Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận đứng (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2: a) Sai vì mẫu số x+1=0 tại x=-1, tiệm cận đứng là x=-1. b) Đúng: g(x)=2(x-2)/(x+1) có lim khi x→∞ bằng 2, tiệm cận ngang y=2. c) Đúng: g(0)=2·(-2/1)=-4, giao điểm trục tung A(0;-4). d) Đúng: tâm đối xứng I(-1;1). Điểm B(x;y) trên (C) với x nguyên dương, y nguyên: y=(x-2)/(x+1)=1-3/(x+1), cần x+1 thuộc ước của 3, x>0 nên x=2, B(2;0). IB=√((2+1)²+(0-1)²)=√10. Khớp đáp án SDDD của mã đề 121.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng: x+1=0 ⇒ x=-1, không phải x=1.
b) (AI giải đề cho tôi)
g(x)=2(x-2)/(x+1), lim_{x→±∞} g(x)=2 nên TCN là y=2.
c) (AI giải đề cho tôi)
g(0)=2·f(0)=2·(-2)=-4 nên A(0;-4).
d) (AI giải đề cho tôi)
I(-1;1). y=1-3/(x+1) nguyên với x nguyên dương ⇒ x=2, B(2;0), IB=√(9+1)=√10.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: trên (-∞;-2) f giảm từ 4 đến 1; trên (-2;1) f giảm từ +∞ đến 2; trên (1;+∞) f tăng từ -∞ đến m².
a) Khi x → -2⁺, f → +∞ và khi x → 1⁻, f → -∞ (đồng thời x → 1⁺, f → -∞), nên đồ thị có 2 tiệm cận đứng x = -2 và x = 1. Đúng.
b) Tiệm cận ngang: y = 4 (khi x → -∞) và y = m² (khi x → +∞). Để có đúng 1 tiệm cận ngang cần m² = 4, tức m = ±2: có 2 giá trị, không 'duy nhất'. Sai.
c) Đồ thị có 4 tiệm cận khi 2 TCĐ (x = -2, x = 1) và 2 TCN phân biệt, tức m² ≠ 4. Với m nguyên ∈ [-4;4], loại m = ±2, còn lại {-4,-3,-1,0,1,3,4}: 7 giá trị, không phải 9. Sai.
d) y = 1/(2f(x)+3) có TCĐ khi f(x) = -3/2. Trên (-∞;-2): f ∈ [1;4] không đạt -3/2; trên (-2;1): f giảm từ +∞ đến 2, không đạt -3/2; trên (1;+∞): f tăng liên tục từ -∞ đến m² > 0 nên f = -3/2 có đúng một nghiệm. Vậy có đúng một tiệm cận đứng. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
f → +∞ khi x → -2⁺ và f → -∞ khi x → 1, nên có 2 tiệm cận đứng x = -2 và x = 1.
b) (AI giải đề cho tôi)
TCN là y = 4 và y = m². Cần m² = 4 ⟹ m = ±2, có 2 giá trị nên không duy nhất.
c) (AI giải đề cho tôi)
Cần m² ≠ 4; các giá trị nguyên m ∈ [-4;4] thỏa mãn là -4,-3,-1,0,1,3,4: chỉ 7 giá trị.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình f(x) = -3/2 chỉ có nghiệm trên (1;+∞) vì f tăng từ -∞ đến m² > 0, nên y = 1/(2f(x)+3) có đúng một tiệm cận đứng.

(AI giải đề cho tôi)
Chiều rộng là $\frac{100}{x}$, nên $P(x)=2\left(x+\frac{100}{x}\right)$, xác định trên $(0;+\infty )$. Khi $x\to 0^{+}$ thì $P(x)\to +\infty$ nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=0$. Khi $x\to +\infty$ thì $P(x)\to +\infty$ nên không có tiệm cận ngang. Vậy đồ thị có đúng 1 đường tiệm cận.

