứ hai: có 3 cách. Số cách chọn học sinh cho các vị trí tiếp theo lần lượt là: 3, 2, 2, 1. Vậy số cách xếp thỏa mãn là: $\mathrm{4.3.3.2.2.1}=144$ (cách).
c) Xếp các em nữ trong một hàng 3 người, ta có: $P_3=3!=6$ (cách). Xếp các em nam trong một hàng 4 người, ta có: $P_4=4!=24$ (cách). Số cách hoán đổi vị trí của hai nhóm trên là 2. Vậy số cách xếp học sinh thỏa mãn là: $\mathrm{6.24.2}=288$ (cách).
d) Số cách xếp 7 học sinh theo hàng ngang là số hoán vị của 7 phần tử. Vậy có $P_7=7!=5040$ cách.
a) Giáo viên phụ trách nhóm 7 học sinh này gọi ngẫu nhiên lần lượt tất cả từng học sinh trong nhóm, xác suất để giáo viên gọi được học sinh cuối cùng là học sinh nữ bằng $\frac{3.6!}{7!}=\frac{3}{7}$
b) Hàng được xếp phải thỏa mãn: Nam-Nữ-Nam-Nữ-Nam-Nữ-Nam. Chọn một nam sinh cho vị trí thứ nhất: có 4 cách. Chọn một nữ sinh cho vị trí thứ hai: có 3 cách. Số cách chọn học sinh cho các vị trí tiếp theo lần lượt là: 3, 2, 2, 1. Vậy số cách xếp thỏa mãn là: $\mathrm{4.3.3.2.2.1}=144$ (cách).
c) Xếp các em nữ trong một hàng 3 người, ta có: $P_3=3!=6$ (cách). Xếp các em nam trong một hàng 4 người, ta có: $P_4=4!=24$ (cách). Số cách hoán đổi vị trí của hai nhóm trên là 2. Vậy số cách xếp học sinh thỏa mãn là: $\mathrm{6.24.2}=288$ (cách)
d) Số cách xếp 7 học sinh theo hàng ngang là số hoán vị của 7 phần tử. Vậy có $P_7=7!=5040$ cách.

Tổng số quả cầu trong hộp là $6+5+4=15$
Mỗi cách lấy 3 trong 15 quả cầu là một tổ hợp chập 3 của 15. Do đó số cách lấy ba quả cầu trong hộp là $C_{15}^3=455$ (cách)

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
a) Giáo viên phụ trách nhóm 7 học sinh này gọi ngẫu nhiên lần lượt tất cả từng học sinh trong nhóm, xác suất để giáo viên gọi được học sinh cuối cùng là học sinh nữ bằng $\frac{3.6!}{7!}=\frac{3}{7}$.
b) Xếp các em nữ trong một hàng 3 người, ta có: $P_3=3!=6$ (cách). Xếp các em nam trong một hàng 4 người, ta có: $P_4=4!=24$ (cách). Số cách hoán đổi vị trí của hai nhóm trên là 2. Vậy số cách xếp học sinh thỏa mãn là: $\mathrm{6.24.2}=288$ (cách).
c) Hàng được xếp phải thỏa mãn: Nam-Nữ-Nam-Nữ-Nam-Nữ-Nam. Chọn một nam sinh cho vị trí thứ nhất: có 4 cách. Chọn một nữ sinh cho vị trí thứ hai: có 3 cách. Số cách chọn học sinh cho các vị trí tiếp theo lần lượt là: 3, 2, 2, 1. Vậy số cách xếp thỏa mãn là: $\mathrm{4.3.3.2.2.1}=144$ (cách).
d) Số cách xếp 7 học sinh theo hàng ngang là số hoán vị của 7 phần tử. Vậy có $P_7=7!=5040$ cách.
a) Giáo viên phụ trách nhóm 7 học sinh này gọi ngẫu nhiên lần lượt tất cả từng học sinh trong nhóm, xác suất để giáo viên gọi được học sinh cuối cùng là học sinh nữ bằng $\frac{3.6!}{7!}=\frac{3}{7}$
b) Xếp các em nữ trong một hàng 3 người, ta có: $P_3=3!=6$ (cách). Xếp các em nam trong một hàng 4 người, ta có: $P_4=4!=24$ (cách). Số cách hoán đổi vị trí của hai nhóm trên là 2. Vậy số cách xếp học sinh thỏa mãn là: $\mathrm{6.24.2}=288$ (cách)
c) Hàng được xếp phải thỏa mãn: Nam-Nữ-Nam-Nữ-Nam-Nữ-Nam. Chọn một nam sinh cho vị trí thứ nhất: có 4 cách. Chọn một nữ sinh cho vị trí thứ hai: có 3 cách. Số cách chọn học sinh cho các vị trí tiếp theo lần lượt là: 3, 2, 2, 1. Vậy số cách xếp thỏa mãn là: $\mathrm{4.3.3.2.2.1}=144$ (cách).
d) Số cách xếp 7 học sinh theo hàng ngang là số hoán vị của 7 phần tử. Vậy có $P_7=7!=5040$ cách.

