Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, vùng tô đậm giới hạn bởi đồ thị $y=f(x)$ (nằm dưới trục hoành) và trục $Ox$ trên đoạn $[1;3]$. Vì $f(x)\le 0$ với mọi $x\in [1;3]$, diện tích là $S=\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left|f(x)\right|\mathrm{d}x=\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left[-f(x)\right]\mathrm{d}x$. Đáp án C. (Đáp án A sai vì ${\int }_1^{3}f(x)\mathrm{d}x$ cho giá trị âm; B sai vì cận bị đảo ${\int }_3^1$; D sai vì cận $[1;2]$ không đúng vùng tô đậm.)

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $[1;2]$, hàm $y=x^3+2x+1>0$ nên diện tích là $S={\int }_1^2(x^3+2x+1)dx=\left(\frac{x^4}{4}+x^2+x\right){|}_1^2=\left(4+4+2\right)-\left(\frac{1}{4}+1+1\right)=10-\frac{9}{4}=\frac{31}{4}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức Newton–Leibniz, nếu F là nguyên hàm của f trên [a;b] thì ∫_a^b f(x)dx = F(b) − F(a).
a) Sai: ∫_a^b f(x)dx = F(b) − F(a), không phải F(a) − F(b).
b) Đúng: G cũng là nguyên hàm của f nên ∫_a^b f(x)dx = G(b) − G(a).
c) Đúng: tích phân trên đoạn suy biến [a;a] bằng 0.
d) Đúng: hai nguyên hàm của cùng một hàm số trên một đoạn chỉ khác nhau một hằng số, G(x) − F(x) = C, do đó G(b) − F(b) = G(a) − F(a) = C.
a) (AI giải đề cho tôi)
Sai vì ∫_a^b f(x)dx = F(b) − F(a) theo Newton–Leibniz, không phải F(a) − F(b).
b) (AI giải đề cho tôi)
Đúng: G là nguyên hàm của f nên ∫_a^b f(x)dx = G(b) − G(a).
c) (AI giải đề cho tôi)
Đúng: tích phân trên đoạn [a;a] suy biến bằng 0.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đúng: G(x) − F(x) = C (hằng số) vì hai nguyên hàm cùng hàm số trên một đoạn chỉ khác hằng số, nên G(b) − F(b) = G(a) − F(a).

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)=2^x$. a) Vì cơ số $2>1$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$, khẳng định nghịch biến là sai. b) Đạo hàm hàm số mũ: $f^{\prime }(x)=2^x\ln 2$, đúng. c) ${\int }_0^1{f}^{\prime }(x)dx=f(1)-f(0)=2^1-2^0=1\ne \frac{1}{\ln 2}$, sai. d) ${\int }_0^{\ln 2}{2}^{x}dx=\frac{2^x}{\ln 2}{|}_0^{\ln 2}=\frac{2^{\ln 2}-1}{\ln 2}=\frac{e^{(\ln 2{)}^2}-1}{\ln 2}\approx \frac{1,617-1}{0,693}\approx 0,89\ne \frac{1}{\ln 2}\approx 1,44$, sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì cơ số $2>1$ nên $f(x)=2^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$, không nghịch biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$ nên $f^{\prime }(x)=2^x\ln 2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^1{f}^{\prime }(x)dx=f(1)-f(0)=2-1=1\ne \frac{1}{\ln 2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^{\ln 2}{2}^{x}dx=\frac{2^{\ln 2}-1}{\ln 2}=\frac{e^{(\ln 2{)}^2}-1}{\ln 2}\approx 0,89\ne \frac{1}{\ln 2}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Trên [0;1], $\sqrt[3]{x}\ge 0$ nên diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=\sqrt[3]{x}$, trục $Ox$, $x=0$, $x=1$ là $S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|\sqrt[3]{x}\right|dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt[3]{x}dx=\frac{3}{4}$. Phát biểu ĐÚNG.
b) $S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{3}dx=\frac{1}{4}\ne \frac{3}{4}$. Phát biểu SAI.
c) Trên $[0;1]$ ta có $x^3\le \sqrt[3]{x}$ (do $x^3\le x\le \sqrt[3]{x}$), nên diện tích phải tính $S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(\sqrt[3]{x}-x^3\right)dx=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$, không phải $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(x^3-\sqrt[3]{x}\right)dx$ (sẽ âm). Phát biểu SAI.
d) Diện tích phần tô đậm (giữa hai đường cong) là $\frac{1}{2}$, viên gạch có diện tích $1$, nên phần không tô đậm có diện tích $1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ (dvdt). Phát biểu ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên [0;1], $\sqrt[3]{x}\ge 0$ nên $S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|\sqrt[3]{x}\right|dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{1/3}dx=\frac{3}{4}$, công thức đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{3}dx=\frac{1}{4}$ (dvdt), không phải $\frac{3}{4}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên [0;1] có $x^3\le \sqrt[3]{x}$ nên $S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(\sqrt[3]{x}-x^3\right)dx=\frac{1}{2}$; công thức trong đề cho giá trị âm nên sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Diện tích tô đậm $=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(\sqrt[3]{x}-x^3)dx=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$; viên gạch diện tích $1$ nên phần không tô đậm $=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ (dvdt).