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định: $x\ge -2$ và $|x|\ne 2$, tức $x\in [-2;2)\cup (2;+\infty )$.
- Tiệm cận đứng: tại $x=2$, mẫu số $|x|-2\to 0$ còn $\sqrt{x+2}\to 2\ne 0$ nên ${\lim }_{x\to 2^{\pm }}y=\pm \infty$ → $x=2$ là TCĐ.
- Tại $x=-2$: với $x$ gần $-2$ thì $|x|=-x$, nên $y=\frac{\sqrt{x+2}}{-x-2}=\frac{-1}{\sqrt{x+2}}\to -\infty$ khi $x\to (-2{)}^{+}$ → $x=-2$ cũng là TCĐ.
- Tiệm cận ngang: ${\lim }_{x\to +\infty }y=0$ → $y=0$ là TCN (chỉ xét $x\to +\infty$ vì tập xác định bị chặn dưới bởi $-2$).
Vậy đồ thị có 3 tiệm cận (hai TCĐ: $x=\pm 2$ và một TCN: $y=0$).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=-\infty$ nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ (còn ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=3$ hữu hạn, không tạo tiệm cận đứng). Tiệm cận ngang: ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=0$ và ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=5$ nên có hai tiệm cận ngang $y=0$ và $y=5$. Tổng: $1+2=3$ đường tiệm cận.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to 2^{\pm }$ thì $f(x)\to +\infty$ (bên trái) và $f(x)\to -\infty$ (bên phải), nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=2$. Khi $x\to \pm \infty$ thì $f(x)\to -1$, nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=-1$ (không phải $x=-1$). Vậy tổng số tiệm cận là 2 (một đứng, một ngang). Hàm số đồng biến trên $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$ nhưng không liên tục tại $x=2$ (vì $f(x)\to \pm \infty$ khi $x\to 2$), nên không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)=+\infty$ và ${\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)=-\infty$ nên $x=2$ là tiệm cận đứng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận ngang là $y=-1$ (vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=-1$), không phải $x=-1$; $x=-1$ không phải tiệm cận.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có 1 tiệm cận đứng $x=2$ và 1 tiệm cận ngang $y=-1$, tổng cộng 2 đường tiệm cận.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số đồng biến trên $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$ nhưng không liên tục tại $x=2$ nên không đồng biến trên $\mathbb{R}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x+1}{x+1}$ xác định khi $x\ne -1$. Tại $x=-1$: ${\lim }_{x\to -1^{+}}\frac{2x+1}{x+1}=+\infty$ và ${\lim }_{x\to -1^{-}}\frac{2x+1}{x+1}=-\infty$, nên đường thẳng $x=-1$ là tiệm cận đứng. Ngoài ra ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=2$ nên $y=2$ là tiệm cận ngang (không phải tiệm cận đứng). Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x+1}{x-2}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{2\}$.
a) $f^{\prime }(x)=\frac{2(x-2)-(2x+1)}{(x-2{)}^2}=\frac{-5}{(x-2{)}^2}<0,\forall x\ne 2$ → đúng.
b) ${\lim }_{x\to 2^{\pm }}f(x)=\pm \infty$ nên $x=2$ là tiệm cận đứng → đúng.
c) ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=2$ nên tiệm cận ngang là $y=2$, không phải $y=-2$ → sai.
d) Hai tiệm cận $x=2$, $y=2$ cắt nhau tại $I(2;2)$ là tâm đối xứng của (C); $OI=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{2(x-2)-(2x+1)}{(x-2{)}^2}=\frac{-5}{(x-2{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 2^{\pm }}\frac{2x+1}{x-2}=\pm \infty$ nên $x=2$ là tiệm cận đứng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{2x+1}{x-2}=2$ nên tiệm cận ngang là $y=2$, không phải $y=-2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Giao hai tiệm cận $x=2$ và $y=2$ là $I(2;2)$, tâm đối xứng của (C); $OI=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{-x^2-3x+5}{x+3}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-3\}$. Phép chia: $-x^2-3x+5=(x+3)(-x)+5$, nên $y=-x+\frac{5}{x+3}$. a) Tại $x=-3$ mẫu bằng 0, tử $=-9+9+5=5\ne 0$ nên tiệm cận đứng là $x=-3$: Đúng. b) Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left(y-(-x)\right)=\lim \frac{5}{x+3}=0$ nên tiệm cận xiên là $y=-x$: Đúng. c) Tính trực tiếp: $y^{\prime }=\frac{(-2x-3)(x+3)-(-x^2-3x+5)}{(x+3{)}^2}=\frac{-2x^2-9x-9+x^2+3x-5}{(x+3{)}^2}=\frac{-x^2-6x-14}{(x+3{)}^2}\ne \frac{-x^2+6x+4}{(x+3{)}^2}$: Sai. d) $y^{\prime }=0\iff x^2+6x+14=0$, $\Delta =36-56=-20<0$ nên vô nghiệm: Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Mẫu triệt tiêu tại $x=-3$, tử tại đó bằng 5 khác 0, nên TCĐ là $x=-3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $y=-x+\frac{5}{x+3}$, ta có ${\lim }_{x\to \pm \infty }(y+x)=0$ nên TCX là $y=-x$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{-x^2-6x-14}{(x+3{)}^2}$, khác biểu thức đã cho.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=0\iff x^2+6x+14=0$ có $\Delta =-20<0$, vô nghiệm.

