Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Trung bình/trung vị/tứ phân vị/mốt (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (Tự luận): Chọn số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho từng mẫu.

a) Mẫu: 0, 0, 1, 2, 63, 34, 27, 13. Dữ liệu có giá trị lệch lớn (63, 34) so với phần lớn dữ liệu (0, 1, 2), nên số trung bình bị ảnh hưởng mạnh; ta chọn **số trung vị**. Sắp xếp: 0, 0, 1, 2, 13, 27, 34, 63 (n = 8). Trung vị = (2 + 13)/2 = 7,5.

b) Mẫu: 14, 20, 23, 24, 32. Dữ liệu phân bố đều, không có giá trị bất thường, nên chọn **số trung bình**: x̄ = (14 + 20 + 23 + 24 + 32)/5 = 113/5 = 22,6.

c) Mẫu IQ: 60, 72, 63, 83, 68, 74, 90, 86, 74, 80. Sắp xếp: 60, 63, 68, 72, 74, 74, 80, 83, 86, 90. Không có giá trị bất thường, chọn **số trung bình**: tổng = 750, x̄ = 750/10 = 75.

d) Mẫu sai số: 10, 15, 18, 15, 14, 13, 42, 15, 12, 14, 42. Có hai giá trị 42 lệch hẳn so với phần còn lại (10 đến 18), nên chọn **số trung vị**. Sắp xếp: 10, 12, 13, 14, 14, 15, 15, 15, 18, 42, 42 (n = 11). Trung vị là giá trị thứ 6 = 15.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu (n = 10): 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 4, 6, 10.

a) Số trung bình: $\bar{x}=\frac{0+0+4+0+0+0+10+0+6+0}{10}=\frac{20}{10}=2$.

Mốt: giá trị xuất hiện nhiều nhất là $0$ (xuất hiện 7 lần), nên $M_o=0$.

Trung vị: $n=10$ chẵn, trung vị là trung bình cộng của giá trị thứ 5 và thứ 6 (đều bằng 0): $M_e=\frac{0+0}{2}=0$, tức $Q_2=0$.

Tứ phân vị: nửa dưới gồm 5 giá trị $0,0,0,0,0$ nên $Q_1=0$; nửa trên gồm 5 giá trị $0,0,4,6,10$ nên $Q_3=4$.

Vậy $\bar{x}=2$, $M_o=0$, $Q_1=0$, $Q_2=0$, $Q_3=4$.

b) Trong mẫu số liệu có 7 trên 10 giá trị bằng 0 (chiếm 70%). Khi sắp xếp, cả 5 giá trị của nửa dưới đều bằng 0 nên tứ phân vị thứ nhất $Q_1=0$; đồng thời giá trị thứ 5 và thứ 6 đều bằng 0 nên trung vị $Q_2=0$. Vậy $Q_1=M_e=0$ do quá nửa số giá trị của mẫu bằng 0.

(AI giải đề cho tôi)
Dữ liệu ban đầu: 20 120; 21 315; 23 405; 20 120; 37 546.

Số trung bình ban đầu: $\bar{x}=\frac{20120+21315+23405+20120+37546}{5}=\frac{122506}{5}=24501,2$.

Số trung vị ban đầu: sắp xếp $20120;20120;21315;23405;37546$ → trung vị $=21315$.

Mốt ban đầu: $20120$ (xuất hiện 2 lần).

Bỏ số liệu Mỹ Đình (37 546), mẫu còn: $20120;21315;23405;20120$.

- Số trung bình mới: $\frac{20120+21315+23405+20120}{4}=\frac{84960}{4}=21240$. Vậy số trung bình giảm từ $24501,2$ xuống $21240$ (giảm $3261,2$), tức bị ảnh hưởng mạnh vì 37 546 là giá trị lớn nhất (giá trị ngoại lệ lớn) kéo trung bình lên cao.

- Số trung vị mới: sắp xếp $20120;20120;21315;23405$ → trung vị $=\frac{20120+21315}{2}=20717,5$. Vậy trung vị giảm từ $21315$ xuống $20717,5$, thay đổi không đáng kể.

- Mốt mới: vẫn là $20120$ (vẫn xuất hiện 2 lần), tức mốt không bị ảnh hưởng.

