Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos 150^{\circ }=3\cdot 4\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-6\sqrt{3}$, nên a) đúng. b) $(\vec{a}+\vec{b})\cdot (\vec{a}-\vec{b})=|\vec{a}{|}^2-|\vec{b}{|}^2=9-16=-7\ne 7$, sai. c) $(3\vec{a}+\vec{b})\cdot (\vec{a}-2\vec{b})=3|\vec{a}{|}^2-6\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{a}\cdot \vec{b}-2|\vec{b}{|}^2=27-5(-6\sqrt{3})-32=-5+30\sqrt{3}$, đúng. d) sai vì giá trị đúng là $-5+30\sqrt{3}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{a}\cdot \vec{b}=3\cdot 4\cos 150^{\circ }=12\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-6\sqrt{3}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(\vec{a}+\vec{b})\cdot (\vec{a}-\vec{b})=|\vec{a}{|}^2-|\vec{b}{|}^2=9-16=-7\ne 7$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$(3\vec{a}+\vec{b})\cdot (\vec{a}-2\vec{b})=27-5\vec{a}\cdot \vec{b}-32=-5+30\sqrt{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị đúng là $-5+30\sqrt{3}$, không phải $5+30\sqrt{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ đều, góc $A=B=C=60^{\circ }$, $AH$ là đường cao nên $AH\perp BC$.

a) Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ bằng góc $BAC=60^{\circ }$, không phải $30^{\circ }$ → sai.

b) $AH\perp BC$ mà $\overrightarrow{CB}$ cùng phương với $\overrightarrow{BC}$ nên góc giữa $\overrightarrow{AH}$ và $\overrightarrow{CB}$ bằng $90^{\circ }$ → đúng.

c) Góc giữa $\overrightarrow{CA}$ và $\overrightarrow{CB}$ bằng góc $ACB=60^{\circ }$; vì $\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{CB}$ nên góc giữa $\overrightarrow{CA}$ và $\overrightarrow{BC}$ bằng $180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$ → đúng.

d) Góc giữa $\overrightarrow{AH}$ và $\overrightarrow{BA}$: tại $B$, góc giữa $BH$ (cùng hướng $AH$) và $BA$ là góc $ABH=30^{\circ }$, nhưng $\overrightarrow{BA}$ ngược hướng với $\overrightarrow{BH}$... tính trực tiếp: góc giữa $\overrightarrow{AH}$ (hướng từ $A$ xuống $H$) và $\overrightarrow{BA}$ (hướng từ $B$ lên $A$) bằng $180^{\circ }-30^{\circ }=150^{\circ }$, không phải $130^{\circ }$ → sai.

a) Góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ bằng góc $BAC=60^{\circ }$ (tam giác đều), không phải $30^{\circ }$.

b) $AH$ là đường cao nên $AH\perp BC$; $\overrightarrow{CB}$ cùng phương $\overrightarrow{BC}$ nên góc giữa $\overrightarrow{AH}$ và $\overrightarrow{CB}$ bằng $90^{\circ }$.

c) Góc giữa $\overrightarrow{CA}$ và $\overrightarrow{CB}$ bằng $60^{\circ }$; do $\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{CB}$ nên góc giữa $\overrightarrow{CA}$ và $\overrightarrow{BC}$ bằng $180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$.

