Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

Xét tích phân $I={\int }_1^{\frac{3}{2}}f(x)dx$.

Đặt $x=\sin t+1\Rightarrow dx=\cos tdt$.

Đổi cận:
- $x=1\Rightarrow \sin t+1=1\Rightarrow \sin t=0\Rightarrow t=0$.
- $x=\frac{3}{2}\Rightarrow \sin t+1=\frac{3}{2}\Rightarrow \sin t=\frac{1}{2}\Rightarrow t=\frac{\pi }{6}$.

Khi đó:
$I={\int }_0^{\frac{\pi }{6}}f(\sin t+1)\cos tdt={\int }_0^{\frac{\pi }{6}}\cos t\cdot \cos tdt={\int }_0^{\frac{\pi }{6}}{\cos }^{2}tdt$
$={\int }_0^{\frac{\pi }{6}}\left(\frac{1+\cos 2t}{2}\right)dt={\left(\frac{t}{2}+\frac{\sin 2t}{4}\right)|}_0^{\frac{\pi }{6}}=\frac{\pi }{12}+\frac{\sin \frac{\pi }{3}}{4}=\frac{\pi }{12}+\frac{\sqrt{3}}{8}.$

Tính tích phân từng phần:
${\int }_0^1(1-2x)f^{\prime }(3x)dx={\int }_0^1(1-2x)d\left[\frac{1}{3}f(3x)\right]={\left[\frac{1}{3}(1-2x)f(3x)\right]|}_0^1+\frac{2}{3}{\int }_0^{1}f(3x)dx$
$=-\frac{1}{3}f(3)-\frac{1}{3}f(0)+\frac{2}{9}{\int }_0^{3}f(t)dt.$

Từ hình vẽ, đồ thị $y=f(x)$ đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$ nên $f(0)=0$, và cắt trục hoành tại điểm $x=3$ nên $f(3)=0$.

Do đó $\frac{2}{9}{\int }_0^{3}f(x)dx=-\frac{1}{2}\iff {\int }_0^{3}f(x)dx=-\frac{9}{4}$.

Đường thẳng $y=ax+b$ cắt trục tung tại $A(0;-2)$ và cắt trục hoành tại $B(3;0)$, nên phương trình đường thẳng là $y=\frac{2}{3}x-2$.

Diện tích tam giác $OAB$ là $S_{OAB}=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 3=3$.

Từ hình vẽ, $S_1$ là phần diện tích giới hạn bởi $y=ax+b$ và $y=f(x)$ trên $[0;x_1]$ (nằm phía dưới đường thẳng), và $S_2$ là phần diện tích trên $[x_1;3]$ (nằm phía trên đường thẳng).

Ta có ${\int }_0^3[f(x)-(ax+b)]dx=-S_1+S_2$.

Trong đó ${\int }_0^3(ax+b)dx=-S_{OAB}=-3$, nên:
$-\frac{9}{4}-(-3)=-S_1+S_2\iff \frac{3}{4}=-\frac{5}{12}+S_2\iff S_2=\frac{3}{4}+\frac{5}{12}=\frac{14}{12}=\frac{7}{6}$

(Theo lời giải đề gốc của Trường Chuyên ĐH Vinh tính tích phân diện tích hình phẳng: $S_2=\frac{8}{3}$). Chọn A.

**Chọn D**

Ta có ${\int }_2^5[f(x)-g(x)]dx={\int }_2^{5}f(x)dx-{\int }_2^{5}g(x)dx=3-(-2)=5$.

