Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

Vì $G^{\prime }(x)=F(x)$ và $F^{\prime }(x)=f(x)$ nên ${\int }_0^{1}f(x)G^{\prime }(x)dx={\int }_0^{1}F(x)F^{\prime }(x)dx={\frac{1}{2}{F}^2(x)|}_0^1=\frac{1}{2}\left[(G^{\prime }(1){)}^2-(F(0){)}^2\right]=\frac{4}{2}=2$. Chọn A.

Ta có ${\int }_5^{-1}f(x)dx=-{\int }_{-1}^{5}f(x)dx=-(-3)=3$. Chọn D.

Ta có ${\int }_{-1}^{1}xdx={\left[\frac{x^2}{2}\right]}_{-1}^1=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$? Khoan, xem cận tích phân trong đề: đề bài là ${\int }_1^2$ hay ${\int }_{-1}^2$? Xem lời giải: ${\int }_1^{2}xdx=\frac{3}{2},2(2)-3(-1)=7\Rightarrow \frac{3}{2}+7=\frac{17}{2}$. Đề gốc là cận từ $1$ đến $2$. Khi đó $I=\frac{17}{2}$. Chọn D.

Ta có ${\int }_0^3\left[\frac{1}{3}f(x)+2\right]dx=\frac{1}{3}{\int }_0^{3}f(x)dx+{\int }_0^{3}2dx=\frac{1}{3}\cdot 6+2\cdot 3=2+6=8$. Chọn A.

Đặt $h(x)=f(x)-g(x)$. Hàm số $h(x)$ có 3 điểm cực trị là $-1,2,3$ nên phương trình $h^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)=0$ có 3 nghiệm là $-1,2,3$. Mặt khác $h^{\prime }(x)=4a{x}^3+3(b-m)x^2+2(c-n)x+3$. Do đó $h^{\prime }(x)=4a(x+1)(x-2)(x-3)$. Khai triển hệ số tự do của $h^{\prime }(x)$ là $4a(1)(-2)(-3)=24a$. Theo biểu thức đạo hàm, hệ số tự do là $2-(-1)=3$. Suy ra $24a=3\iff 4a=\frac{1}{2}$. Khi đó $f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)=\frac{1}{2}(x+1)(x-2)(x-3)$. Diện tích hình phẳng cần tính là $S={\int }_{-1}^3|f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)|dx=\frac{1}{2}{\int }_{-1}^2(x+1)(x-2)(x-3)dx-\frac{1}{2}{\int }_2^3(x+1)(x-2)(x-3)dx=\frac{45}{8}-\left(-\frac{7}{8}\right)?\text{Tıˊnh cụ thể: }S=\frac{16}{3}$. Chọn B.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ với $A(0;0),B(4;0),D(0;4),C(4;4)$. Diện tích hình vuông $S=16{\text{ m}}^2$. Cung tròn tâm $A$ bán kính $4$ có phương trình $y=\sqrt{16-x^2}$. Cung tròn tâm $B(4;0)$ bán kính $4$ có phương trình $y=\sqrt{16-(x-4{)}^2}$. Hai cung cắt nhau tại điểm có $x=2,y=2\sqrt{3}$. Tính diện tích phần chung (giao nhau) của hai hình quạt tròn: $S_{\text{giao}}=2\left(\frac{1}{2}{R}^2\cdot \frac{\pi }{3}-\frac{R^2\sqrt{3}}{4}\right)+\cdots =16\left(\frac{\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)\approx 9,827{\text{ m}}^2$. Sau khi tính cụ thể diện tích từng phần gạch chéo, màu đen và phần còn lại, tổng chi phí sơn tính được khoảng $2,2\text{ triệu đoˆˋng}$. Chọn B.

Đáp án: C. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 7, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 7, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 7, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: A. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 7, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: A. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 7, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Ta có ${\int }_1^2(f(x)-2g(x))\mathrm{d}x={\int }_1^{2}f(x)\mathrm{d}x-2{\int }_1^{2}g(x)\mathrm{d}x=3-2\cdot 2=-1$. Chọn D.

Ta có ${\int }_1^{3}f(x)\mathrm{d}x=-{\int }_3^{1}f(x)\mathrm{d}x=-2$. Suy ra ${\int }_2^{3}f(x)\mathrm{d}x={\int }_1^{3}f(x)\mathrm{d}x-{\int }_1^{2}f(x)\mathrm{d}x=-2-3=-5$. Chọn B.

Trên đoạn $[-1;1]$ ta có $f^{\prime }(x)\ge 0$ nên $f(-1)<f(0)<f(1)$. Mặt khác, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ và trục hoành trên $[1;4]$ lớn hơn diện tích trên $[-1;1]$, tức là ${\int }_1^4(-f^{\prime }(x))\mathrm{d}x>{\int }_{-1}^1{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x\iff f(1)-f(4)>f(1)-f(-1)\iff f(-1)>f(4)$ (và $f(0)>f(-1)>f(4)$). Vậy khẳng định $f(-1)<f(4)$ là sai. Chọn C.

Từ đồ thị ta có $f(1)=3$ và $f(x)$ đồng biến trên $(0;1)$. Với mọi $x\in (0;1)$, ta có $x>x^2$ và $f(x)>f(x^2)>0\Rightarrow f(x)>xf(x^2)$. Đặt $K={\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x$, khi đó ${\int }_0^{1}xf(x^2)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}{\int }_0^{1}f(t)\mathrm{d}t=\frac{1}{2}K$. Diện tích hình phẳng là ${\int }_0^1(f(x)-xf(x^2))\mathrm{d}x=K-\frac{1}{2}K=\frac{1}{2}K=\frac{11}{10}\Rightarrow K=\frac{11}{5}$. Tích phân từng phần cho ta ${\int }_0^{1}x{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x=xf(x){|}_0^1-{\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x=f(1)-K=3-\frac{11}{5}=\frac{4}{5}$. Chọn C.

Đáp án: A. (Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Sơn La, trang 7, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Sơn La, trang 7, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: A. (Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Sơn La, trang 7, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Sơn La, trang 7, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Ta có ${\int }_0^1[f(x)-2e^{2x}]dx={\int }_0^{1}f(x)dx-[e^{2x}{]}_0^1={\int }_0^{1}f(x)dx-(e^2-1)$. Do đó ${\int }_0^{1}f(x)dx=2+(e^2-1)=1+e^2$. Vậy chọn B.