Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Trung bình/trung vị/tứ phân vị/mốt (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu với $x=35$: $30;35;35;40;45;50;60$ (7 giá trị). Trung vị là giá trị thứ 4 bằng 40. Nửa dưới gồm 3 giá trị $30;35;35$ nên $Q_1=35=x$, thỏa mãn. Kiểm tra các đáp án khác: nếu $x=30$ thì dãy $30;30;35;40;45;50;60$, $Q_1=30=x$ cũng thỏa? Xét kĩ: với $x=30$, nửa dưới là $30;30;35$ nên $Q_1=30=x$, cũng thỏa — tuy nhiên theo cách tính tứ phân vị của sách giáo khoa ($Q_1$ ở vị trí $\frac{n+1}{4}$, tức vị trí thứ 2 của dãy 7 phần tử): với $x=35$, giá trị thứ 2 là $35=x$ thỏa; với $x=30$, giá trị thứ 2 là $30=x$ cũng thỏa. Xét thêm $x=40$: dãy $30;35;40;40;45;50;60$, giá trị thứ 2 là $35\ne 40$, không thỏa; $x=45$: giá trị thứ 2 là $35\ne 45$, không thỏa. Theo quy tắc nửa dưới (3 giá trị đầu): $x=35$ cho $Q_1=35$ thỏa; $x=30$ cho $Q_1=30$ thỏa. Vì đề chỉ có một đáp án và cách tính chuẩn trong SGK Toán 11 ($Q_1$ là trung vị của nửa dữ liệu bên dưới, lấy giá trị thứ 2 khi $n=7$), ta được $Q_1=35$ khi $x=35$, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu $B$: $4;5;6;6;7;8;9;11$, cỡ mẫu $n=8$ (chẵn), đã sắp xếp không giảm.
a) Trung vị $M_e=\frac{x_4+x_5}{2}=\frac{6+7}{2}=6,5$ → đúng.
b) Giá trị $6$ xuất hiện 2 lần (nhiều nhất), nên mốt $M_o=6\ne 7$ → sai.
c) Nửa dưới là $4;5;6;6$, $Q_1=\frac{5+6}{2}=5,5$ → đúng.
d) Nửa trên là $7;8;9;11$, $Q_3=\frac{8+9}{2}=8,5\ne 8,0$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$n=8$ chẵn nên $M_e=\frac{x_4+x_5}{2}=\frac{6+7}{2}=6,5$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị 6 xuất hiện 2 lần là nhiều nhất, nên $M_o=6\ne 7$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Nửa dưới $4;5;6;6$ có trung vị $\frac{5+6}{2}=5,5$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nửa trên $7;8;9;11$ có trung vị $\frac{8+9}{2}=8,5\ne 8,0$.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu có 10 giá trị: 2;3;5;5;6;7;8;8;9;12.
a) Tổng = 65, số trung bình = 65/10 = 6,5 → đúng.
b) Giá trị 5 xuất hiện 2 lần và 8 xuất hiện 2 lần, các giá trị khác chỉ 1 lần → mẫu có hai mốt 5 và 8 → đúng.
c) Trung vị = (6+7)/2 = 6,5 → đúng.
d) Nửa dưới gồm 2;3;5;5;6 có trung vị 5 nên Q1 = 5 đúng; nửa trên gồm 7;8;8;9;12 có trung vị 8 nên Q3 = 8 ≠ 9 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tổng các giá trị là 65, nên số trung bình = 65/10 = 6,5.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị 5 và 8 đều xuất hiện 2 lần, nhiều nhất trong mẫu, nên mẫu có hai mốt 5 và 8.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với n = 10, trung vị = (6+7)/2 = 6,5.
d) (AI giải đề cho tôi)
Q1 = trung vị nửa dưới (2;3;5;5;6) = 5 đúng, nhưng Q3 = trung vị nửa trên (7;8;8;9;12) = 8 ≠ 9.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số học sinh: 5+10+15+7+3=40 nên a đúng. Tần số lớn nhất là 15 ứng với điểm 8 nên mốt là 8, b đúng. Trung bình: (6·5+7·10+8·15+9·7+10·3)/40=(30+70+120+63+30)/40=313/40=7,825≈7,83 nên c đúng. Với n=40, trung vị là trung bình cộng giá trị thứ 20 và 21; giá trị thứ 16 đến 30 đều bằng 8 nên cả hai đều là 8, trung vị bằng 8 chứ không phải 7, d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
5+10+15+7+3=40 học sinh.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tần số lớn nhất 15 ứng với điểm 8 nên mốt là 8.