Tổng số quả cầu trong hộp là $6+5+4=15$
Mỗi cách lấy 3 trong 15 quả cầu là một tổ hợp chập 3 của 15. Do đó số cách lấy ba quả cầu trong hộp là $C_{15}^3=455$ (cách)

(AI giải đề cho tôi)
Chọn một cây bút chì có 5 cách, chọn một cây bút bi có 10 cách. Theo quy tắc nhân, số cách chọn đồng thời một cây bút chì và một cây bút bi là $5\times 10=50$ cách. Khớp với đáp án nguồn (Câu 5, mã đề 1105: C).

(AI giải đề cho tôi)
Vì 12 điểm phân biệt nằm trên một đường tròn nên không có ba điểm nào thẳng hàng. Mỗi tam giác được xác định bởi một tập hợp 3 điểm phân biệt trong 12 điểm, do đó số tam giác là $C_{12}^3=\frac{12\cdot 11\cdot 10}{3!}=220$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ: có 4 con đường nối $A$ với $B$, 2 con đường nối $B$ với $C$, 3 con đường nối $C$ với $D$. Muốn đi từ $A$ đến $D$ qua $B$ và $C$ mỗi nơi đúng một lần, ta chọn: 1 trong 4 đường $A\to B$, sau đó 1 trong 2 đường $B\to C$, rồi 1 trong 3 đường $C\to D$. Theo quy tắc nhân, số cách là $4\cdot 2\cdot 3=24$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Số cần tìm có 5 chữ số, các chữ số khác 0 (tức lấy từ tập $\{1,2,...,9\}$ gồm 9 chữ số) và đôi một khác nhau. Vậy đó là một chỉnh hợp chập 5 của 9 phần tử, số cách lập là $A_9^5$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm có 14 học sinh, chọn 6 bạn.
a) $C_{14}^6=\frac{14!}{6!8!}=3003$ → đúng.
b) Chọn đúng một trong hai bạn An, Bình: chọn 1 trong 2 người và 5 trong 12 người còn lại: $2\cdot C_{12}^5=2\cdot 792=1584\ne 2574$ → sai.
c) Cả An và Bình đều không có mặt: chọn 6 trong 12 người còn lại: $C_{12}^6=924$ → đúng.
d) Có cả hai bạn An và Bình: chọn 4 trong 12 người còn lại: $C_{12}^4=495\ne 1848$ → sai. (Kiểm tra: $3003=1584+924+495$, nhất quán.)
a) (AI giải đề cho tôi)
$C_{14}^6=3003$ cách chọn 6 bạn bất kỳ.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đúng một trong hai bạn An, Bình: $2\cdot C_{12}^5=1584$, không phải 2574.
c) (AI giải đề cho tôi)
Cả hai không có mặt: $C_{12}^6=924$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Có cả hai: $C_{12}^4=495$, không phải 1848.

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm 4 học sinh có số nam và số nữ bằng nhau nghĩa là chọn 2 nam và 2 nữ. Số cách chọn 2 nam từ 14 nam là $C_{14}^2=\frac{14\cdot 13}{2}=91$. Số cách chọn 2 nữ từ 6 nữ là $C_6^2=\frac{6\cdot 5}{2}=15$. Theo quy tắc nhân, số cách lập nhóm là $C_{14}^2\cdot C_6^2=91\cdot 15=1365$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (PHẦN IV):

a) Số tự nhiên gồm ba chữ số lập từ các phần tử của $A=\{2,3,5,7,9\}$ (các chữ số được phép lặp lại): mỗi vị trí có 5 cách chọn, nên có $5^3=125$ số.

b) Số gồm bảy chữ số có hai chữ số 2, ba chữ số 3 và hai chữ số còn lại khác nhau, mỗi chữ số xuất hiện không quá một lần, chọn từ $\{5,7,9\}$:
- Chọn 2 trong 3 chữ số $\{5,7,9\}$: $C_3^2=3$ cách.
- Với mỗi bộ chữ số, sắp xếp 7 chữ số trong đó có hai chữ số 2 giống nhau và ba chữ số 3 giống nhau: $\frac{7!}{2!3!}=\frac{5040}{12}=420$ cách.
- Tổng số: $3\times 420=1260$ số.