d) Góc giữa $\overrightarrow{AH}$ và $\overrightarrow{BA}$ bằng $180^{\circ }-$ góc $ABH=180^{\circ }-30^{\circ }=150^{\circ }$, không phải $130^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục: $A(0;0),B(a;0),C(a;a),D(0;a)$, suy ra $M(a/2;0),O(a/2;a/2)$.
a) $\overrightarrow{AB}=(a;0)$, $\overrightarrow{CA}=(-a;-a)$ nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CA}=-a^2\ne a^2$ → sai.
b) $\overrightarrow{AM}=(a/2;0)$, $\overrightarrow{AC}=(a;a)$ nên $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{AC}=a^2/2\ne a^2/3$ → sai.
c) $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BD}=(0;a)\cdot (-a;a)=a^2$; $\overrightarrow{OM}=(0;-a/2)$, $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{AC}=-a^2/2$; tổng bằng $a^2/2$ → đúng.
d) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=(a;a)$; $\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC}=(-a;a)+(0;a)=(-a;2a)$; tích vô hướng $=-a^2+2a^2=a^2$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CA}=(a;0)\cdot (-a;-a)=-a^2\ne a^2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{AC}=(a/2;0)\cdot (a;a)=a^2/2\ne a^2/3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BD}=a^2$ và $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{AC}=-a^2/2$, tổng bằng $a^2/2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})\cdot (\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC})=(a;a)\cdot (-a;2a)=a^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0)$, $B(8;0)$, $D(0;6)$, $C(4;6)$ (vì $AB\parallel CD$, $AD\perp AB$). Trung điểm $I$ của $AD$ là $I(0;3)$.
Suy ra $\overrightarrow{IA}=(0;-3)$, $\overrightarrow{IB}=(8;-3)$, nên $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=(8;-6)$.
Ta có $\overrightarrow{ID}=(0;3)$.
Do đó $(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB})\cdot \overrightarrow{ID}=8\cdot 0+(-6)\cdot 3=-18$.
Kết quả khớp với đáp số $-18$ của nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AM}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2}$. Tam giác vuông tại $A$ nên $\overrightarrow{BA}\perp \overrightarrow{AC}$, do đó $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{AC}=0$. Khi đó: $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{AC}\right)=\frac{1}{2}\left(-A{B}^2+0\right)=\frac{1}{2}(-1)=-0,5$. Kết quả khớp đáp số nguồn $-0,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{CA}=A-C=(1;-1)$, $\overrightarrow{CB}=B-C=(-1;0)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=1\cdot (-1)+(-1)\cdot 0=-1$. Độ dài: $|\overrightarrow{CA}|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$, $|\overrightarrow{CB}|=\sqrt{1+0}=1$. Vậy $\cos \widehat{ACB}=\frac{-1}{\sqrt{2}\cdot 1}=\frac{-\sqrt{2}}{2}\approx -0,7$. Kết quả trùng với đáp số $-0,7$ của nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{MB}$. Do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB})\cdot (\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{MB})=A{M}^2-M{B}^2=A{M}^2-{\left(\frac{BC}{2}\right)}^2=A{M}^2-\frac{1}{4}B{C}^2$. Vậy $k=\frac{1}{4}=0,25$, khớp với đáp số nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$, $N$, $D$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AC$, $BC$ nên $\overrightarrow{DN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$ (định lý trung tuyến dạng vecto: $\overrightarrow{DN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB})=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$). Do đó các vecto đối của $\overrightarrow{DN}$ là các vecto cùng phương, ngược hướng và cùng độ dài $\frac{1}{2}AB$, tức là $\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$: $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{MB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$, và $\overrightarrow{ND}=-\overrightarrow{DN}$. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0,0)$, $B(1,0)$, $D(0,1)$, suy ra $C(1,1)$, $M$ trung điểm $DC$ là $(0,5;1)$, $N$ trung điểm $AB$ là $(0,5;0)$.

A) $\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{NB}$: $\overrightarrow{DM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{NB}$ (vì $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$ trong hình bình hành). Vậy A đúng.

B) $P$ là giao của $AM$ và $DB$: đường $AM$ đi qua $A(0,0)$ và $M(0,5;1)$; đường $DB$ đi qua $D(0,1)$, $B(1,0)$, có phương trình $x+y=1$. Đường $AM$: $y=2x$, thay vào: $3x=1\Rightarrow x=1/3$? Kiểm tra lại: $M(0,5;1)$ nên $y=2x$, giao với $x+y=1$: $3x=1$, $x=1/3$, $y=2/3$. Tương tự $Q$ là giao của $CN$ (từ $C(1,1)$ đến $N(0,5;0)$, phương trình $y=2x-1$) với $DB$: $3x=2$, $x=2/3$, $y=1/3$.

Vậy $P(1/3;2/3)$, $Q(2/3;1/3)$, $P\ne Q$. Trên $DB$: $D(0,1)\to P(1/3;2/3)\to Q(2/3;1/3)\to B(1,0)$, thực ra $\overrightarrow{DP}=\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{QB}=(1/3;-1/3)$ đều bằng nhau! Kiểm tra: $\overrightarrow{DP}=(1/3,-1/3)$, $\overrightarrow{PQ}=(1/3,-1/3)$, $\overrightarrow{QB}=(1/3,-1/3)$. Vậy B cũng đúng.

Suy ra cả A và B đều đúng, đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{DA}$ nên $\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{AD}$, tức khẳng định A đúng. Xét $\overrightarrow{DI}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DA}$, còn $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DA}+3\overrightarrow{DC}$ (do $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{DC}$). Hai vecto này không bằng nhau, nên B sai. Vậy đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm $AB$ nên $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$. Tương tự $\overrightarrow{ON}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})$, $\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$. Cộng lại: $\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}\left(2\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}\right)=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$. Vậy mệnh đề đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng đẳng thức với 4 điểm $M,N,P,Q$ bất kì.

A: $\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{NQ}$, còn $\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{MN}$ không rút gọn được thành một vecto cố định. Không luôn đúng.

B: Vế trái $\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MP}$ (giao hoán, quy tắc ba điểm). Vế phải $\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{QP}=\overrightarrow{MP}$. Hai vế cùng bằng $\overrightarrow{MP}$, luôn đúng.

C: Thử với $M=(0;0),N=(1;0),P=(0;1),Q=(1;1)$: vế trái $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PQ}=(1;0)+(1;0)=(2;0)$; vế phải $\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{MQ}=(-1;1)+(1;1)=(0;2)$. Khác nhau, nên C không luôn đúng.

D: Chuyển vế: $\overrightarrow{NM}-\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MQ}-\overrightarrow{QP}$, tức $\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{MP}$, chỉ đúng khi $M=P$. Không luôn đúng.

