Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tọa độ điểm/vectơ (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Cạnh $BC$ thẳng đứng (vì $B(2;4)$, $C(2;-2)$ có cùng hoành độ), nên đường cao từ $A$ là đường thẳng ngang đi qua $A(-4;1)$: $y=1$.

Vectơ $\overrightarrow{AB}=(6;3)$ có hệ số góc của $AB$ là $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$, nên đường cao từ $C$ vuông góc với $AB$ có hệ số góc $-2$: $y-(-2)=-2(x-2)\iff y=-2x+2$.

Trực tâm $H$ là giao của $y=1$ và $y=-2x+2$: $1=-2x+2\Rightarrow x=\frac{1}{2}$. Vậy $H\left(\frac{1}{2};1\right)$ và $x+y=\frac{1}{2}+1=1,5$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (1,5).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\overrightarrow{AB}=\vec{u}=(3;-1)$ nên $B=A+\vec{u}=(1+3;4+(-1))=(4;3)$. Vậy $B(4;3)$, khớp đáp án A trong bảng gợi ý.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $B(2;4)$ và $C(2;-2)$ nên trung điểm $BC$ là $(2;1)$, đường trung trực của $BC$ là $y=1$, do đó $I(x;1)$. Cân bằng khoảng cách tới $A$ và $B$: $(x+4{)}^2+(1-1{)}^2=(x-2{)}^2+(1-4{)}^2\Rightarrow x^2+8x+16=x^2-4x+13\Rightarrow 12x=-3\Rightarrow x=-\frac{1}{4}$. Vậy $I\left(-\frac{1}{4};1\right)$ và $x+y=-\frac{1}{4}+1=\frac{3}{4}=0,75$, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Tọa độ vectơ $\overrightarrow{AB}=B-A=(2-(-1);-5-3)=(3;-8)$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 8: A).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ: A(0;0), B(2a;0), C(2a;a), D(0;a) với BC = a, AB = 2a. Điểm N nằm trên CD nên N(t; a) với 0 ≤ t ≤ 2a. Ta có vectơ AC = (2a; a) và BN = (t − 2a; a). Điều kiện AC ⊥ BN cho tích vô hướng bằng 0: 2a(t − 2a) + a·a = 0 ⟹ 2t − 4a + a = 0 ⟹ t = 3a/2. Vậy CN = 2a − 3a/2 = a/2 và DN = 3a/2. Suy ra DN/CN = (3a/2)/(a/2) = 3.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A(0;0)$, $B(a;0)$, $C(a;b)$, $D(0;b)$ với $a=AB$, $b=BC$. Đường thẳng $AC$ có vectơ chỉ phương $(a;b)$. Chân đường vuông góc từ $B$ xuống $AC$ là $K=t(a;b)$ với $t=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot (a;b)}{a^2+b^2}=\frac{a^2}{a^2+b^2}$, tức $K=\left(\frac{a^3}{s};\frac{a^{2}b}{s}\right)$ với $s=a^2+b^2$.

Trung điểm $M$ của $AK$: $M=\left(\frac{a^3}{2s};\frac{a^{2}b}{2s}\right)$. Trung điểm $N$ của $CD$: $N=\left(\frac{a}{2};b\right)$.

Tính hai vectơ:
$$\overrightarrow{MN}=\left(\frac{a}{2}-\frac{a^3}{2s};b-\frac{a^{2}b}{2s}\right)=\left(\frac{a{b}^2}{2s};\frac{b(a^2+2b^2)}{2s}\right),$$
$$\overrightarrow{MB}=\left(a-\frac{a^3}{2s};-\frac{a^{2}b}{2s}\right)=\left(\frac{a(a^2+2b^2)}{2s};-\frac{a^{2}b}{2s}\right).$$

Tích vô hướng:
$$\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MN}=\frac{1}{4s^2}\left[a^2{b}^2(a^2+2b^2)-a^2{b}^2(a^2+2b^2)\right]=0.$$

Vậy $MB\perp MN$, suy ra góc $\widehat{BMN}=90^{\circ }$. (Nhận xét thêm: $\overrightarrow{MN}\parallel$ không cần thiết; kết quả đúng với mọi kích thước hình chữ nhật.)

