Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2, Phần II (mã đề 1001): a) $\overrightarrow{BC}=C-B=(-1-5;2-3)=(-6;-1)$, không phải $(6;1)$ → Sai. b) $M$ đối xứng với $A(3;-2)$ qua $B(5;3)$: $M=2B-A=(10-3;6+2)=(7;8)$ → Đúng. c) $|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{(-6{)}^2+(-1{)}^2}=\sqrt{37}$ → Đúng. d) Tại $B$: $\overrightarrow{BA}=A-B=(-2;-5)$, $\overrightarrow{BC}=(-6;-1)$, $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=12+5=17>0$ nên $\widehat{ABC}<90^0$ là góc nhọn, không phải góc tù → Sai. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1001: a) S, b) Đ, c) Đ, d) S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BC}=C-B=(-6;-1)$, không phải $(6;1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$M=2B-A=(7;8)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{36+1}=\sqrt{37}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=17>0$ nên $\widehat{ABC}$ là góc nhọn.

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc hình bình hành (định lí cosin cho tam giác tạo bởi hai lực và hợp lực): $|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}{|}^2=|\overrightarrow{F_1}{|}^2+|\overrightarrow{F_2}{|}^2+2|\overrightarrow{F_1}||\overrightarrow{F_2}|\cos 45^{\circ }=100^2+100^2+2\cdot 100\cdot 100\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=20000+10000\sqrt{2}\approx 34142,14$. Vậy $|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}|\approx \sqrt{34142,14}\approx 184,8\approx 185$ N. Kết quả trùng với đáp án nguồn (185).

a) Ta có $\overrightarrow{AB}=(-3;4)$, $\overrightarrow{BC}=(-1;0)$.
Suy ra $\vec{u}=\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{BC}=(-1;4)$.

b) Gọi $M(a;b)$.
Ta có $\overrightarrow{MA}=(3-a;-2-b)$, $\overrightarrow{MC}=(-1-a;2-b)$.
Suy $2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MC}=(7-a;-6-b)$.
Vì $2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{BC}$ nên $\{\begin{array}{l}7-a=-1\\ -6-b=4\end{array}$. Suy ra $\{\begin{array}{l}a=8\\ b=-10\end{array}$.
Vậy $M(8;-10)$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC đều cạnh $a$, góc tại B bằng $60^{\circ }$ nên góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ là góc ngoài tại B bằng $120^{\circ }$. Do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=|AB|\cdot |BC|\cdot \cos 120^{\circ }=a\cdot a\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{a^2}{2}$. Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề với ba điểm phân biệt O, M, N:
- A: $\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$ không bằng $2\overrightarrow{MN}$ (ví dụ lấy M, N tùy ý, vế trái phụ thuộc O). Sai.
- B: $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}$ nên $\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{ON}=-\overrightarrow{OM}\ne \overrightarrow{OM}$. Sai.
- C: $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{NM}$ nên $\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{NM}$. Đúng.
- D: $\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OM}$ không bằng $\overrightarrow{MN}$. Sai.
Vậy mệnh đề đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Trong lục giác đều ABCDEF, các cạnh song song theo cặp là AB∥DE, BC∥EF, CD∥FA, nên các vecto CD, AF, BC không cùng phương với AB. Xét đường chéo FC: đặt hệ tọa độ với A(1;0), B(1/2;√3/2), C(−1/2;√3/2), F(1/2;−√3/2) thì AB = (−1/2; √3/2) và FC = C − F = (−1; √3) = 2·AB. Vậy FC cùng phương (cùng hướng) với AB. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{MC}$ nên $M$ nằm trên đoạn $BC$ với $MB:MC=3:1$, tức $M$ gần $C$ hơn. Ta có $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CM}$ và $\overrightarrow{MC}=-\overrightarrow{CM}$, suy ra $\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CM}=-3\overrightarrow{CM}\Rightarrow \overrightarrow{CB}=-2\overrightarrow{CM}$, vậy $\overrightarrow{CM}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$. Do đó $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}$. Vậy $x=-\frac{1}{2}$, $y=\frac{3}{2}$ và $x-y=-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}=-2$.

