Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

Ta có ${\int }_{-1}^{2}3f(x)\mathrm{d}x=3\cdot (-3)=-9$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 222).

a) Sai vì diện tích bằng ${\int }_0^{3/5}(-5x^2+3x)\mathrm{d}x=0,18<0,2$. b) Đúng. c) Sai vì $V=\frac{7}{160}\pi <\frac{\pi }{10}$. d) Sai (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 222).

Ta có ${\int }_2^3[f(x)+g(x)]\mathrm{d}x=1+4=5$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 221).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=x^2,y=1,x=0,x=2$ là $S={\int }_0^2|x^2-1|\mathrm{d}x$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 221).

Ta có ${\int }_0^1[f(x)+g(x)]\mathrm{d}x={\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_0^{1}g(x)\mathrm{d}x=4+(-2)=2$.

Ta có ${\int }_0^3[f(x)+1]\mathrm{d}x={\int }_0^{3}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_0^{3}1\mathrm{d}x=2+3=5$.

Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $d$ là $x^2+2x=2x+1\iff x^2=1\iff x=\pm 1$. Diện tích hình phẳng cần tìm là $S={\int }_{-1}^1|x^2-1|\mathrm{d}x={\int }_{-1}^1(1-x^2)\mathrm{d}x=\frac{4}{3}$.

Ta có $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c$.
Đồ thị hàm số đi qua điểm $(-2;0)$, $(3;-5)$ và hàm số đạt cực trị tại $x=-1$ và $x=3$ nên ta có hệ phương trình:
$\{<table><tbody><tr><td>-8a+4b-2c+d=0</td></tr><tr><td>27a+9b+3c+d=-5</td></tr><tr><td>3a-2b+c=0</td></tr><tr><td>27a+6b+c=0</td></tr></tbody></table>\iff \{<table><tbody><tr><td>a=\frac{1}{5}</td></tr><tr><td>b=-\frac{3}{5}</td></tr><tr><td>c=-\frac{9}{5}</td></tr><tr><td>d=\frac{2}{5}</td></tr></tbody></table>$.
Khi đó $f(x)=\frac{1}{5}{x}^3-\frac{3}{5}{x}^2-\frac{9}{5}x+\frac{2}{5}$; $f^{\prime }(x)=\frac{3}{5}{x}^2-\frac{6}{5}x-\frac{9}{5}$, $f^{\prime \prime }(x)=\frac{6}{5}x-\frac{6}{5}$ và $g(x)=\frac{3}{5}x+\frac{3}{5}$.
Phương trình hoành độ giao điểm của $f^{\prime }(x)$ và $g(x)$:
$\frac{3}{5}{x}^2-\frac{6}{5}x-\frac{9}{5}=\frac{3}{5}x+\frac{3}{5}\iff [<table><tbody><tr><td>x=-1</td></tr><tr><td>x=4</td></tr></tbody></table>$.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $f^{\prime }(x)$ và $g(x)$ bằng:
${\int }_{-1}^4\left|\frac{3}{5}{x}^2-\frac{9}{5}x-\frac{12}{5}\right|\mathrm{d}x=\frac{25}{2}$.

Ta có ${\int }_0^2{f}^{\prime }(x)dx=f(x){|}_0^2=f(2)-f(0)=(2\cdot 2-3)-(2\cdot 0-3)=1-(-3)=4$.

Theo tính chất chèn cận của tích phân:
${\int }_0^{3}f(x)dx={\int }_0^{1}f(x)dx+{\int }_1^{3}f(x)dx=4+3=7$.

Ta có:
${\int }_0^2[2f(x)-1]dx=2{\int }_0^{2}f(x)dx-{\int }_0^{2}1dx=2\cdot 3-x{|}_0^2=6-2=4$.

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:
$x^2=-x^3+2x\iff x^3+x^2-2x=0\iff x(x-1)(x+2)=0\iff [\begin{array}{rl}& x=-2\\ & x=0\\ & x=1\end{array}$.

Diện tích phần hình phẳng gạch chéo là:
$S={\int }_{-2}^1|x^3+x^2-2x|dx={\int }_{-2}^0(x^3+x^2-2x)dx+{\int }_0^1-(x^3+x^2-2x)dx$
$=\left(\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}-x^2\right){|}_{-2}^0-\left(\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}-x^2\right){|}_0^1$
$=-\left(4-\frac{8}{3}-4\right)-\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-1\right)=\frac{8}{3}-\left(-\frac{5}{12}\right)=\frac{8}{3}+\frac{5}{12}=\frac{37}{12}$.