(AI giải đề cho tôi)
Cảng cá trùng với điểm $E(0;2)$ theo hình vẽ. a) $\overrightarrow{EF}=(6;4)$ nên $EF=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}\approx 7,21$ đơn vị; $\overrightarrow{EG}=(8;-6)$ nên $EG=\sqrt{8^2+(-6{)}^2}=10$ đơn vị. Hai tàu đi cùng một thời gian, quãng đường tàu thứ hai dài hơn nên vận tốc tàu thứ hai lớn hơn → Đúng. b) $\overrightarrow{FG}=(2;-10)$, $\overrightarrow{FM}=\left(\frac{31}{5}-6;4-6\right)=\left(\frac{1}{5};-2\right)$. Vì $2\cdot (-2)=-4\ne (-10)\cdot \frac{1}{5}=-2$ nên hai vectơ không cùng phương, ba điểm $F$, $G$, $M$ không thẳng hàng → Sai. c) $FG=\sqrt{2^2+(-10{)}^2}=\sqrt{104}\approx 10,198$ đơn vị, mỗi đơn vị ứng với $500m$ nên $FG\approx 10,198\cdot 500\approx 5099m$ → Đúng. d) Hai tàu cùng rời cảng $E$ và đến $F$, $G$ nên hướng đi lần lượt là $\overrightarrow{EF}$ và $\overrightarrow{EG}$, hai vectơ này không cùng phương → Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án nguồn (Mã đề 102, Câu 2): a)Đ - b)S - c)Đ - d)Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{EF}=(6;4)$ nên $EF=\sqrt{52}\approx 7,21$; $\overrightarrow{EG}=(8;-6)$ nên $EG=10$. Cùng thời gian, quãng đường tàu 2 dài hơn nên vận tốc lớn hơn.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{FG}=(2;-10)$, $\overrightarrow{FM}=\left(\frac{1}{5};-2\right)$ không tỉ lệ nên ba điểm không thẳng hàng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$FG=\sqrt{104}\approx 10,198$ đơn vị $\approx 10,198\cdot 500\approx 5099m$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai tàu rời cảng $E$ cùng lúc và đến $F$, $G$ nên hướng đi lần lượt là $\overrightarrow{EF}$ và $\overrightarrow{EG}$, hai vectơ này không cùng phương.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục với $A(0;0)$, $B(140;0)$, $C(140;50)$, $D(0;50)$. Cột thứ nhất $E$ trên bờ $AB$ cách $A$ 10 m nên $E(10;0)$. Cột thứ hai $F$ trên bờ $CD$ cách $C$ 30 m nên $F(140-30;50)=(110;50)$. a) $\overrightarrow{AF}=(110;50)$ → Đúng. b) $EF=\sqrt{(110-10{)}^2+50^2}=\sqrt{12500}\approx 111,8$ m $\ne 110$ m → Sai. c) $\overrightarrow{AE}=(10;0)$ → Đúng. d) $B(140;0)$, $D(0;50)$ → Đúng. Khớp với đáp án nguồn: a)Đ - b)S - c)Đ - d)Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $A(0;0)$ và $F(110;50)$ thì $\overrightarrow{AF}=(110;50)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$EF=\sqrt{100^2+50^2}=\sqrt{12500}\approx 111,8$ m, không bằng 110 m.
c) (AI giải đề cho tôi)
$E(10;0)$ nên $\overrightarrow{AE}=(10;0)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với gốc tại $A$, trục $Ox$ dọc $AB$, trục $Oy$ dọc $AD$: $B(140;0)$, $D(0;50)$.

(AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm tam giác $ABC$: $G=\left(\frac{1+(-3)+x}{3};\frac{-2+4+y}{3}\right)=(2;1)$. Suy ra $\frac{x-2}{3}=2\Rightarrow x=8$ và $\frac{y+2}{3}=1\Rightarrow y=1$. Vậy $T=x+y=8+1=9$, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, Câu 2 = 9).