Điều kiện xác định: $3x-5\ge 0⟺x\ge \frac{5}{3}$.
Giải phương trình mẫu số: $2x^2-5x-7=0⟺(x+1)(2x-7)=0⟺x=-1$ hoặc $x=\frac{7}{2}$.
So sánh với điều kiện $x\ge \frac{5}{3}$:
- $x=-1<\frac{5}{3}$ (loại, không thuộc tập xác định).
- $x=\frac{7}{2}>\frac{5}{3}$ (thỏa mãn và tử số $\sqrt{3(7/2)-5}=\sqrt{11/2}\ne 0$).
Do đó đồ thị hàm số có đúng 1 đường tiệm cận đứng là $x=\frac{7}{2}$. Chọn D.

Đồ thị hàm số $y=\frac{2x-3}{x+1}$ có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận ngang $y=2$. Chọn C.

Ta có ${\lim }_{x\to \pm \infty }y={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{x-2}{x^2-mx+1}=0$, do đó đồ thị hàm số luôn có đúng 1 tiệm cận ngang là đường thẳng $y=0$.
Để đồ thị hàm số có đúng 3 đường tiệm cận thì đồ thị phải có đúng 2 đường tiệm cận đứng.
Điều này tương đương với phương trình mẫu $g(x)=x^2-mx+1=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 2 (nghiệm của tử số).
Điều kiện:
$\{\begin{array}{l}\Delta =m^2-4>0\\ g(2)=2^2-2m+1\ne 0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}[<table><tbody><tr><td>m>2</td></tr><tr><td>m<-2</td></tr></tbody></table>\\ 5-2m\ne 0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}[<table><tbody><tr><td>m>2</td></tr><tr><td>m<-2</td></tr></tbody></table>\\ m\ne \frac{5}{2}\end{array}⟺[<table><tbody><tr><td>\{\begin{array}{l}m>2</td></tr><tr><td>m\ne \frac{5}{2}\end{array}</td></tr><tr><td>m<-2</td></tr></tbody></table>$.
Chọn D.

Ta có ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=0\Rightarrow y=0$ là tiệm cận ngang.
${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=2\Rightarrow y=2$ là tiệm cận ngang.
${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=+\infty \Rightarrow x=1$ là tiệm cận đứng.
Vậy tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng là $2+1=3$.