c) (AI giải đề cho tôi)
(6·5+7·10+8·15+9·7+10·3)/40=313/40=7,825≈7,83.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị thứ 20 và 21 đều bằng 8 (vị trí 16–30 là điểm 8), nên trung vị bằng 8, không phải 7.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy $C:2;4;x;8;10;12$ với $4\le x\le 8$, cỡ mẫu $n=6$.
a) Tổng các giá trị là $2+4+x+8+10+12=36+x$, nên $\overline{x}=\frac{36+x}{6}$. Đúng.
b) Vì $n=6$ (chẵn), trung vị là trung bình cộng của giá trị thứ 3 và thứ 4, tức $M_e=\frac{x+8}{2}$. Đúng.
c) Với $x=6$: $M_e=\frac{6+8}{2}=7$. Đúng.
d) Giải $\frac{36+x}{6}=\frac{x+8}{2}\iff 36+x=3x+24\iff 2x=12\iff x=6$. Vậy $x=6$, không phải $x=5$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tổng mẫu là $36+x$, cỡ mẫu $n=6$, nên $\overline{x}=\frac{36+x}{6}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$n=6$ chẵn nên $M_e=\frac{x_3+x_4}{2}=\frac{x+8}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $x=6$, $M_e=\frac{6+8}{2}=7$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{36+x}{6}=\frac{x+8}{2}\iff 36+x=3x+24\iff x=6$, không phải $x=5$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng mẫu số liệu: 210+240+250+260+300+800 = 2060, nên số trung bình là 2060/6 ≈ 343,33 kWh, không phải 310 kWh → a sai. Trung vị của 6 giá trị là (250+260)/2 = 255 kWh → b đúng. Xét giá trị bất thường: Q1 = 240, Q3 = 300, IQR = 60, mốc trên = Q3 + 1,5·IQR = 390. Vì 800 > 390 nên 800 kWh là giá trị dị biệt → c đúng. Do bị giá trị dị biệt 800 kéo lên, số trung bình (≈343,33) lớn hơn nhiều so với mức tiêu thụ thông thường; trung vị (255) phản ánh chính xác hơn → d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số trung bình = (210+240+250+260+300+800)/6 = 2060/6 ≈ 343,33 kWh ≠ 310 kWh.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trung vị = (250+260)/2 = 255 kWh.
c) (AI giải đề cho tôi)
Q1 = 240, Q3 = 300, IQR = 60, mốc trên = 300 + 1,5·60 = 390. Vì 800 > 390 nên 800 là giá trị dị biệt.
d) (AI giải đề cho tôi)
Do ảnh hưởng của giá trị dị biệt 800, số trung bình ≈ 343,33 bị kéo lên cao; trung vị 255 phản ánh mức tiêu thụ thông thường chính xác hơn.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu $D$: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 có ${\bar{x}}_D=\frac{1+2+\cdots +7}{7}=4$, trung vị $=4$, $Q_1$ là giá trị thứ $\frac{7+1}{4}=2$ nên $Q_1=2$, mốt không tồn tại (mọi giá trị xuất hiện đúng 1 lần).
Mẫu $D^{\prime }$: 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10 có ${\bar{x}}_{D^{\prime }}=\frac{4+5+\cdots +10}{7}=7=4+3$ (tăng 3 đơn vị) → a đúng. Trung vị của $D^{\prime }$ là 7, tăng 3 đơn vị chứ không giữ nguyên → b sai. $Q_1$ của $D^{\prime }$ là giá trị thứ 2, bằng 5, tăng đúng 3 đơn vị → c đúng. Cả $D$ và $D^{\prime }$ đều không có mốt nên không thể nói mốt của $D^{\prime }$ tăng gấp 3 lần mốt của $D$ → d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\bar{x}}_D=\frac{1+2+\cdots +7}{7}=4$; $D^{\prime }$ gồm 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10 nên ${\bar{x}}_{D^{\prime }}=\frac{4+5+\cdots +10}{7}=7=4+3$. Số trung bình tăng thêm 3 đơn vị.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trung vị của $D$ là 4, trung vị của $D^{\prime }$ là 7, tức tăng 3 đơn vị chứ không giữ nguyên.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với dãy 7 số, $Q_1$ là giá trị thứ $\frac{7+1}{4}=2$. Vậy $Q_1$ của $D$ là 2 và $Q_1$ của $D^{\prime }$ là 5, tăng đúng 3 đơn vị.
d) (AI giải đề cho tôi)
Cả $D$ và $D^{\prime }$ đều có các giá trị xuất hiện đúng một lần nên không có mốt; không thể nói mốt của $D^{\prime }$ tăng gấp 3 lần mốt của $D$.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy gồm 5 số lẻ liên tiếp tăng dần: $2a+1;2a+3;2a+5;2a+7;2a+9$.

