Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng khẳng định bằng quy tắc ba điểm: A) $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BA}$ nên $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}$ đúng. B) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}\ne \overrightarrow{BA}$, nên khẳng định này sai. C) $\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}$ đúng. D) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}$ đúng. Vậy khẳng định sai là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 6: B).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình, tam giác ABC có M thuộc AB, N thuộc AC và MN song song với BC. Xét từng đáp án: A) $\overrightarrow{MN}$ cùng hướng với $\overrightarrow{BC}$ nên $\overrightarrow{MN}$ ngược hướng $\overrightarrow{CB}$ → sai. B) $\overrightarrow{MA}$ ngược hướng $\overrightarrow{AB}$ (vì M nằm giữa A và B) → sai. C) $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng nằm trên hai đường thẳng song song và cùng chỉ từ trái sang phải nên cùng hướng → đúng. D) $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không song song với nhau → không cùng hướng. Vậy đáp án C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa tích vô hướng: $\vec{a}.\vec{b}=|\vec{a}|.|\vec{b}|.\cos \left(\vec{a},\vec{b}\right)$. Do đó A đúng. B sai vì $|\vec{a}.\vec{b}|$ là số dương, không phải $|\vec{a}||\vec{b}|$; C chỉ đúng khi hai véc tơ cùng phương cùng chiều; D dùng sin là sai. Đáp án khớp với đáp án nguồn (Mã đề 101, câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng khẳng định với quy tắc ba điểm: A) $\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BA}$ đúng. B) $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}\ne \overrightarrow{BA}$, nên khẳng định này sai. C) $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BA}$ đúng. D) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}$ đúng. Vậy khẳng định sai là B, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 101, Câu 3: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, M là trung điểm AB, N là trung điểm AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC, do đó $\overrightarrow{MN}$ cùng hướng với $\overrightarrow{BC}$ (cùng đi từ trái sang phải). Kiểm tra các phương án: A) $\overrightarrow{MA}$ ngược hướng $\overrightarrow{AB}$ (M nằm giữa A và B) nên sai; B) $\overrightarrow{MN}$ cùng hướng $\overrightarrow{BC}$ nên ngược hướng $\overrightarrow{CB}$, sai; C) $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương, sai; D) $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng, đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Mã đề 101, Câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức tích vô hướng: $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \alpha$. Vì $\vec{a}\cdot \vec{b}=-|\vec{a}||\vec{b}|$ và $|\vec{a}||\vec{b}|\ne 0$ nên $\cos \alpha =-1$, suy ra $\alpha =180^{\circ }$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình thoi $ABCD$ ta có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ (không phải $\overrightarrow{CD}$), nên B sai. $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng phương nhưng khác hướng nên A sai. $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$ là hai vectơ trên hai đường chéo khác phương nên C sai. Vì $ABCD$ là hình thoi nên $AD=BC$ (các cạnh bằng nhau), do đó $\left|\overrightarrow{AD}\right|=AD=BC=\left|\overrightarrow{CB}\right|$. Vậy đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$ nên $O$ là trung điểm của $BD$, tức $\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OD}$. Do đó $\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OB}$. Mặt khác $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OB}$. Vậy $\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{DB}$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ có điểm đầu $D$ và điểm cuối $E$ được kí hiệu là $\overrightarrow{DE}$ (mũi tên hướng từ điểm đầu đến điểm cuối). Do đó đáp án đúng là D. Phương án A chỉ là đoạn thẳng $DE$, B là độ dài vectơ, C là vectơ ngược chiều.

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc hình bình hành tại đỉnh C: tổng $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}$ bằng vectơ đường chéo đi từ C, tức $\overrightarrow{CA}$. Cụ thể, vì ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}$, do đó $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CA}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cdot \cos \widehat{BAC}=10\cdot 12\cdot \cos 120^{\circ }=120\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-60$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DB}$ (đường chéo của hình vuông). Độ dài đường chéo hình vuông cạnh $\sqrt{2}$ là $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$. Vậy độ dài vectơ bằng $2$, khớp với đáp án nguồn (Câu 21, mã đề 0102: 2).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa tích vô hướng: $\vec{a}.\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos (\vec{a},\vec{b})$. Các phương án A, B chỉ đúng trong trường hợp đặc biệt (cùng hoặc ngược hướng), C dùng sin nên sai. Đáp án D, khớp với bảng đáp án mã đề 0102 (Câu 7: D).

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc hình bình hành (hoặc quy tắc tam giác với điểm phụ), ta có $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD}$ (vì $ABCD$ là hình vuông nên $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BD}$... chính xác hơn: $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$, do đó $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BD}$). Vậy độ dài cần tìm là độ dài đường chéo hình vuông cạnh $3\sqrt{2}$: $BD=3\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=6$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (6).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa tích vô hướng: $\vec{a}.\vec{b}=|\vec{a}|.|\vec{b}|.\cos \left(\vec{a},\vec{b}\right)$ với hai véc tơ khác $\vec{0}$. Các phương án A, C, D chỉ đúng trong trường hợp đặc biệt (cùng/ngược hướng hoặc vuông góc sai), không đúng tổng quát. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 0101 (Câu 3: B).

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$, tức $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$ nên C đúng. A sai vì $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$; B, D sai vì tổng $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ không bằng $\overrightarrow{BC}$ hay $\overrightarrow{CB}$. Khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$, hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, nên $O$ là trung điểm của $BD$ và của $AC$. Do đó $\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OD}$ (hai vectơ ngược hướng), nên đẳng thức $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OD}$ là sai. Các đẳng thức còn lại đều đúng: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ và $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ do tính chất hình bình hành; $\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC}$ do $O$ là trung điểm $AC$. Khớp với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, nên $O$ là trung điểm $AC$ và $BD$. Do đó $\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC}$ (C đúng) và $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{DO}$, tức $\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OD}$, nên $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OD}$ là sai. Các đẳng thức $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ và $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ đúng theo tính chất hình bình hành. Vậy đẳng thức sai là D, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định với ba điểm $A$, $B$, $C$ bất kỳ:
- A: $\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{CA}$ luôn đúng vì hai vectơ đối.
- B: $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}$ đúng theo quy tắc ba điểm (điểm $A$ nằm giữa hai đầu mút $B$, $C$ qua trung gian $A$).
- C: $\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}$, đúng.
- D: $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{AC}$, nói chung khác $\overrightarrow{BC}$ (ví dụ $A(0;0)$, $B(1;0)$, $C(0;1)$: $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA}=(-1;0)+(0;-1)=(-1;-1)\ne \overrightarrow{BC}=(-1;1)$). Vậy $D$ là khẳng định sai.
Kết quả trùng với đáp án nguồn: $D$.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức tích vô hướng: $\vec{a}.\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos (\vec{a},\vec{b})=4\cdot 5\cdot \cos 60^{\circ }=20\cdot \frac{1}{2}=10$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 0112, câu 2: C).