(AI giải đề cho tôi)
Vật đứng yên nên $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\vec{0}$, suy ra $|\overrightarrow{F_3}|=|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}|$. Vì $\widehat{AMB}=90^{\circ }$ nên theo quy tắc hình bình hành: $|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}|=\sqrt{|\overrightarrow{F_1}{|}^2+|\overrightarrow{F_2}{|}^2}=\sqrt{60^2+60^2}=60\sqrt{2}\approx 84,85N$. Vậy cường độ lực $\overrightarrow{F_3}$ bằng $60\sqrt{2}N$.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng $\overrightarrow{CB}\cdot \overrightarrow{CA}=CB\cdot CA\cdot \cos \widehat{ACB}=4\sqrt{2}\cdot 6\cdot \cos 45^{\circ }=4\sqrt{2}\cdot 6\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=24$. Đáp án D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 12: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hình vuông ABCD cạnh 6, tâm O. Chọn hệ tọa độ A(0;0), B(6;0), C(6;6), D(0;6), O(3;3).
a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\ne \overrightarrow{AD}$ → Sai.
b) $\overrightarrow{AO}$ cùng hướng với $\overrightarrow{AC}$ (đường chéo), nên $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AO})=(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=45^{\circ }$ → Đúng.
c) $\overrightarrow{BA}=(-6;0)$, $\overrightarrow{DO}=(3;-3)$, tích vô hướng $=-18+0=-18$ → Đúng.
d) $\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC}=(0;6)+(0;6)=(0;12)$, độ dài bằng 12, không bằng $6\sqrt{3}$ → Sai.
Kết quả khớp đáp án nguồn (SĐĐS).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\ne \overrightarrow{AD}$, nên sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AO}$ cùng hướng $\overrightarrow{AC}$ trên đường chéo, góc với $\overrightarrow{AB}$ bằng $45^{\circ }$, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ A(0;0), B(6;0), D(0;6), O(3;3): $\overrightarrow{BA}=(-6;0)$, $\overrightarrow{DO}=(3;-3)$, tích $=-18$, đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC}=(0;12)$ có độ dài 12, sai.

(AI giải đề cho tôi)
Lực tổng hợp $\vec{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$. Ta có $|\overrightarrow{F_1}|=127$, $|\overrightarrow{F_2}|=195$, góc $\widehat{AMB}=60^{\circ }$. Tính bình phương độ lớn: $|\vec{F}{|}^2=|\overrightarrow{F_1}{|}^2+|\overrightarrow{F_2}{|}^2+2\overrightarrow{F_1}\cdot \overrightarrow{F_2}=127^2+195^2+2\cdot 127\cdot 195\cdot \cos 60^{\circ }=16129+38025+24765=78919$. Vậy $|\vec{F}|=\sqrt{78919}\approx 280,9\approx 281$ (N). Kết quả khớp với đáp án nguồn (281).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, ba điểm M, P, N thẳng hàng theo thứ tự M - P - N; đoạn MN được chia thành 5 phần bằng nhau và P cách M đúng 3 phần (cách N 2 phần). Do đó $MP=\frac{3}{5}MN$ và hai vectơ cùng hướng, nên $\overrightarrow{MP}=\frac{3}{5}\overrightarrow{MN}$. Kiểm tra các phương án khác: A sai vì $\overrightarrow{MN}=\frac{5}{3}\overrightarrow{MP}$; B sai vì $\overrightarrow{MP}=\frac{3}{2}\overrightarrow{PN}$ (cùng hướng, không phải $-3\overrightarrow{PN}$); D sai vì hệ số phải là $\frac{3}{5}$ chứ không phải $\frac{3}{2}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, ba điểm I, A, B thẳng hàng theo thứ tự I — A — B, với đoạn AB gấp 3 lần đoạn IA (trên hình, từ A đến B gồm 3 đoạn nhỏ bằng nhau, mỗi đoạn bằng IA). Khi đó vectơ AB cùng hướng với vectơ IB nhưng ngược hướng với vectơ AI (vì AI hướng từ A về phía I, còn AB hướng từ A về phía B, I và B nằm khác phía đối với A) và độ dài $AB=3\cdot IA$. Vậy $\overrightarrow{AB}=-3\overrightarrow{AI}$. Kiểm tra các phương án khác: A sai vì $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AI}$ ngược hướng; B sai vì $-3\overrightarrow{IA}=3\overrightarrow{AI}\ne \overrightarrow{AB}$; C sai vì $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ sai hướng (đúng phải là $\overrightarrow{AI}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$). Kết quả trùng với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Hình vuông $ABCD$ cạnh 4, tâm $O$.
a) Theo quy tắc hình bình hành tại $B$: $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD}$, đúng.
b) Góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ là góc $BAC=45^{\circ }$ (đường chéo hình vuông), không phải $30^{\circ }$, sai.
c) Tọa độ $A(0,0)$, $B(4,0)$, $C(4,4)$, $O(2,2)$: $\overrightarrow{AB}=(4,0)$, $\overrightarrow{CO}=(-2,-2)$, tích vô hướng $=-8\ne -16$, sai.
d) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=(8,4)$, độ lớn $=\sqrt{64+16}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$, đúng.
Khớp đáp án ĐSSĐ của mã đề 1001.
a) Quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD}$.
b) $\overrightarrow{AC}$ là đường chéo hình vuông nên góc $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=45^{\circ }$, không phải $30^{\circ }$.
c) Với $A(0,0)$, $B(4,0)$, $C(4,4)$, $O(2,2)$: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CO}=(4,0)\cdot (-2,-2)=-8\ne -16$.
d) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=(8,4)$, $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$.