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Công thức tổng quát phải có giá trị tuyệt đối: $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f(x)-g(x)\right|dx$. Không thể khẳng định $f(x)\ge g(x)$ trên $[a;b]$, ví dụ với $f(x)=x^2$, $g(x)=x$ trên $[0;1]$ thì $f(x)-g(x)\le 0$ nên công thức không có giá trị tuyệt đối sẽ cho kết quả âm.
b) Đúng. Hai đồ thị $y=x^2$ và $y=x$ cắt nhau tại $x=0$ và $x=1$ (giải $x^2=x$). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị là $S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|x^2-x\right|dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(x-x^2)dx=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$, và công thức trong đề đúng theo định nghĩa.
c) Đúng. Hai đồ thị $y=x^2$ và $y=1$ cắt nhau tại $x=\pm 1$. Trên $[-1;1]$ ta có $1\ge x^2$, nên $S=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}(1-x^2)dx={\left[x-\frac{x^3}{3}\right]}_{-1}^1=\left(1-\frac{1}{3}\right)-\left(-1+\frac{1}{3}\right)=\frac{4}{3}$ (dvdt).
d) Sai. Hai đồ thị $y=x^2+1$ và $y=1$ cắt nhau tại $x=0$; kết hợp đường thẳng $x=1$, hình phẳng giới hạn bởi ba đường này có $0\le x\le 1$ và $x^2+1\ge 1$, nên $S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left[(x^2+1)-1\right]dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{2}dx=\frac{1}{3}$ (dvdt) $\ne \frac{4}{3}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Công thức đúng phải là $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f(x)-g(x)\right|dx$; thiếu giá trị tuyệt đối nên sai khi $f(x)-g(x)$ đổi dấu.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hai đồ thị cắt tại $x=0$, $x=1$; công thức $S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|x^2-x\right|dx$ đúng (giá trị $S=\frac{1}{6}$).
c) (AI giải đề cho tôi)
$S=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}(1-x^2)dx=\frac{4}{3}$ (dvdt).
d) (AI giải đề cho tôi)
$S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{2}dx=\frac{1}{3}$ (dvdt), không bằng $\frac{4}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất cộng tính của tích phân: ${\int }_{-2}^{4}f(t)dt={\int }_{-2}^{2}f(x)dx+{\int }_2^{4}f(y)dy$. Suy ra ${\int }_2^{4}f(y)dy=-4-1=-5$. (Tích phân không phụ thuộc tên biến.)

(AI giải đề cho tôi)
Tách tích phân theo hai khoảng: ${\int }_0^{2}f(x)dx={\int }_0^{1}3x^{2}dx+{\int }_1^2(4-x)dx$. Tính từng phần: ${\int }_0^{1}3x^{2}dx={x^3|}_0^1=1$; ${\int }_1^2(4-x)dx={\left(4x-\frac{x^2}{2}\right)}_1^2=(8-2)-(4-\frac{1}{2})=6-\frac{7}{2}=\frac{5}{2}$. Vậy ${\int }_0^{2}f(x)dx=1+\frac{5}{2}=\frac{7}{2}=3,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\mathrm{I}={\int }_{-\pi /2}^0\sin 2025xdx={\left[-\frac{\cos 2025x}{2025}\right]}_{-\pi /2}^0=-\frac{\cos 0}{2025}+\frac{\cos \left(-\frac{2025\pi }{2}\right)}{2025}$. Vì $2025\pi /2=1012\pi +\pi /2$ nên $\cos \left(-\frac{2025\pi }{2}\right)=\cos \frac{\pi }{2}=0$. Do đó $\mathrm{I}=-\frac{1}{2025}$, tức $a=1$, $b=2025$ (phân số tối giản), vậy $a+b=2026$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\int }_0^{5}f(x)dx={\int }_0^{2}f(x)dx+{\int }_2^{3}f(x)dx+{\int }_3^{5}f(x)dx$. Suy ra $P={\int }_0^{2}f(x)dx+{\int }_3^{5}f(x)dx=3-2=1$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Tính tích phân: $${\int }_{\pi /4}^{\pi /3}\sin xdx={\left[-\cos x\right]}_{\pi /4}^{\pi /3}=-\cos \frac{\pi }{3}+\cos \frac{\pi }{4}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{-1+\sqrt{2}}{2}.$$ Vậy $a=-1$, $b=1$, $c=2$ (các phân số $\frac{-1}{2},\frac{1}{2}$ tối giản). Do đó $S=a+2b-c=-1+2-2=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $e^{2x}-4=(e^x-2)(e^x+2)$, nên với mọi $x$ thì $\frac{e^{2x}-4}{e^x+2}=e^x-2$. Do đó $I={\int }_0^1(e^x-2)dx={\left[e^x-2x\right]}_0^1=(e-2)-(1-0)=e-3$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, trên đoạn $[a;0]$ đồ thị $y=f(x)$ nằm dưới trục hoành nên $f(x)\le 0$, do đó diện tích phần bên trái là $-{\int }_a^{0}f(x)dx$. Trên đoạn $[0;b]$ đồ thị nằm trên trục hoành nên $f(x)\ge 0$, diện tích phần bên phải là ${\int }_0^{b}f(x)dx$. Vậy $S_D=-{\int }_a^{0}f(x)dx+{\int }_0^{b}f(x)dx$.