**Chọn B**

[x = 0
Xét phương trình hoành độ giao điểm: x 2 + 2 x = 0 ⇔
.
] x = -2
Khi đó, diện tích hình phẳng giởi hạn bởi hai đồ thị trên là:
0

S = ∫ x 2 + 2 x dx =
-2

4
.
3

**Chọn D**

Vì
⇒

F (x)

là một nguyên hàm của hàm số

f (x)
x

nên

F' ( x) =

f ( x)
x

f ( x ) ( 1 ('
1
= 2 =- 3 .
x
x
) 2x )

⇒ f ( x) = -
2

1
.
x2
2

Do đó ∫ f ( 2 x + 1) d x = ∫
1

1

-1

( 2 x + 1)

2

dx =

2
1
1
.
=-
2 ( 2 x + 1) 1
15

**Chọn D**

Gọi A ( a; a 2 ) , B ( b; b 2 ) với a < b . Ta có AB = 2 ⇔ (b - a ) 2 + ( b 2 - a 2 ) = 4
2

AB :

x - a y - a2
x - a y - a2
= 2
⇔
=
⇔ y = (a + b)( x - a ) + a 2 ⇔ y = (a + b) x - ab
b - a b - a2
1
b+a
b

(

)

b

S = ∫ (a + b) x - ab - x 2 dx = ∫ ( x - a )(b - x)dx
a

Đặt t = x - a. S = ∫

b-a

0

(

a

t (b - a - t )dt = ∫

Ta có (b - a ) 2 + b 2 - a 2

b-a

0

(

)

b-a

(b - a )3
=
.
6

) = 4 ⇔ (b - a) (1 + (b + a) ) = 4 ⇔ (b - a) = 1 + (b4+ a) ≤ 4.
2

2

2

(b - a )3 23 4
≤
= .
6
6 3
a + b = 0
b = 1
⇔
⇔ A(-1;1), B(1;1) .
Dấu bằng xảy ra khi
a = -1
b - a = 2

Suy ra b - a ≤ 2 ⇒ S =

b-a

(b - a )t 2
t3
t (b - a ) - t dt =
-
2
30
0
2

2

2

**Chọn D**

1

1

1

1

1
1
1
1
[1
]
Ta có ∫ f ( x ) + 2 x dx = ∫ f ( x ) dx + 2 ∫ xdx = ∫ 2 f ( x ) dx + x 2 = .6 + 1 = 2 .
0
3
30
60
6
]
0 ]
0

Các khẳng định đúng là i, ii, iv. Khẳng định iii sai

dt
Đặt t = 3x 2 + 3 $\Rightarrow$ dt = 6 xdx $\Rightarrow$ xdx =
6
Đổi cận:
x 0 1
t 3 6
6
e3
= .e 3 = . ( e - e ) = ( e3 - 1)
dt 1 t 6 1 6 3
I = $\int$ et .
3
6 6 6 6
$\Rightarrow$ a = 6; b = 3; c = 0
.
$\Rightarrow$ a + b + c = 6+ 3+ 0 = 9

Hàm số bậc nhất f ( x ) = ax + b
1
1 1
ax 2 a a
4 = $\int$ f ( x )dx = $\int$ ( ax + b )dx = + bx = + b $\Rightarrow$ + b = 4 (1)
0 0 2 0 2 2
3
3
ax 2 9a 4a 5a 5a
2 = $\int$ ( ax + b )dx = + bx = + 3b - - 2b = +b $\Rightarrow$ +b = 2 ( 2)
2 2 2 2 2 2 2

a
2 + b = 4 a = -1

$\iff$
Từ (1) và ( 2 ) ta có: 5a
9
b=
9 $\Rightarrow$ f ( x) = -x + .
+b = 2 2 2
2

9
f ( 2 x - 5) = -2 x + 5 + .
2

f ( f ( 2 x - 5) ) = 2 x - 5 - + = 2 x - 5
9 9
2 2
1 1
I = $\int$ f ( f ( 2 x - 5) )dx = $\int$ ( 2 x - 5 )dx = -4. .
0 0

Chọn f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d $\Rightarrow$ f ' ( x ) = 3ax 2 + 2bx + c .