(AI giải đề cho tôi)
Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. Ta có $\overrightarrow{AB}=(3-2;2-1)=(1;1)$. Gọi $D(x;y)$ thì $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}=(6-x;5-y)$. Suy ra $6-x=1$ và $5-y=1$, tức $x=5$, $y=4$. Vậy $D(5;4)$, khớp với đáp án A trong bảng đáp án (mã đề 102, câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm của đoạn AB với A(1;2), B(3;4) là $M\left(\frac{1+3}{2};\frac{2+4}{2}\right)=M(2;3)$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm M của AB có tọa độ $x_M=\frac{1+3}{2}=2$, $y_M=\frac{2+4}{2}=3$, nên $M(2;3)$. Khớp với đáp án A trong bảng đáp án (mã đề 101, câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. Ta có $\overrightarrow{AB}=(3-2;2-1)=(1;1)$. Gọi $D(x;y)$ thì $\overrightarrow{DC}=(6-x;5-y)$. Suy ra $6-x=1$ và $5-y=1$, tức $x=5$, $y=4$. Vậy $D(5;4)$, tương ứng phương án B. Kiểm tra: $\overrightarrow{AD}=(3;3)=\overrightarrow{BC}=(3;3)$, đúng hình bình hành. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 11: B).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục với $A(0;0)$, trục $Ax$ dọc theo $AB$, trục $Ay$ dọc theo $AD$. Khi đó $B(140;0)$, $D(0;50)$, $C(140;50)$. a) $E$ trên bờ $AB$ cách $A$ một khoảng 10 m nên $E(10;0)$, suy ra $\overrightarrow{AE}=(10;0)$: Đúng. b) $F$ trên bờ $CD$ cách $C$ một khoảng 30 m nên $F(110;50)$. Khoảng cách $EF=\sqrt{(110-10{)}^2+(50-0{)}^2}=\sqrt{10000+2500}=\sqrt{12500}\approx 111,8$ m $\ne 110$ m: Sai. c) $B(140;0)$ và $D(0;50)$: Đúng. d) $\overrightarrow{AF}=(110;50)$: Đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a)Đ - b)S - c)Đ - d)Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với hệ trục gốc $A$, $E$ nằm trên $AB$ cách $A$ 10 m nên $E(10;0)$, do đó $\overrightarrow{AE}=(10;0)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$E(10;0)$, $F(110;50)$ nên $EF=\sqrt{100^2+50^2}=\sqrt{12500}\approx 111,8$ m, không bằng 110 m.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trong hệ trục đã chọn, $B(140;0)$ và $D(0;50)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$F$ trên $CD$ cách $C(140;50)$ một khoảng 30 m nên $F(110;50)$, suy ra $\overrightarrow{AF}=(110;50)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, cảng cá là điểm $E(0;2)$.

a) $\overrightarrow{EF}=(6-0;6-2)=(6;4)$ và $\overrightarrow{EG}=(8-0;-4-2)=(8;-6)$. Hai vecto này không cùng phương (không tồn tại $k$ để $(6;4)=k(8;-6)$), nên hai tàu đi về hai hướng khác nhau lần lượt là $\overrightarrow{EF}$ và $\overrightarrow{EG}$. → Đúng.

b) Cùng thời gian đi: $EF=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}\approx 7,21$ đơn vị; $EG=\sqrt{8^2+6^2}=10$ đơn vị. Vì $EG>EF$ nên tàu thứ hai đi nhanh hơn. → Đúng.

c) $\overrightarrow{FG}=(8-6;-4-6)=(2;-10)$, nên $FG=\sqrt{4+100}=\sqrt{104}\approx 10,198$ đơn vị. Đổi ra thực tế: $10,198\times 500\approx 5099m$. → Đúng.

d) Kiểm tra $M\left(\frac{31}{5};4\right)$ có thuộc đường thẳng $FG$ không. Đường thẳng qua $F(6;6)$ với hệ số góc $\frac{-10}{2}=-5$: $y=-5x+36$. Tại $x=\frac{31}{5}$: $y=-31+36=5\ne 4$, nên $M$ không thẳng hàng với $F,G$. → Sai.

Kết quả khớp với đáp án nguồn (Mã đề 101, Câu 3): a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{EF}=(6;4)$ và $\overrightarrow{EG}=(8;-6)$ không cùng phương nên hai tàu đi về hai hướng khác nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
Cùng thời gian: $EF=\sqrt{52}\approx 7,21<EG=10$, nên tàu thứ hai nhanh hơn.
c) (AI giải đề cho tôi)
$FG=\sqrt{2^2+10^2}=\sqrt{104}\approx 10,198$ đơn vị $\approx 5099m$ (mỗi đơn vị $=500m$).
d) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $FG$: $y=-5x+36$; tại $x=\frac{31}{5}$ cho $y=5\ne 4$, nên $M$ không thẳng hàng với $F,G$.

(AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm tam giác $ABC$: $G=\left(\frac{1+(-3)+x}{3};\frac{-2+4+y}{3}\right)=\left(\frac{x-2}{3};\frac{y+2}{3}\right)$. Theo đề $G(2;1)$ nên $\frac{x-2}{3}=2\Rightarrow x=8$ và $\frac{y+2}{3}=1\Rightarrow y=1$. Vậy $T=x+y=8+1=9$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, Câu 2 = 9).

(AI giải đề cho tôi)
Tính tổng vectơ: $\overrightarrow{FA}=(1;3-a)$, $\overrightarrow{FB}=(-3;1-a)$, $\overrightarrow{FC}=(5;-6-a)$. Khi đó $\overrightarrow{FA}+3\overrightarrow{FB}-2\overrightarrow{FC}=(1-9-10;3-a+3-3a+12+2a)=(-18;18-2a)$. Độ lớn bình phương: $324+(18-2a{)}^2$ đạt nhỏ nhất khi $18-2a=0$, tức $a=9$. Vậy $2a+9=27$, khớp đáp án nguồn (mã đề 101, Câu 3 = 27).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 24: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho $A(2;1)$, $B(-1;-2)$, $C(-3;2)$.

a) Trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AC$:
$$x_M=\frac{x_A+x_C}{2}=\frac{2+(-3)}{2}=-\frac{1}{2},y_M=\frac{y_A+y_C}{2}=\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}.$$
Vậy $M\left(-\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right)$.

b) Ta có:
$$\overrightarrow{AB}=(-1-2;-2-1)=(-3;-3),$$
$$\overrightarrow{AC}=(-3-2;2-1)=(-5;1).$$
Vì $\frac{-3}{-5}\ne \frac{-3}{1}$ nên $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương, tức $A$, $B$, $C$ không thẳng hàng. (Kiểm tra thêm: $AB=3\sqrt{2}$, $AC=\sqrt{26}$, $BC=\sqrt{20}$ thỏa mãn $AB+BC>AC$.) Vậy ba điểm $A$, $B$, $C$ tạo thành một tam giác.

c) Trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$:
$$x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}=\frac{2+(-1)+(-3)}{3}=\frac{-2}{3},$$
$$y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}=\frac{1+(-2)+2}{3}=\frac{1}{3}.$$
Vậy $G\left(-\frac{2}{3};\frac{1}{3}\right)$.

Ghi chú: Ý c) đã được xác nhận có thật trên trang 22 của tài liệu gốc (dòng đầu trang 22: "c) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác $ABC$.").

(AI giải đề cho tôi)
Câu 25: Cho $A(2;1)$, $B(-1;-2)$, $C(-3;2)$.

a) $C$ là trung điểm của $EB$ nên $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{BC}$, tức $E=2C-B$. Tọa độ: $x_E=2(-3)-(-1)=-5$, $y_E=2\cdot 2-(-2)=6$. Vậy $E(-5;6)$.
Kiểm tra: trung điểm của $E(-5;6)$ và $B(-1;-2)$ là $\left(\frac{-5-1}{2};\frac{6-2}{2}\right)=(-3;2)=C$. Đúng.

b) Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, tức $D=A+C-B$. Tọa độ: $x_D=2+(-3)-(-1)=0$, $y_D=1+2-(-2)=5$. Vậy $D(0;5)$.
Kiểm tra: $\overrightarrow{AB}=(-3;-3)$, $\overrightarrow{DC}=(-3-0;2-5)=(-3;-3)$, nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, $ABCD$ là hình bình hành. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(4-1;0-3)=(3;-3)$.
Từ $3\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AB}=\vec{0}$ suy ra $\overrightarrow{AM}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}=(-1;1)$.
Gọi $M(x;y)$, khi đó $\overrightarrow{AM}=(x-1;y-3)=(-1;1)$, nên:
$x-1=-1\Rightarrow x=0$; $y-3=1\Rightarrow y=4$.
Vậy $M(0;4)$.
Thử lại: $3\overrightarrow{AM}=(-3;3)$, do đó $3\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AB}=(-3;3)+(3;-3)=(0;0)=\vec{0}$ (thỏa mãn).