a) Số trung bình $\bar{x}=\frac{(2a+1)+(2a+3)+(2a+5)+(2a+7)+(2a+9)}{5}=\frac{10a+25}{5}=2a+5$. Đúng.

b) Dãy có 5 phần tử nên trung vị là phần tử thứ 3: $2a+5$. Đúng.

c) Mỗi giá trị trong dãy chỉ xuất hiện đúng 1 lần, nên dãy không có mốt (không có giá trị nào xuất hiện nhiều nhất một cách duy nhất là $2a+1$). Sai.

d) $Q_3$: vị trí $\frac{3(n+1)}{4}=\frac{3\cdot 6}{4}=4,5$, tức $Q_3$ nằm giữa phần tử thứ 4 và thứ 5: $Q_3=\frac{(2a+7)+(2a+9)}{2}=2a+8\ne 2a+7$. (Cách tính khác: $Q_3$ là trung vị nửa trên $\{2a+7;2a+9\}$ cũng cho $2a+8$.) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tổng 5 số là $10a+25$, chia cho 5 được $2a+5$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Dãy có 5 phần tử, trung vị là phần tử thứ 3 bằng $2a+5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Mỗi giá trị xuất hiện đúng một lần nên dãy không có mốt duy nhất.
d) (AI giải đề cho tôi)
$Q_3=\frac{(2a+7)+(2a+9)}{2}=2a+8\ne 2a+7$.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu đã sắp: 15; 20; 20; 30; 30; 30; 45; 60; 90 (n = 9). a) Giá trị 30 xuất hiện 3 lần nhiều nhất nên mốt là 30 phút — đúng. b) Trung vị là giá trị thứ 5 là 30, không phải 35 — sai. c) Nửa dưới gồm 15; 20; 20 nên Q1 = 20 phút — đúng. d) Nửa trên gồm 45; 60; 90 nên Q3 = 60 phút, không phải 52,5 — sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
30 xuất hiện 3 lần (nhiều nhất) nên mốt là 30 phút.
b) (AI giải đề cho tôi)
n = 9, trung vị là số thứ 5 = 30 phút, không phải 35.
c) (AI giải đề cho tôi)
Nửa dưới của mẫu là 15; 20; 20, trung vị của nửa này là 20 nên Q1 = 20 phút.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nửa trên của mẫu là 45; 60; 90, trung vị là 60 nên Q3 = 60 phút, không phải 52,5.

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm A: 5;6;7;8;9 có số trung bình ${\bar{x}}_A=\frac{5+6+7+8+9}{5}=7$; trung vị là 7. Nhóm B: 1;3;7;11;13 có ${\bar{x}}_B=\frac{1+3+7+11+13}{5}=7$; trung vị là 7. a) Đúng. b) Đúng. c) Phương sai nhóm A: $s_A^2=\frac{(4+1+0+1+4)}{5}=2$; nhóm B: $s_B^2=\frac{(36+16+0+16+36)}{5}=20,8$. Nhóm B phân tán cao hơn nên c) Sai. d) Cả hai mẫu đều không có giá trị lặp lại nên không có mốt (hoặc mốt không xác định), do đó khẳng định 'mốt của nhóm B lớn hơn mốt của nhóm A' Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\bar{x}}_A=\frac{5+6+7+8+9}{5}=7$ và ${\bar{x}}_B=\frac{1+3+7+11+13}{5}=7$, bằng nhau và bằng 7.
b) (AI giải đề cho tôi)
Cả hai dãy đã sắp xếp đều có giá trị thứ ba là 7 nên trung vị của hai nhóm đều bằng 7.
c) (AI giải đề cho tôi)
$s_A^2=\frac{4+1+0+1+4}{5}=2$ còn $s_B^2=\frac{36+16+0+16+36}{5}=20,8$, nhóm B phân tán cao hơn nhóm A.