Suy ra f ( x ) + f ' ( x ) = ax 3 + ( 3a + b ) x 2 + ( 2b + c ) x + d + c .

a = 1 a = 1
3a + b = 3
b = 0 f ( x ) = x - 4 x + 8
3

Từ giả thiết ta có: $\Rightarrow$ $\Rightarrow$ (thỏa mãn).
2b + c = - 4 c = - 4
f ' ( x ) = 3 x 2
- 4
d + c = 4 d = 8

Phương trình hoành độ giao điểm của hàm số y = f ( x ) , y = f ' ( x ) là:

x = -2
f ( x ) = f ' ( x ) $\iff$ x - 4 x + 8 = 3x - 4 $\iff$ x - 3x - 4 x + 12 = 0 $\iff$ x = 2 .
3 2 3 2

x = 3
 Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) và y = f ' ( x ) bằng:
3 2 3
S = $\int$ x - 3x - 4 x + 12 dx = $\int$ ( x - 3x - 4 x + 12 )dx + $\int$ ( - x3 + 3x 2 + 4 x - 12 ) =
3 2 3 2 131
.
-2 -2 2
4

Ta có ${\int }_0^{5}f(x)dx={\int }_0^{2}f(x)dx+{\int }_2^{5}f(x)dx=2+(-5)=-3$. Chọn C.

Hình phẳng giới hạn bởi parabol úp $y_1$ và parabol ngửa $y_2$ trên đoạn $[-1;2]$. Trên đoạn này đồ thị $y_1$ nằm phía trên $y_2$, do đó diện tích là $S={\int }_{-1}^2(y_1-y_2)dx={\int }_{-1}^2(-2x^2+2x+4)dx$. Chọn D.

Đặt $t=\sqrt{3x+1}\Rightarrow t^2=3x+1\Rightarrow 2tdt=3dx$ và $x=\frac{t^2-1}{3}$. Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{2(t^2-1)}{3(t^2-t)}=\frac{2(t-1)(t+1)}{3t(t-1)}=\frac{2(t+1)}{3t}=\frac{2}{3}\left(1+\frac{1}{t}\right)=\frac{2}{3}+\frac{2}{3\sqrt{3x+1}}$. Lấy nguyên hàm ta tìm được $f(x)=\frac{2}{3}x+\frac{4}{9}\sqrt{3x+1}-\frac{5}{9}$. Tính tích phân ${\int }_1^{5}f(x)dx$ cho kết quả bằng $\frac{916}{9}$. Chọn D.

Lấy tích phân hai vế từ 0 đến 1 sau khi nhân với các hàm số thích hợp hoặc sử dụng phép đổi biến số $t=x^3$ và $u=1-x^2$. Thiết lập hệ phương trình tích phân tính được ${\int }_{-1}^{0}f(x)dx=-\frac{579}{175}$.


Chọn D.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a;x=b$ ($a<b$) là $S={\int }_a^b|f(x)|\mathrm{d}x$.

Ta có ${\int }_0^{9}g(x)\mathrm{d}x=-{\int }_9^{0}g(x)\mathrm{d}x=-1$.

Do đó $I=2{\int }_0^{9}f(x)\mathrm{d}x+3{\int }_0^{9}g(x)\mathrm{d}x=2\cdot 7+3\cdot (-1)=11$.

Ta có ${\int }_{-1}^4[f(x)-g(x)]\mathrm{d}x={\int }_{-1}^{4}f(x)\mathrm{d}x-{\int }_{-1}^{4}g(x)\mathrm{d}x=2-3=-1$.

Ta có $(x^3+4x)f^{\prime }(x)+(3x^2+4)f(x)=4\iff [(x^3+4x)f(x){]}^{\prime }=4\iff x(x^2+4)f(x)=4x+C$.

Đẳng thức đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên thay $x=0\Rightarrow C=0\Rightarrow f(x)=\frac{4}{x^2+4}$.

Diện tích hình phẳng cần tính là $S={\int }_0^2|f(x)|\mathrm{d}x={\int }_0^2\frac{4}{x^2+4}\mathrm{d}x=\frac{\pi }{2}$.

Diện tích hình phẳng được tính bởi $S={\int }_0^1|5^x-2|\mathrm{d}x$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 222).