Vậy a) 125 số; b) 1260 số.

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm có 7 nam, 5 nữ (12 học sinh).
a) Số cách xếp 12 học sinh thành hàng ngang là 12!, không phải (5!)·(7!) → sai.
b) Chọn 5 nam từ 7 nam: $C_7^5$ → đúng.
c) 'Ít nhất một nữ' phải tính $C_{12}^5-C_7^5=792-21=771$. Cách đếm $C_5^1\cdot C_{11}^4=1650$ đếm trùng (một tổ hợp có nhiều nữ bị đếm nhiều lần) → sai.
d) Xen kẽ nam–nữ trong 5 người: phải có 3 nam 2 nữ hoặc 3 nữ 2 nam.
- 3 nam, 2 nữ: $C_7^3{C}_5^2\cdot 2\cdot 3!\cdot 2!=35\cdot 10\cdot 24=8400$.
- 2 nam, 3 nữ: $C_7^2{C}_5^3\cdot 2\cdot 3!\cdot 2!=21\cdot 10\cdot 24=5040$.
Tổng trường hợp thuận: $13440$. Tổng trường hợp: $C_{12}^5\cdot 5!=792\cdot 120=95040$.
Xác suất $=\frac{13440}{95040}=\frac{14}{99}\ne \frac{7}{99}$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Phải là 12! = 479001600, còn (5!)·(7!) = 120·5040 = 604800, không bằng nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 5 trong 7 bạn nam: $C_7^5=21$ cách.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đáp án đúng: $C_{12}^5-C_7^5=771$; cách đếm $C_5^1{C}_{11}^4$ đếm trùng các tổ hợp có từ 2 nữ trở lên.
d) (AI giải đề cho tôi)
Xác suất đúng là $\frac{13440}{95040}=\frac{14}{99}$, không phải $\frac{7}{99}$.

(AI giải đề cho tôi)
Mô hình hóa: lưới 9 cột, 5 hàng, $A=(0,0)$, $B=(9,5)$, mỗi đường đi gồm 9 bước sang phải và 5 bước xuống dưới, tổng số đường ngắn nhất là $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{14}{5}\right)=2002$.

Vị trí các bãi bùn (theo hình): $CDEG$ là hình chữ nhật $[3,5]\times [2,4]$ (đỉnh $C(3,2),G(5,2),D(3,4),E(5,4)$) và $GHIK$ là hình chữ nhật $[5,7]\times [1,2]$ (đỉnh $K(5,1),I(7,1),G(5,2),H(7,2)$).

Đường đi của cún chỉ đi trên các cạnh ô vuông, nên nó 'vào miền trong' của một vùng tô đậm khi và chỉ khi nó đi qua một cạnh của lưới nằm hoàn toàn trong miền trong vùng đó.

1) Miền trong của $CDEG$: các cạnh lưới nằm trong là $(3,3)-(4,3)$, $(4,3)-(5,3)$, $(4,2)-(4,3)$, $(4,3)-(4,4)$ — tất cả đều đi qua điểm $(4,3)$. Vậy đường đi vào miền trong của $CDEG$ khi và chỉ khi đi qua $(4,3)$. Số đường từ $A$ đến $(4,3)$: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{3}\right)=35$; từ $(4,3)$ đến $B(9,5)$: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{2}\right)=21$. Số đường xấu: $35\cdot 21=735$.

2) Miền trong của $GHIK=[5,7]\times [1,2]$: hình này rộng 2 ô, cao 1 ô nên cạnh lưới duy nhất nằm trong miền trong là cạnh dọc giữa $(6,1)-(6,2)$ (các cạnh còn lại nằm trên đường biên, được phép đi). Số đường đi qua cạnh này: từ $A$ đến $(6,1)$ có $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{1}\right)=7$ cách; từ $(6,2)$ đến $B(9,5)$ có $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)=20$ cách. Số đường xấu: $7\cdot 20=140$.

3) Hai tập đường xấu rời nhau (đường qua $(4,3)$ rồi tới $(6,1)$ là không thể vì phải đi lên; tương tự thứ tự ngược cũng vô lý vì đường đi đơn điệu), nên không cần trừ giao.

Kết quả: $2002-735-140=1127$. Khớp với đáp án nguồn 1127.