Ta có $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}$. (0,25 điểm)

Vì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}=\vec{b}-\vec{a}$ và $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\frac{1}{2}\vec{c}$ nên $\overrightarrow{AM}=-\vec{a}+\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}$. (0,25 điểm)

Ta có $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}$. (0,25 điểm)

Vì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}=\vec{b}-\vec{a}$ và $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\frac{1}{2}\vec{c}$ nên $\overrightarrow{AM}=-\vec{a}+\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}$. (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC vuông tại A, AB = a, BC = 2a nên AC = √(BC² − AB²) = √(4a² − a²) = a√3.
a) cos C = AC/BC = (a√3)/(2a) = √3/2 ⇒ C = 30°, không phải 60° ⇒ sai.
b) BA·BC = |BA||BC|cos B với cos B = AB/BC = 1/2 ⇒ BA·BC = a·2a·(1/2) = a² ⇒ đúng.
c) BC·CA = |BC||CA|cos C = 2a·a√3·(√3/2) = 3a² ⇒ đúng.
d) AB·BC = −BA·BC = −a²; BC·CA = 3a²; CA·AB = |CA||AB|cos 90° = 0. Tổng = −a² + 3a² + 0 = 2a² ≠ −4a² ⇒ sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
cos C = AC/BC = (a√3)/(2a) = √3/2 ⇒ C = 30° ≠ 60°, khẳng định sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
BA·BC = |BA||BC|cos B = a·2a·(1/2) = a², khẳng định đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
BC·CA = 2a·a√3·cos30° = 2a·a√3·(√3/2) = 3a², khẳng định đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
AB·BC = −a², BC·CA = 3a², CA·AB = 0 (vuông tại A). Tổng = 2a² ≠ −4a², khẳng định sai.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh hình vuông là $a$. Ta có $\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}$, nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BA}=0-a^2=-a^2$ (vì $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{CB}$ và $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BA}=-|AB{|}^2$). Do đó $\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CA}\right)=\frac{-a^2}{|AB|\cdot |CA|}=\frac{-a^2}{a\cdot a\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$. Tam giác ABC vuông cân tại A với $AB=AC=a$ nên $BC=a\sqrt{2}$. Vậy $|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|=BC=a\sqrt{2}$, trùng với đáp án D của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Lực tổng hợp là $\vec{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$. Vì $\widehat{AMB}=90^{\circ }$ nên hai lực vuông góc nhau, theo định lý Pythagoras: $|\vec{F}|=\sqrt{40^2+30^2}=\sqrt{1600+900}=\sqrt{2500}=50$ N. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 3: 50).