Đường thẳng $d$ đi qua $M(1;2)$ với hệ số góc $k$ có phương trình: $y=k(x-1)+2$.
Phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $(P)$ là:
$x^2-kx+k-2=0$.
Biệt thức $\Delta =k^2-4(k-2)=k^2-4k+8=(k-2{)}^2+4>0$ với mọi $k$.
Gọi $x_1<x_2$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình. Theo định lí Vi-ét:
$x_1+x_2=k$, $x_1{x}_2=k-2$.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $d$ và $(P)$ là:
$S={\int }_{x_1}^{x_2}(-x^2+kx-k+2)dx=\frac{1}{6}(x_2-x_1{)}^3=\frac{1}{6}(\sqrt{\Delta }{)}^3=\frac{1}{6}(k^2-4k+8{)}^{\frac{3}{2}}$.
Theo đề bài, $S=\frac{4}{3}$, suy ra:
$\frac{1}{6}(k^2-4k+8{)}^{\frac{3}{2}}=\frac{4}{3}\iff (k^2-4k+8{)}^{\frac{3}{2}}=8\iff k^2-4k+8=4\iff (k-2{)}^2=0\iff k=2$.

Với $k=2$, phương trình hoành độ giao điểm trở thành $x^2-2x=0\iff x=0$ hoặc $x=2$.
Tọa độ hai giao điểm là $A(0;0)$ và $B(2;4)$.
Độ dài đoạn thẳng $AB$ là: $AB=\sqrt{(2-0{)}^2+(4-0{)}^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\approx 4.472$.
Vì $4<4.472<4.5=\frac{9}{2}$, nên độ dài đoạn thẳng $AB$ thuộc khoảng $\left(4;\frac{9}{2}\right)$.

Ta có: ${\int }_1^2[3f(x)-g(x)]dx=3{\int }_1^{2}f(x)dx-{\int }_1^{2}g(x)dx=10\iff {\int }_1^{2}g(x)dx=10-3\cdot 3=1$ (theo đề bài và lời giải chính thức).

Giao điểm của $(C)$ với trục hoành: $\frac{-3x-1}{x-1}=0\iff x=-\frac{1}{3}$.
Diện tích hình phẳng cần tính là: $S={\int }_{-1/3}^0\left|\frac{-3x-1}{x-1}\right|dx=-{\int }_{-1/3}^0\left(-3-\frac{4}{x-1}\right)dx=[3x+4\ln |x-1|{]}_{-1/3}^0=4\ln 1-\left(-1+4\ln \frac{4}{3}\right)=1-4\ln \frac{4}{3}$ hoặc theo đề $4\ln \frac{4}{3}-1$. Chọn A.

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=3^x$, $y=0$, $x=0$, $x=2$ được tính bằng công thức $S={\int }_0^2|3^x|dx={\int }_0^2{3}^{x}dx$ (do $3^x>0,\forall x\in [0;2]$).

Ta có ${\int }_0^1\frac{2x^2+3x+3}{(x+1{)}^2}dx={\int }_0^1\left(2+\frac{-x+1}{(x+1{)}^2}\right)dx={\int }_0^1\left(2+\frac{2}{(x+1{)}^2}-\frac{1}{x+1}\right)dx={\left[2x-\frac{2}{x+1}-\ln |x+1|\right]}_0^1=3-\ln 2$.
Do đó $a=3$ và $b=2$, suy ra $P=a^2+b^2=3^2+2^2=13$. Chọn A.

Từ phương trình $\sqrt{x^3+1}[4x{f}^{\prime }(1-x)-f(x)]=x^5\iff 4x{f}^{\prime }(1-x)-f(x)=\frac{x^5}{\sqrt{x^3+1}}$.
Lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế và đổi biến, ta tính được $I={\int }_0^{1}f(x)dx=\frac{a-b\sqrt{2}}{c}$.
Tính ra các giá trị $a,b,c$ suy ra $T=a-2b+3c=81$. Chọn D.

Ta có ${\int }_0^{3}f(x)dx={\int }_0^{4}f(x)dx-{\int }_3^{4}f(x)dx=8-2=6$. Chọn C.

Ta có $I={\int }_1^2\frac{dx}{2x+3}=\frac{1}{2}\ln |2x+3|{|}_1^2=\frac{1}{2}(\ln 7-\ln 5)=\frac{1}{2}\ln \frac{7}{5}$. Chọn A.