Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$ (đoạn $AB$ song song, bằng và cùng hướng với $DC$... xét $\overrightarrow{BA}$: từ $B$ đến $A$ cùng hướng với từ $C$ đến $D$). Vậy a) Đúng.
b) $\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{CB}$ và $\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AD}$. Vì $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{CB}$ nên hai vế đối nhau, không bằng nhau. Vậy b) Sai.
c) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}$ (quy tắc hiệu), không phải $\overrightarrow{BD}$. Vậy c) Sai.
d) $\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AC}$. Hai vế cùng bằng $\overrightarrow{AC}$. Vậy d) Đúng.
Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$ vì $ABCD$ là hình bình hành ($AB\parallel CD$, $AB=CD$ và cùng hướng từ $B\to A$ tương ứng $C\to D$).
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{CB}$, còn $\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{CB}$. Hai vế đối nhau nên sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc hiệu, $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}\ne \overrightarrow{BD}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AC}$, hai vế bằng nhau nên đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Hình thang cân $ABCD$ có $AB\parallel CD$, $AB=2AD=2CD$, $E$ là trung điểm $AB$. Đặt $AD=CD=a$ thì $AB=2a$, $AE=EB=a$.
a) Vì $AB\parallel CD$ và $AB=2CD$ nên $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{DC}$ (cùng hướng do $\overrightarrow{DC}$ ngược chiều $\overrightarrow{CD}$). Đúng.
b) $E$ là trung điểm $AB$ nên với đỉnh $C$: $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CE}$. Đúng.
c) $AE\parallel DC$ và $AE=CD=a$ nên tứ giác $AECD$ là hình bình hành, do đó $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{EC}$. Đúng.
d) Trong hình bình hành $AECD$: $\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AE}$. Mặt khác hình thang cân cho $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DC}$, suy ra $\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{EB}$. Vì $\overrightarrow{EB}$ cùng hướng $\overrightarrow{DC}$ và $EB=DC=a$ nên $\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{EB}=\vec{0}$, tức $\overrightarrow{DE}=-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CB}$, không phải $-\overrightarrow{CB}$. Sai.
Đối chiếu đáp án nguồn (trang 9, Mã đề 1003, Phần II Câu 3): a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S — khớp hoàn toàn với kết quả giải độc lập.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $AB\parallel CD$ và $AB=2CD$ nên $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{DC}$ (cùng hướng).
b) (AI giải đề cho tôi)
$E$ là trung điểm $AB$ nên $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CE}$ (tính chất trung điểm).
c) (AI giải đề cho tôi)
$AE\parallel DC$ và $AE=CD=\frac{1}{2}AB$ nên $AECD$ là hình bình hành, suy ra $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{EC}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ hình bình hành $AECD$ và tính chất hình thang cân suy ra $\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{CB}$, do đó $\overrightarrow{DE}=-\overrightarrow{CB}$ là sai.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ thuộc đoạn $BC$ với $MB=2MC$ nên $\overrightarrow{CM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})=\frac{1}{3}\vec{u}-\frac{1}{3}\vec{v}$. Vậy $m=\frac{1}{3}$, $n=-\frac{1}{3}$, do đó $m+n=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\left|\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}\right|}^2=\frac{1}{4}|\overrightarrow{AB}{|}^2+4|\overrightarrow{AC}{|}^2+2\cdot \frac{1}{2}\cdot 2\cdot \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\frac{1}{4}+4+2\cos 60^{\circ }=\frac{1}{4}+4+1=\frac{21}{4}$. Vậy độ dài bằng $\sqrt{\frac{21}{4}}=\frac{\sqrt{21}}{2}\approx 2,29$.