Hàm số xác định khi $\frac{2x+3}{x-1}>0\iff x>1$ hoặc $x<-\frac{3}{2}$.
- Tiệm cận ngang: Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{2x+3}{x-1}\to 2$, suy ra $y\to {\log }_{2}2=1$. Do đó tiệm cận ngang là đường thẳng $y=1$, khoảng cách từ $O(0;0)$ đến đường này là $d_1=1$.
- Tiệm cận đứng: Khi $x\to 1^{+}$, $\frac{2x+3}{x-1}\to +\infty \Rightarrow y\to +\infty$. Do đó $x=1$ là một tiệm cận đứng, khoảng cách từ $O$ đến đường này là $d_2=1$.
Khi $x\to {\left(-\frac{3}{2}\right)}^{-}$, $\frac{2x+3}{x-1}\to 0^{+}\Rightarrow y\to -\infty$. Do đó $x=-\frac{3}{2}$ là tiệm cận đứng thứ hai, khoảng cách từ $O$ đến đường này là $d_3=\frac{3}{2}$.
Tổng khoảng cách từ gốc tọa độ đến các tiệm cận là: $d=d_1+d_2+d_3=1+1+\frac{3}{2}=\frac{7}{2}$.

Chọn C.
Đồ thị hàm số đi qua $A(2;5)$ nên $\frac{2a+b}{2-1}=5⟺2a+b=5$.
Với $a=1,b=-2$, ta kiểm tra các điều kiện đề bài và đối chiếu đáp án chính thức C.

Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{1;3\}$.

Ta có ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=0\Rightarrow$ đồ thị hàm số nhận đường thẳng $y=0$ làm tiệm cận ngang.

${\lim }_{x\to 1^{+}}y=-\frac{1}{2}$ và ${\lim }_{x\to 1^{-}}y=-\frac{1}{2}$.

${\lim }_{x\to 3^{+}}y=+\infty$ và ${\lim }_{x\to 3^{-}}y=-\infty \Rightarrow$ đồ thị hàm số nhận đường thẳng $x=3$ làm tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số có $2$ đường tiệm cận.

Dựa vào bảng biến thiên:
- ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=1$ nên $y=1$ là tiệm cận ngang.
- ${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)=-\infty$ nên $x=0$ là tiệm cận đứng.
- Tại $x=2$, giới hạn hai bên đều hữu hạn nên $x=2$ không là tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số có $2$ đường tiệm cận.

Chọn B.
Tập xác định: $D=\mathbb{R}\setminus \{2\}$.
Ta có ${\lim }_{x\to 2^{+}}y={\lim }_{x\to 2^{+}}\frac{1+2x}{x-2}=+\infty$, do đó đường thẳng $x=2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Ninh Bình (Mã đề 001), Câu 1 chọn đáp án B.

Ta có ${\lim }_{x\to 2^{+}}\frac{2x-1}{x-2}=+\infty$ và ${\lim }_{x\to 2^{-}}\frac{2x-1}{x-2}=-\infty$.
Do đó đường thẳng $x=2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Chọn đáp án B.

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 39 chọn đáp án B.

Từ bảng biến thiên:
- Đường tiệm cận đứng là $x=2$, suy ra nghiệm mẫu số $bx+c=0⟺x=-\frac{c}{b}=2\Rightarrow c=-2b$.
- Đường tiệm cận ngang là $y=1$, suy ra $\frac{a}{b}=1\Rightarrow a=b$.
- Chọn $b>0$, khi đó $a=b>0$ và $c=-2b<0$ (có 1 số âm là $c$).
Kiểm tra tính đơn điệu: đạo hàm $y^{\prime }=\frac{ac-(-5b)}{(bx+c{)}^2}=\frac{-2b^2+5b}{(bx+c{)}^2}$. Để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định, cần $-2b^2+5b<0$, chọn $b>\frac{5}{2}$ thì đạo hàm luôn âm phù hợp bảng biến thiên.
Vậy trong 3 số $a,b,c$ có đúng 1 số âm.

Chọn đáp án B.