Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình vuông $MNPQ$ (các đỉnh theo thứ tự $M,N,P,Q$), $NP$ là một cạnh của hình vuông nên độ dài vectơ $\overrightarrow{NP}$ bằng độ dài cạnh $NP=8a$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{v}|\cos 120^{\circ }=5\cdot 10\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-25$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định: A sai vì $|\overrightarrow{AB}|=AB\ge 0$ (độ dài vectơ là số không âm, không thể bằng $-AB$). B sai vì $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BA}$ ngược hướng. C đúng vì mọi vectơ $\vec{0}$ đều có độ dài bằng 0. D sai vì vectơ là đại lượng có hướng, được biểu diễn bởi đoạn thẳng có hướng, không phải một đoạn thẳng. Vậy đáp án đúng là C, trùng với đáp án nguồn (Câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm của $AB$ nên $MA=MB=\frac{AB}{2}$ về độ dài. Xét các phương án: A sai vì $\overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{MB}$ (hai vecto đối nhau, không bằng nhau). B sai vì $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\vec{0}$ (tính chất trung điểm), không bằng $2\overrightarrow{MB}$. C sai vì $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}$, còn $\overrightarrow{BM}=-\overrightarrow{MB}$ nên $\overrightarrow{AM}\ne \overrightarrow{BM}$. D đúng vì $|\overrightarrow{MA}|=MA=\frac{|\overrightarrow{AB}|}{2}$. Khớp với đáp án nguồn là D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình vuông $ABCD$ (thứ tự đỉnh theo chiều), ta có $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$ (hai vectơ cùng phương, cùng hướng, cùng độ dài). Do đó $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AB}=\vec{0}$, là vectơ-không. Các phương án khác: $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ là vectơ khác không; $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD}$ với hình vuông cạnh $a$ có hai vectơ vuông góc nên độ dài $a\sqrt{2}\ne 0$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$ theo quy tắc trừ vectơ (hai vectơ cùng xuất phát từ $A$). Đáp án trùng với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình vuông $ABCD$, ta có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ (vì $AB\parallel DC$ và cùng chiều, cùng độ dài). Do đó $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}$ là vecto-không. Các phương án khác: $\overrightarrow{AB}\ne \vec{0}$, $\overrightarrow{AC}\ne \vec{0}$, và $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD}$: đặt hệ trục $A(0;0),B(1;0),C(1;1),D(0;1)$ thì $\overrightarrow{AC}=(1;1)$, $\overrightarrow{BD}=(-1;1)$, hiệu là $(2;0)\ne \vec{0}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm của $AB$ nên $MA=MB=\frac{AB}{2}$ về độ dài. Xét từng khẳng định: A sai vì $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$ ngược hướng nên $\overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{MB}$. B sai vì $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\vec{0}$ (tính chất trung điểm), không bằng $2\overrightarrow{MB}$. C sai vì $\overrightarrow{AM}=-\overrightarrow{BM}$ (hai vectơ ngược hướng). D đúng vì $\left|\overrightarrow{MA}\right|=MA=\frac{AB}{2}=\frac{\left|\overrightarrow{AB}\right|}{2}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định: A sai vì độ dài vectơ $|\overrightarrow{AB}|=AB\ge 0$, không thể bằng $-AB$ (với $AB>0$). B sai vì hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BA}$ ngược hướng (cùng nằm trên đường thẳng qua A, B nhưng chiều ngược nhau). C đúng vì mọi vectơ $\vec{0}$ đều có độ dài bằng 0, nên hai vectơ $\vec{0}$ (dù cùng hay khác điểm gốc) có cùng độ dài bằng 0. D sai vì vectơ là đại lượng có hướng (định hướng bởi đoạn thẳng có hướng), không phải là một đoạn thẳng. Vậy khẳng định đúng là C, trùng với đáp án nguồn (Câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc hiệu hai vectơ: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$. Đáp án trùng với đáp án nguồn (Câu 7: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{AB}=-3\overrightarrow{AC}$ suy ra $\overrightarrow{BA}=3\overrightarrow{AC}$. Khi đó $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}=4\overrightarrow{AC}$. Vậy đẳng thức đúng là $\overrightarrow{BC}=4\overrightarrow{AC}$, tương ứng phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì I là trung điểm của BC nên I nằm giữa B và C với BI = IC, do đó hai vectơ $\overrightarrow{BI}$ và $\overrightarrow{IC}$ cùng hướng và có độ dài bằng nhau: $\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{IC}$. Vậy khẳng định đúng là phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\vec{a}=-3\vec{b}$, hệ số tỉ lệ $k=-3<0$ nên hai vectơ ngược hướng, và $|\vec{a}|=|-3||\vec{b}|=3|\vec{b}|$. A sai vì độ dài vectơ không thể âm; B sai vì hai vectơ ngược hướng; D đúng một phần (hai vectơ ngược hướng thì giá song song) nhưng C là khẳng định đầy đủ và chính xác nhất. Đáp án: C.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác đều ABC cạnh 4a nên $\widehat{BAC}=60^{\circ }$, $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}|=4a$. Do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=4a\cdot 4a\cdot \cos 60^{\circ }=16a^2\cdot \frac{1}{2}=8a^2$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos (\vec{a};\vec{b})=5\cdot 9\cdot \cos 30^{\circ }=45\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{45\sqrt{3}}{2}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình vuông $ABCD$, hai cạnh $AB$ và $AD$ vuông góc với nhau nên góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$ bằng $90^{\circ }$. Do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AD}|\cos 90^{\circ }=a\cdot a\cdot 0=0$. Vậy đáp án D, trùng với bảng đáp án (mã đề 102, câu 1: D).

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng vectơ: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}$. Vậy đáp án A, khớp với bảng đáp án (mã đề 102, câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Đếm theo lưới ô vuông (mỗi ô 1 cm) trên hình: vectơ $\overrightarrow{AB}$ nằm ngang với độ dài 4 ô nên $\left|\overrightarrow{AB}\right|=4$ cm; vectơ $\overrightarrow{CD}$ thẳng đứng với độ dài 3 ô nên $\left|\overrightarrow{CD}\right|=3$ cm. Do đó $\left|\overrightarrow{AB}\right|+\left|\overrightarrow{CD}\right|=4+3=7$ (cm), trùng với đáp án của đề (mã đề 102, Câu 3 = 7).

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng vectơ: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}$. Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình ảnh trận kéo co, hai lực kéo $\overrightarrow{F_1}$ (bên trái, mũi tên dài hơn) và $\overrightarrow{F_2}$ (bên phải, mũi tên ngắn hơn) nằm trên cùng một đường thẳng nhưng ngược hướng và có độ lớn khác nhau.
a) Sai: hai vecto đối nhau phải cùng độ lớn; ở đây $|\overrightarrow{F_1}|\ne |\overrightarrow{F_2}|$ nên chúng không đối nhau.
b) Đúng: hai vecto ngược hướng nên $(\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2})=180^{\circ }$.
c) Đúng: mũi tên của $\overrightarrow{F_1}$ dài hơn nên độ lớn lực kéo của lớp 10A8 lớn hơn.
d) Sai: vì góc giữa hai vecto bằng $180^{\circ }$ nên $\overrightarrow{F_1}\cdot \overrightarrow{F_2}=|\overrightarrow{F_1}||\overrightarrow{F_2}|\cos 180^{\circ }=-|\overrightarrow{F_1}||\overrightarrow{F_2}|<0$. Kết quả khớp với đáp án của đề (mã 101, Câu 2: a)S - b)Đ - c)Đ - d)S).
a) (AI giải đề cho tôi)
Hai vecto đối nhau cần ngược hướng và cùng độ lớn. Từ hình, $|\overrightarrow{F_1}|\ne |\overrightarrow{F_2}|$ nên hai vecto không đối nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hai lực kéo nằm trên cùng đường thẳng và ngược hướng nên $(\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2})=180^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Mũi tên biểu diễn $\overrightarrow{F_1}$ (lớp 10A8) dài hơn mũi tên của $\overrightarrow{F_2}$, nên độ lớn lực kéo của lớp 10A8 lớn hơn.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{F_1}\cdot \overrightarrow{F_2}=|\overrightarrow{F_1}||\overrightarrow{F_2}|\cos 180^{\circ }=-|\overrightarrow{F_1}||\overrightarrow{F_2}|<0$.