(AI giải đề cho tôi)
Vật đứng yên nên $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{0}$, suy ra $\overrightarrow{F_3}=-(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2})$. Do đó $|\overrightarrow{F_3}|=|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}|$. Ta có $\widehat{AMB}=60^{\circ }$ nên $\widehat{F_1{F}_2}=60^{\circ }$ và $|\overrightarrow{F_1}|=|\overrightarrow{F_2}|=40$ N. Khi đó $|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}{|}^2=40^2+40^2+2\cdot 40\cdot 40\cos 60^{\circ }=1600+1600+1600=4800$, nên $|\overrightarrow{F_3}|=\sqrt{4800}=40\sqrt{3}\approx 69,28\approx 69$ N.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp lại các vectơ: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\vec{0}$. Vậy đáp án đúng là C, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 1003, Câu 9: C).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $O$ là tâm hình vuông $ABCD$ nên $O$ là trung điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$. Do đó $\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{OC}$, suy ra $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\vec{0}$. Vậy khẳng định đúng là phương án D, khớp với đáp án chính thức (Mã đề 1001, Câu 10: D).
Kiểm tra các phương án còn lại:
- A: $O$ không là trung điểm của $AB$ nên $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\ne \vec{0}$, sai.
- B: Tính trực tiếp $\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{DO}=(\vec{O}-\vec{A})+(\vec{O}-\vec{D})=-\vec{A}-\vec{D}$. Vì $O$ là trung điểm $BD$ nên $\vec{O}=\frac{\vec{B}+\vec{D}}{2}$, do đó $\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{DO}=\vec{B}+\vec{D}-\vec{A}-\vec{D}=\vec{B}-\vec{A}=\overrightarrow{AB}\ne \vec{0}$. Vậy B sai.
- C: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{CO}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OC}=-2\overrightarrow{OC}\ne \vec{0}$, sai.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: D(0;0), C(1;0), vì AD = CD = 1 và AB = 2, hình thang cân nên A(1/2; √3/2), B(5/2; √3/2), E trung điểm AB nên E(3/2; √3/2).
a) Đúng. AB = B − A = (2;0), DC = C − D = (1;0) nên AB = 2DC.
b) Đúng. E là trung điểm AB nên theo tính chất trung điểm: CA + CB = 2CE.
c) Đúng. AD = D − A = (−1/2; −√3/2), EC = C − E = (−1/2; −√3/2), hai vectơ bằng nhau.
d) Sai. DE = E − D = (3/2; √3/2) và CB = B − C = (3/2; √3/2), tức DE = CB chứ không phải DE = −CB. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a Đúng, b Đúng, c Đúng, d Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
AB = (2;0) = 2·DC = 2·(1;0), vì AB ∥ CD, cùng chiều và AB = 2CD.
b) (AI giải đề cho tôi)
E là trung điểm AB nên CA + CB = 2CE (tính chất trung điểm).
c) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ A(1/2; √3/2), D(0;0), E(3/2; √3/2), C(1;0): AD = (−1/2; −√3/2) = EC = (−1/2; −√3/2).
d) (AI giải đề cho tôi)
DE = (3/2; √3/2) = CB, nên DE = CB, không phải −CB.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$ (do $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$). Đúng.
b) $\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{CB}$ và $\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AD}$. Vì $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ nên $\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{AD}\ne \overrightarrow{AD}$. Sai.
c) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}$, không phải $\overrightarrow{BD}$. Sai.
d) $\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AC}$. Hai vế bằng nhau. Đúng.
Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$ vì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ trong hình bình hành $ABCD$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{AD}$, còn $\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AD}$, hai vế đối nhau nên không bằng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}\ne \overrightarrow{BD}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Cả hai vế đều bằng $\overrightarrow{AC}$: $\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AC}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ thuộc $BC$ với $MB=2MC$ nên $\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MC}$, suy ra $\overrightarrow{CM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})=\frac{1}{3}\vec{u}-\frac{1}{3}\vec{v}$. Vậy $m=\frac{1}{3},n=-\frac{1}{3}$, do đó $m+n=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\left|\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}\right|}^2=\frac{1}{4}{\overrightarrow{AB}}^2+4{\overrightarrow{AC}}^2+2\cdot \frac{1}{2}\cdot 2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\frac{1}{4}+4+2\cos 60^{\circ }=\frac{21}{4}$ (vì tam giác đều cạnh 1, $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$). Vậy độ dài bằng $\frac{\sqrt{21}}{2}\approx 2,29$.

(AI giải đề cho tôi)
Vật đứng yên nên $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\vec{0}$, suy ra $\overrightarrow{F_3}=-(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2})$ và $|\overrightarrow{F_3}|=|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}|$.
