Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

Biết $F(x)$ và $G(x)$ là hai nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ và ${\int }_0^{3}f(x)\text{d}x=F(3)-G(0)+a$, $(a>0)$. Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=F(x),y=G(x),x=0,x=3$. Khi $S=15$ thì $a$ bằng

Cho hàm số $y=x^2$ có đồ thị $(C)$, biết rằng tồn tại hai điểm $A,B$ thuộc đồ thị $(C)$ sao cho tiếp tuyến tại $A,B$ và hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai tiếp tuyến tại $A,B$ tạo thành một hình chữ nhật $(H)$ có chiều dài gấp đôi chiều rộng (minh họa như hình vẽ). Gọi $S_1$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(C)$ và hai tiếp tuyến tại $A,B$. $S_2$ là diện tích hình chữ nhật $(H)$. Tỉ số $\frac{S_1}{S_2}$ bằng

Nếu ${\int }_0^{4}f(x)\mathrm{d}x=8$ thì ${\int }_0^4\left[\frac{1}{4}f(x)-2x\right]\mathrm{d}x$ bằng

Nếu ${\int }_{-2}^{3}f(x)\mathrm{d}x=3$ và ${\int }_{-2}^{3}g(x)\mathrm{d}x=5$ thì ${\int }_{-2}^3[f(x)-g(x)+3]\mathrm{d}x$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Gọi $F(x),G(x)$ là hai nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F(5)+G(5)=12$ và $F(1)+G(1)=3$. Khi đó ${\int }_0^2[f(2x+1)+2x]\mathrm{d}x$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $x{f}^{\prime }(x)-f(x)=2x^3-3x^2,\forall x\in \mathbb{R}$, biết $f(1)=2$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f(x)$ và $y=f^{\prime }(x)$ bằng

Cho ${\int }_1^{2}f(x)dx=3$, ${\int }_1^{2}g(x)dx=4$. Khi đó ${\int }_1^2\left(f(x)-2g(x)\right)dx$ bằng

Nếu ${\int }_1^{3}f(x)dx=2$, ${\int }_1^{7}f(x)dx=8$ thì ${\int }_3^{7}f(x)dx$ bằng

Cho biết ${\int }_{-1}^{2}f(x)dx=5$, khi đó ${\int }_{-1}^2\left(3x^2+f(x)\right)dx$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định và có đạo hàm trên $[0;1]$, thỏa mãn: $f(x)>0,\forall x\in [0;1]$, $f(1)=1$ và ${\int }_0^1\left\{[f^{\prime }(x){]}^2+(4x^2+2)f^2(x)\right\}dx=2$. Giá trị của $f(0)$ bằng

Cho hai hàm số $y=f(x),y=g(x)$. Biết đồ thị hai hàm số $f^{\prime }(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ $(a>0)$ và $g^{\prime }(x)=q{x}^2+nx+p$ $(q\ne 0)$ cắt nhau tại ba điểm có hoành độ $0;1;2$. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x),y=g^{\prime }(x)$ có diện tích bằng $10$ và $f(2)=g(2)$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$ bằng

Câu 4. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $[a;b]$ và có một nguyên hàm trên $[a;b]$ là hàm số $F(x)$. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

Câu 3. Cho hai hàm số $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ và $g(x)=m{x}^3+n{x}^2+px+q(a,b,c,d,m,n,p,q\in \mathbb{R})$. Biết rằng đồ thị của hai hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$ cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là $-4,-1,4$ và $f(2)=2,g(2)=-3$ (tham khảo hình vẽ bên dưới).



Gọi $S_1$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $y=f(x),y=g(x)$ và hai đường thẳng $x=-4,x=-1$. Gọi $S_2$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $y=f(x),y=g(x)$ và hai đường thẳng $x=-1,x=4$. Tính tỉ số $\frac{S_1}{S_2}$ (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Nếu ${\int }_1^{3}f(x)\mathrm{d}x=5$ thì $-2{\int }_3^{1}f(x)\mathrm{d}x$ bằng

Giả sử ${\int }_{-1}^{1}f(x)\mathrm{d}x=-10$ và ${\int }_{-1}^{3}f(x)\mathrm{d}x=5$. Chọn biểu thức đúng.

Nếu ${\int }_{-1}^{4}f(x)\mathrm{d}x=9$ thì ${\int }_{-1}^4[3-f(x)]\mathrm{d}x$ bằng

Cho hàm số $y=a{x}^4+b{x}^2+c$ có đồ thị $(C)$, biết rằng $(C)$ đi qua điểm $A(-1;0)$, tiếp tuyến $d$ tại $A$ của $(C)$ cắt $(C)$ tại hai điểm có hoành độ lần lượt là $0$ và $2$. Hình phẳng giới hạn bởi $d$, đồ thị $(C)$ và hai đường thẳng $x=0;x=2$ có diện tích bằng $\frac{28}{5}$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(C)$, tiếp tuyến $d$ và hai đường thẳng $x=-1;x=0$ bằng

Tính tích phân $I={\int }_0^{\ln 2}\frac{e^x}{e^x+1}\text{d}x$ bằng cách đặt $t=e^x+1$ ta được:

Giả sử ${\int }_a^{b}f(x)\text{d}x=2$, ${\int }_c^{b}f(x)\text{d}x=3$ với $a<b<c$ thì ${\int }_a^{c}f(x)\text{d}x$ bằng:

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, có đạo hàm $f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{ll}4-3x^2& \text{khi }x<1\\ 1& \text{khi }x\ge 1\end{array}$. Tính $f(2)-f(0)$.