Kết luận: Số trung bình thay đổi nhiều (giảm mạnh), số trung vị thay đổi ít, số mốt không đổi.

(AI giải đề cho tôi)
Số trung bình: $\bar{x}=\frac{5\cdot 3+6\cdot 7+7\cdot 12+8\cdot 14+9\cdot 3+10\cdot 1}{40}=\frac{15+42+84+112+27+10}{40}=\frac{290}{40}=7,25$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu (8 giá trị): 8, 17, 21, 35, 43, 59, 72, 119. Vì cỡ mẫu n = 8 chẵn, số trung vị là trung bình cộng của giá trị thứ 4 và thứ 5: $Me=\frac{35+43}{2}=39$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Mốt là giá trị xuất hiện với tần số lớn nhất. Tần số lớn nhất là 47 ứng với cỡ áo 39, nên mốt của mẫu số liệu là 39. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số học sinh $n=35$. Số liệu: điểm 9 có 4, điểm 10 có 6, điểm 11 có 4, điểm 12 có 5, điểm 13 có 4, điểm 14 có 3, điểm 15 có 4, điểm 16 có 2, điểm 17 có 2, điểm 18 có 1.

a) Mốt của mẫu số liệu là điểm 10 (xuất hiện 6 lần, nhiều nhất). Đúng.

b) Tổng điểm: $\sum x_i{n}_i=36+60+44+60+52+42+60+32+34+18=438$, nên $\bar{x}=438/35\approx 12,51$. Tổng $\sum x_i^2{n}_i=324+600+484+720+676+588+900+512+578+324=5706$. Phương sai $s^2=5706/35-(438/35{)}^2\approx 163,03-156,61=6,42$, nên $s\approx 2,53$. Đúng.

c) Trung vị là giá trị thứ 18 (vì $n=35$). Tích lũy: điểm 9 có 4, đến điểm 10 có 10, đến điểm 11 có 14, đến điểm 12 có 19. Vậy giá trị thứ 18 là 12, trung vị bằng 12 chứ không phải 11. Sai.

d) $25\%$ của 35 là $8,75$, tức nhóm 25% học sinh có điểm cao nhất gồm khoảng 9 học sinh đạt từ 15 điểm trở lên (1+2+2+4 = 9 học sinh đạt $\ge 15$). Tứ phân vị thứ ba: $Q_3$ là giá trị thứ $\lceil 0,75\cdot 35\rceil =27$, tích lũy đến điểm 14 là 26, đến điểm 15 là 30, nên $Q_3=15$. Khôi đạt 14 điểm $<15$, nên không thuộc nhóm 25% có điểm cao nhất. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Điểm 10 xuất hiện 6 lần, nhiều nhất trong mẫu số liệu, nên mốt là 10.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\bar{x}=438/35\approx 12,51$; $s^2=5706/35-(438/35{)}^2\approx 6,42$, nên $s\approx 2,53$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị thứ 18 trong mẫu (n=35) là 12, nên trung vị bằng 12, không phải 11.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nhóm 25% học sinh có điểm cao nhất gồm những bạn đạt từ $Q_3=15$ điểm trở lên (9 học sinh). Khôi chỉ đạt 14 điểm nên không thuộc nhóm này.

(AI giải đề cho tôi)
Mốt là giá trị có tần số lớn nhất. Tần số lớn nhất là 15 ứng với giá trị 4, nên $M_0=4$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Bảng có 35 giá trị. Thống kê tần số: điểm 5 xuất hiện 1 lần; điểm 6 xuất hiện 5 lần; điểm 7 xuất hiện 6 lần; điểm 8 xuất hiện 8 lần; điểm 9 xuất hiện 9 lần; điểm 10 xuất hiện 6 lần (tổng $1+5+6+8+9+6=35$, khớp số liệu). Giá trị có tần số lớn nhất là 9 (9 lần), nên Mốt $M_0=9$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu có 12 giá trị đã sắp xếp: 2; 3; 4; 4,5; 5; 6; 6,5; 8; 8,5; 9; 10; 11. Vì cỡ mẫu n = 12 chẵn, số trung vị là trung bình cộng của giá trị thứ 6 và thứ 7: Me = (6 + 6,5)/2 = 6,25. Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 1001, câu 1: A).