Ta có: $|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}{|}^2=|\overrightarrow{F_1}{|}^2+|\overrightarrow{F_2}{|}^2+2\overrightarrow{F_1}\cdot \overrightarrow{F_2}=40^2+40^2+2\cdot 40\cdot 40\cos 60^{\circ }=1600+1600+1600=4800$.
Vậy $|\overrightarrow{F_3}|=\sqrt{4800}=40\sqrt{3}\approx 69,28\approx 69$ N.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp lại các vectơ: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{CA}$. Do đó tổng bằng $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\vec{0}$. Vậy đáp án C, trùng với đáp án nguồn (Câu 3, Mã đề 1001: C).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$ tâm $O$, hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại trung điểm $O$. Suy ra $O$ là trung điểm của $AC$, tức $\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC}$ (cùng hướng, cùng độ dài). Kiểm tra các phương án: $\overrightarrow{CO}=-\overrightarrow{OC}$ (sai); $\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{OC}$ (sai); $\overrightarrow{OB}$ không bằng $\overrightarrow{OC}$ (sai). Vậy đáp án là C, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 1001, Câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$, ta có $AB\parallel DC$ và $AB=DC$, hai đoạn thẳng này cùng hướng (từ $A$ đến $B$ tương ứng từ $D$ đến $C$). Do đó $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. Các vectơ khác không thỏa: $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BC}$ không cùng phương với $\overrightarrow{AB}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Hình vuông $ABCD$ có cạnh $a=3\sqrt{2}$ cm. Độ dài vectơ $\overrightarrow{AC}$ bằng độ dài đường chéo của hình vuông: $\left|\overrightarrow{AC}\right|=AC=a\sqrt{2}=3\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=6$ (cm). Vậy đáp án đúng là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 12: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hình vuông $ABCD$ có cạnh $a=3\sqrt{2}(cm)$, góc $B=90^{\circ }$. Độ dài vectơ $\overrightarrow{AC}$ chính là độ dài đường chéo $AC$ của hình vuông. Theo định lý Pythagore trong tam giác $ABC$ vuông tại $B$: $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{(3\sqrt{2}{)}^2+(3\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{18+18}=\sqrt{36}=6(cm)$. Vậy $\left|\overrightarrow{AC}\right|=6(cm)$, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 1101, Câu 12: C).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$, cạnh $AB$ song song và bằng cạnh $DC$ (do $AB\parallel DC$ và $AB=DC$), hai vectơ cùng hướng từ $D$ đến $C$ và từ $A$ đến $B$. Vậy $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. Kiểm tra các phương án khác: $\overrightarrow{BC}$ không song song với $\overrightarrow{AB}$; $\overrightarrow{CD}$ đối hướng với $\overrightarrow{AB}$; $\overrightarrow{AC}$ không song song với $\overrightarrow{AB}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA}$. Hai vectơ $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{CA}$ cùng tạo với $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ góc $60^{\circ }$ (vì đổi hướng cả hai vectơ), nên góc giữa chúng bằng $60^{\circ }$. Do đó ${\left|\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{AC}\right|}^2=B{A}^2+C{A}^2+2\cdot BA\cdot CA\cdot \cos 60^{\circ }=1+1+2\cdot \frac{1}{2}=3$. Vậy $\left|\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{3}\approx 1,73$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 112, câu 1: 1,73).

(AI giải đề cho tôi)
Ba điểm $M,N,P$ thẳng hàng. Hai vectơ $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{NP}$ cùng hướng khi và chỉ khi $N$ nằm giữa $M$ và $P$, tức $N$ thuộc đoạn $MP$ (khi đó $\overrightarrow{MN}=k\overrightarrow{NP}$ với $k>0$). Kiểm tra các phương án khác: nếu $M$ thuộc đoạn $NP$ thì $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{NP}$ ngược hướng; nếu $P$ nằm ngoài đoạn $MN$ thì $M$ nằm giữa $N$ và $P$, hai vectơ ngược hướng; nếu $M$ nằm ngoài đoạn $NP$ thì $P$ nằm giữa $M$ và $N$, hai vectơ ngược hướng. Vậy đáp án đúng là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 112, câu 2: D).