Vậy đẳng thức luôn đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng đẳng thức (dùng quy tắc ba điểm, có thể kiểm tra bằng cách đặt các điểm trên trục số).
A: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DF}+\overrightarrow{FA}=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{FA}=\vec{0}$ → đúng.
B: $\overrightarrow{BE}-\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{CF}-\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{CF}+\overrightarrow{FB}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB}=\vec{0}$ → đúng.
C: $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}-(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CD})=(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{CD})+(\overrightarrow{BE}-\overrightarrow{AE})+(\overrightarrow{CF}-\overrightarrow{BF})=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB}=\vec{0}$ → đúng.
D: $\overrightarrow{FD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{AC}-(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{CF})=(\overrightarrow{FD}-\overrightarrow{BD})+(\overrightarrow{BE}-\overrightarrow{AE})+(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{CF})=\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{BA}+(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{CF})=\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{FC}-\overrightarrow{CF}=2\overrightarrow{FC}\ne \vec{0}$ (vì $F\ne C$). Kiểm tra bằng tọa độ: đặt $A=0,B=1,C=2,D=3,E=4,F=5$ thì vế trái $=-2+3+2=3$, vế phải $=2+4+3=9$, không bằng nhau. Vậy đẳng thức D sai.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$, do đó vế phải bằng $\vec{0}$. Phương trình trở thành $\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}-\overrightarrow{NA}=\vec{0}$, tức $\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}=\overrightarrow{NA}$. Chọn gốc $A$: gọi $\vec{b}=\overrightarrow{AB},\vec{d}=\overrightarrow{AD},\vec{n}=\overrightarrow{AN}$. Khi đó $\overrightarrow{NC}=\vec{b}+\vec{d}-\vec{n}$, $\overrightarrow{ND}=\vec{d}-\vec{n}$, $\overrightarrow{NA}=-\vec{n}$. Phương trình: $(\vec{b}+\vec{d}-\vec{n})+(\vec{d}-\vec{n})=-\vec{n}\Rightarrow \vec{b}+2\vec{d}-2\vec{n}=0\Rightarrow \overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$. Suy ra $\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AB}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{BC}$ (vì $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$). Vậy $\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BN}$, tức điểm $C$ là trung điểm cạnh $BN$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng khẳng định với quy tắc ba điểm $\overrightarrow{XY}+\overrightarrow{YZ}=\overrightarrow{XZ}$ và $\overrightarrow{XY}=-\overrightarrow{YX}$. A: $\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}\ne \overrightarrow{BC}$, sai. B: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ không rút gọn được thành $\overrightarrow{BC}$ (đúng phải là $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$), sai. C: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$, đúng. D: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}$... tính lại: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}$; dùng $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}$ nên $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{CB}\ne \overrightarrow{CA}$, sai. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $I$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GI}$ (tính chất trung điểm). Do đó C đúng. Kiểm tra các phương án khác: $G$ nằm trên trung tuyến $AI$ với $AG=2GI$ và $G$ giữa $A,I$ nên $\overrightarrow{GA}=-2\overrightarrow{GI}$ (A sai); $\overrightarrow{IG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{IA}$ nên B sai; $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GI}=-\overrightarrow{GA}\ne \overrightarrow{GA}$ nên D sai.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$ ta có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. Xét $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})+(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD})=\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}$. Vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}=\vec{0}$ nên $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{BC}$. Vậy khẳng định A đúng. Các phương án khác sai: B sai vì $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}\ne \overrightarrow{AB}$; C sai vì $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{BC}=-2\overrightarrow{DA}\ne 2\overrightarrow{CD}$; D sai vì $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\ne \overrightarrow{CD}$ (ví dụ với $A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1)$ thì $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=(2,1)\ne (1,0)=\overrightarrow{CD}$).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{a}=\overrightarrow{BC}$ và $\vec{b}=\overrightarrow{AC}$ không cùng phương (lần lượt cùng phương với hai cạnh khác phương $BC$ và $AC$ của tam giác), nên hai vectơ $x\vec{a}+y\vec{b}$ và $x^{\prime }\vec{a}+y^{\prime }\vec{b}$ cùng phương khi và chỉ khi $\frac{x}{x^{\prime }}=\frac{y}{y^{\prime }}$. Xét từng đáp án: A: $\frac{2}{1}\ne \frac{1}{2}$ nên không cùng phương. B: $\frac{1}{2}\ne \frac{-2}{-1}=2$ nên không cùng phương. C: $-10\vec{a}-2\vec{b}=-2(5\vec{a}+\vec{b})$, nên hai vectơ cùng phương (ngược hướng). D: $\frac{1}{1}\ne \frac{1}{-1}$ nên không cùng phương. Vậy đáp án đúng là C, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $\hat{B}=50^{\circ }$ nên $\hat{C}=40^{\circ }$.
- A: $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})=180^{\circ }-\hat{B}=130^{\circ }$, đúng.
- B: $(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AC})=\hat{C}=40^{\circ }$, đúng.
- C: $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CB})=\hat{B}=50^{\circ }$, đúng.
- D: $(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB})=180^{\circ }-\hat{C}=140^{\circ }\ne 120^{\circ }$, nên khẳng định D sai.
Vậy khẳng định sai là D.