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu: 5; 12; 15; 25; 27; 45 (n = 6).
a) $Q_2$ là trung vị: $Q_2=\frac{15+25}{2}=20\ne 19$ → Sai.
b) $\overline{x}=\frac{5+12+15+25+27+45}{6}=\frac{129}{6}=21,5$. Phương sai $s^2=\frac{1}{6}\sum (x_i-\overline{x}{)}^2=\frac{(-16,5{)}^2+(-9,5{)}^2+(-6,5{)}^2+3,5^2+5,5^2+23,5^2}{6}=\frac{999,5}{6}\approx 166,58$, nên $s\approx 12,91$ → Đúng.
c) Khoảng biến thiên $R=45-5=40$ → Đúng.
d) $\overline{x}=21,5$ → Đúng.
Kết quả khớp với đáp án mã đề 1001: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp: 5; 12; 15; 25; 27; 45. Trung vị $Q_2=\frac{15+25}{2}=20\ne 19$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overline{x}=21,5$; $s^2=\frac{999,5}{6}\approx 166,58$ nên $s\approx 12,91$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$R=45-5=40$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overline{x}=\frac{129}{6}=21,5$.

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: 28, 31, 32, 33, 33, 34, 34, 35, 35, 37, 37, 45. (Điểm: 0,25) $$Q_2=M_e=\frac{1}{2}(34+34)=34,Q_1=\frac{1}{2}(32+33)=32,5,Q_3=\frac{1}{2}(35+37)=36.$$ (Điểm: 0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Số trung bình của mẫu số liệu 15; 10; 11; 10; 19 là $\bar{x}=\frac{15+10+11+10+19}{5}=\frac{65}{5}=13$. Vậy đáp án đúng là C, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 1001, câu 7: C).

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=20$, dãy đã sắp xếp. Số trung vị là trung bình cộng của giá trị thứ 10 và thứ 11. Tần số tích lũy: điểm 4 có 1 HS, điểm 5 có 3 HS, điểm 6 có 6 HS, điểm 7 có 10 HS, điểm 8 có 15 HS. Vậy giá trị thứ 10 là 7, giá trị thứ 11 là 8. Số trung vị $=\frac{7+8}{2}=7,5$. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 1020, câu 1: B).

a) Hướng dẫn: Tổng số học sinh khối 10 là: $46+45+48=139$. Suy ra: số cách để chọn một học sinh lớp 10 là 139 cách. (0,5 điểm)

b) Hướng dẫn: Thời gian trung bình để mỗi học sinh chạy được 100m là $$\overline{x}=\frac{12.5+13.7+14.10+15.8+16.6}{5+7+10+8+6}\approx 14,1.$$ (HS có thể bấm máy tính ra kết quả giá trị trung bình) (0,5 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Giá trị mốt là giá trị có tần số lớn nhất. Trong bảng, tần số lớn nhất là 126 ứng với cỡ áo 38, nên mốt bằng 38. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 1020, câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
Giá trị mốt là giá trị có tần số lớn nhất. Tần số lớn nhất là 126 ứng với cỡ áo 38, nên mốt $M_o=38$. Khớp đáp án B và bảng đáp án mã đề 1010.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=20$, số trung vị là trung bình cộng của giá trị thứ 10 và thứ 11 trong dãy dữ liệu đã sắp xếp. Tần số tích lũy: điểm 4 có 1 HS, điểm 5 có 3 HS, điểm 6 có 6 HS, điểm 7 có 10 HS, điểm 8 có 15 HS. Vậy giá trị thứ 10 là 7, giá trị thứ 11 là 8. Số trung vị $=\frac{7+8}{2}=7,5$. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 1010, câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu tăng dần: 46, 50, 55, 60, 70, 74, 78, 80, 80, 89. Cỡ mẫu $n=10$ chẵn nên trung vị là trung bình cộng của giá trị thứ 5 và thứ 6: $Me=\frac{70+74}{2}=72$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, Câu 1: A).

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu (10 giá trị) theo thứ tự tăng dần: 46, 50, 55, 60, 70, 74, 78, 80, 80, 89. Vì cỡ mẫu $n=10$ chẵn, trung vị là trung bình cộng của giá trị thứ 5 và thứ 6: $Me=\frac{70+74}{2}=72$. Vậy đáp án C, trùng với đáp án của đề.