(AI giải đề cho tôi)
Lưới có 9 cột, 5 hàng ô vuông nên đường đi từ $A$ (góc trên trái) đến $B$ (góc dưới phải) gồm 14 bước, trong đó 5 bước xuống và 9 bước sang phải. Nếu không có bãi bùn, số đường đi là $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{14}{5}\right)=2002$.

Gọi tọa độ: $A=(0,0)$, $B=(9,5)$, trục $x$ sang phải, trục $y$ xuống dưới. Theo hình vẽ: $C=(3,2)$, $G=(5,2)$, $D=(3,4)$, $E=(5,4)$, $K=(5,1)$, $H=(7,2)$, $I=(7,1)$.

Vì bé cún chỉ chạy trên các cạnh ô vuông, việc 'không được chạy vào miền trong' có nghĩa là không được dùng các cạnh nằm trọn trong miền tô đậm (các cạnh trên biên vẫn được dùng):
- Trong $CDEG$: cạnh dọc $x=4$ (từ $y=2$ đến $4$) và cạnh ngang $y=3$ (từ $x=3$ đến $5$) bị cấm, tức cả 4 cạnh tiếp giáp với điểm trong $(4,3)$ đều bị cấm → điểm $(4,3)$ không thể đi qua.
- Trong $GHIK$: cạnh dọc trong cùng là $(6,1)\to (6,2)$ bị cấm.

Dùng quy hoạch động: số đường đến điểm $(x,y)$ bằng tổng số đường đến $(x-1,y)$ và $(x,y-1)$, với các cạnh bị cấm không cộng vào.

Từng hàng:
- $y=0$: $1,1,1,1,1,1,1,1,1,1$
- $y=1$: $1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$
- $y=2$: $1,3,6,10,15,21$; tại $x=6$: chỉ lấy từ trái $=21$ (cạnh $(6,1)\to (6,2)$ bị cấm); tiếp tục: $x=7:29$, $x=8:38$, $x=9:48$
- $y=3$: $x=3:20$; $x=4:0$ (bị cô lập); $x=5:21$; $x=6:42$; $x=7:71$; $x=8:109$; $x=9:157$
- $y=4$: $x=3:35$; $x=4:35$; $x=5:56$; $x=6:98$; $x=7:169$; $x=8:278$; $x=9:435$
- $y=5$: $x=4:91$; $x=5:147$; $x=6:245$; $x=7:414$; $x=8:692$; $x=9:1127$

Vậy số cách chạy từ $A$ đến $B$ là $1127$, khớp với đáp án đề cho.

(AI giải đề cho tôi)
a) Xếp 8 học sinh vào hàng dọc: $8!=40320$ cách → Đúng.
b) Học sinh cùng giới đứng cạnh nhau: coi 5 nam thành một khối và 3 nữ thành một khối, hoán vị 2 khối: $2!\cdot 5!\cdot 3!=2\cdot 120\cdot 6=1440$ cách → Đúng.
c) Không có em nữ nào đứng cạnh nhau: xếp 5 nam trước: $5!=120$ cách; 5 nam tạo ra 6 khoảng trống, chọn 3 khoảng để đặt 3 nữ: $C_6^3\cdot 3!=20\cdot 6=120$ cách. Tổng: $120\cdot 120=14400\ne 2400$ → Sai.
d) Chọn 3 nam từ 5 và 2 nữ từ 3: $C_5^3\cdot C_3^2=10\cdot 3=30\ne 45$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số cách xếp 8 học sinh theo hàng dọc là $8!=40320$ (cách).
b) (AI giải đề cho tôi)
Cùng giới đứng cạnh nhau: $2!\cdot 5!\cdot 3!=1440$ (cách).
c) (AI giải đề cho tôi)
Xếp 5 nam: $5!=120$; chọn 3 trong 6 khoảng trống cho 3 nữ: $C_6^3\cdot 3!=120$; tổng $14400\ne 2400$ nên sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$C_5^3\cdot C_3^2=10\cdot 3=30\ne 45$ nên sai.

(AI giải đề cho tôi)
Bạn Linh đi bằng ô tô hoặc tàu hỏa. Theo quy tắc cộng: số cách chọn chuyến đi là $10+5=15$ cách. Đáp án khớp bảng đáp án ĐÁP ÁN ĐỀ 02, PHẦN I, Câu 6: A. (Lưu ý: phương án D trên đề cũng in '15.' do trùng lặp in ấn, nhưng đáp án chuẩn của nguồn là A.)