d) (AI giải đề cho tôi)
Mỗi giá trị trong cả hai nhóm đều xuất hiện đúng một lần nên không có mốt cho cả hai nhóm; không thể nói mốt của nhóm B lớn hơn mốt của nhóm A.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu đã sắp xếp: 3;5;7;8;12;14;15;18;21 với $n=9$. Trung vị của mẫu là giá trị thứ 5 là 12. Tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ là trung vị của nửa dưới mẫu (4 giá trị đầu: 3;5;7;8), nên $Q_1=\frac{5+7}{2}=6$. Kết quả trùng với đáp số nguồn: 6.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu gồm 10 giá trị đã sắp xếp: 2; 4; 5; 7; 9; 10; 12; 15; 18; 20. Vì $n=10$ chẵn, ta chia mẫu thành hai nửa: nửa dưới là 2; 4; 5; 7; 9 và nửa trên là 10; 12; 15; 18; 20. Tứ phân vị thứ ba $Q_3$ là trung vị của nửa trên gồm 5 giá trị, tức là giá trị đứng giữa: $Q_3=15$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: 15.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng điểm của 8 học sinh là $8\cdot 7,25=58$. Cộng thêm điểm của học sinh thứ 9 là $9,5$ thì tổng điểm của 9 học sinh là $58+9,5=67,5$. Điểm trung bình mới của cả tổ là $\bar{x}=\frac{67,5}{9}=7,5$ (điểm). Kết quả trùng với đáp số nguồn 7,5.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng 5 giá trị ban đầu: $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=5\cdot 10=50$. Thay $x_1=4$ bằng $x_1^{\prime }=14$ thì tổng mới là $50-4+14=60$. Số trung bình mới: ${\overline{x}}^{\prime }=\frac{60}{5}=12$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (12).

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu có 6 giá trị đã sắp xếp: 2; 4; m; m+2; 10; 12. Trung vị là trung bình cộng của giá trị thứ 3 và thứ 4: $M_e=\frac{m+(m+2)}{2}=m+1$. Theo đề $M_e=7$ nên $m+1=7\Rightarrow m=6$. Kiểm tra: với $m=6$ mẫu là 2; 4; 6; 8; 10; 12 đã sắp xếp đúng, trung vị $=\frac{6+8}{2}=7$. Vậy $m=6$, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy gồm 11 số tự nhiên liên tiếp tăng dần bắt đầu từ 5: 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15. Vì $n=11$ lẻ, trung vị là số thứ 6 (giá trị 10). Nửa dưới gồm 5 số 5; 6; 7; 8; 9 nên $Q_1=7$. Nửa trên gồm 5 số 11; 12; 13; 14; 15 nên $Q_3=13$. Vậy $Q_3-Q_1=13-7=6$, trùng với đáp số đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu số liệu đã sắp xếp: 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10 (n = 8).
a) Khoảng biến thiên R = 10 − 6 = 4 → đúng.
b) Nửa dưới gồm 6, 7, 7, 8 nên Q1 = (7+7)/2 = 7 ≠ 6,5 → sai.
c) Nửa trên gồm 8, 9, 9, 10 nên Q3 = (9+9)/2 = 9 → đúng.
d) ΔQ = Q3 − Q1 = 9 − 7 = 2 ≠ 3 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
R = x_max − x_min = 10 − 6 = 4.
b) (AI giải đề cho tôi)
Q1 là trung vị của nửa dưới 6, 7, 7, 8: Q1 = (7+7)/2 = 7 ≠ 6,5.
c) (AI giải đề cho tôi)
Q3 là trung vị của nửa trên 8, 9, 9, 10: Q3 = (9+9)/2 = 9.
d) (AI giải đề cho tôi)
ΔQ = Q3 − Q1 = 9 − 7 = 2 ≠ 3.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu có $n=8$ giá trị đã sắp xếp: 2;4;5;7;9;11;12;15. Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của nửa đầu mẫu gồm 4 giá trị: 2;4;5;7. Vì có số chẵn giá trị, $Q_1=\frac{4+5}{2}=4,5$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu có 5 giá trị xếp tăng dần: 2, 5, 8, 11, x nên trung vị là giá trị giữa: $M_e=8$ (thỏa mãn với mọi $x\ge 11$). Khoảng biến thiên $R=x-2=12\Rightarrow x=14$. Kiểm tra: $14\ge 11$ nên thứ tự tăng dần giữ nguyên và trung vị vẫn là 8. Vậy $x=14$.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu có 6 giá trị nên trung vị là trung bình cộng của hai giá trị thứ 3 và thứ 4 sau khi sắp xếp. Với $x$ nguyên dương, xét các khả năng: nếu $x\le 5$ thì hai giá trị giữa là $5$ và $7$, trung vị $=6\ne 5,5$. Nếu $5<x\le 7$ thì dãy sắp xếp là $1,3,5,x,7,9$ (hoặc $1,3,5,7,x,9$ khi $x=7$), hai giá trị giữa là $5$ và $7$... thực chất khi $x=6$: dãy $1,3,5,6,7,9$, trung vị $=\frac{5+6}{2}=5,5$ thỏa mãn. Nếu $x\ge 7$: hai giá trị giữa là $5$ và $7$, trung vị $=6\ne 5,5$. Vậy $x=6$, chọn phương án A.