(AI giải đề cho tôi)
Tách tích phân theo hai khoảng: $I={\int }_{-1}^0(2x+1)dx+{\int }_0^2{e}^{x}dx$. Phần thứ nhất: ${\left[x^2+x\right]}_{-1}^0=0-(1-1)=0$. Phần thứ hai: ${\left[e^x\right]}_0^2=e^2-1$. Vậy $I=e^2-1$, tương ứng phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $\int \sin xdx=-\cos x+C$.
b) Sai: ${\int }_a^b\sin xdx=-\cos b+\cos a=\cos a-\cos b$, không phải $\cos b-\cos a$.
c) Sai: ${\int }_0^{\pi /2}2xdx=x^2{|}_0^{\pi /2}=\frac{{\pi }^2}{4}$ và ${\int }_0^{\pi /2}\sin xdx=1$, nên kết quả là $\frac{{\pi }^2}{4}-1$, không phải $\frac{{\pi }^2}{4}+1$.
d) Sai: ${\int }_{\pi /4}^{\pi /3}\frac{dx}{{\sin }^{2}x}=[-\cot x{]}_{\pi /4}^{\pi /3}=-\frac{1}{\sqrt{3}}+1=1-\frac{\sqrt{3}}{3}$. Phương trình trở thành $1-\frac{\sqrt{3}}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{3}+\sin 2x\Rightarrow \sin 2x=1\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi$. Trên $[0;\pi ]$ chỉ có $x=\frac{\pi }{4}$, tức một nghiệm chứ không phải ba nghiệm.
a) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm của $\sin x$ là $-\cos x+C$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_a^b\sin xdx=\cos a-\cos b$, đề nói ngược dấu.
c) (AI giải đề cho tôi)
Kết quả đúng là $\frac{{\pi }^2}{4}-1$ vì ${\int }_0^{\pi /2}\sin xdx=1$ bị trừ đi.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình dẫn đến $\sin 2x=1$, chỉ có nghiệm $x=\frac{\pi }{4}$ trong $[0;\pi ]$ (một nghiệm).

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức Newton–Leibniz: ${\int }_1^2{f}^{\prime }(x)dx=f(2)-f(1)=5$. Suy ra $f(2)=5+f(1)=5+1=6$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $F$ là nguyên hàm của $f$ nên theo công thức Newton–Leibniz: ${\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x=F(2)-F(0)=10$. Do đó ${\int }_0^{2}3f(x)\mathrm{d}x=3{\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x=3\cdot 10=30$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $F(x)=x^3$ là một nguyên hàm của $f(x)$ nên ${\int }_1^{3}f(x)\mathrm{d}x=F(3)-F(1)=27-1=26$. Do đó ${\int }_1^3(1+f(x))\mathrm{d}x={\int }_1^3\mathrm{d}x+{\int }_1^{3}f(x)\mathrm{d}x=(3-1)+26=28$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất cộng tính của tích phân: ${\int }_0^{5}f(x)dx={\int }_0^{2}f(x)dx+{\int }_2^{5}f(x)dx$. Suy ra ${\int }_2^{5}f(x)dx=-3-5=-8$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\int }_0^3[x-3f(x)]dx={\int }_0^{3}xdx-3{\int }_0^{3}f(x)dx=\frac{9}{2}-3\cdot 2=\frac{9}{2}-6=-\frac{3}{2}$. Vậy đáp án D.