Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định: A đúng vì $G$ là trọng tâm tam giác $A{B}^{\prime }{D}^{\prime }$ nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{G{B}^{\prime }}+\overrightarrow{G{D}^{\prime }}=\vec{0}$. B đúng vì $ABCD$ là hình vuông nên $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$. D đúng vì cạnh lập phương bằng $a$ nên $|\overrightarrow{AB}|=a$. C sai vì $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$ cùng hướng với $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ (hướng lên), còn $\overrightarrow{A^{\prime }A}=-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ (hướng xuống), do đó $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=-\overrightarrow{A^{\prime }A}$, không thể bằng $\overrightarrow{A^{\prime }A}$. Vậy khẳng định sai là C, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Tính $BA=\sqrt{(-1{)}^2+3^2+(-4{)}^2}=\sqrt{26}$, $BC=\sqrt{(-6{)}^2+8^2+2^2}=\sqrt{104}=2\sqrt{26}$. Đường phân giác trong góc $B$ cắt $AC$ tại $D$ với $\frac{AD}{DC}=\frac{BA}{BC}=\frac{1}{2}$, nên $D=\frac{2A+C}{3}=\left(\frac{2-4}{3};\frac{4+7}{3};\frac{-2+5}{3}\right)=\left(-\frac{2}{3};\frac{11}{3};1\right)$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh $a$.
a) Theo quy tắc hình bình hành (hoặc quy tắc ba điểm): $\overrightarrow{D{C}^{\prime }}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$. Vì $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{D{D}^{\prime }}$ (hai vectơ cùng phương, cùng hướng, cùng độ dài $a$) nên $\overrightarrow{D{C}^{\prime }}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}$. Nhận định ĐÚNG.
b) $AB$ và $C^{\prime }{D}^{\prime }$ đều là cạnh của lập phương nên $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}|=a$. Nhận định ĐÚNG.
c) Ta có $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}=\overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{AD}$. Do đó $2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}\ne \vec{0}$. Nhận định SAI.
d) $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}$. Vì $\overrightarrow{AD}\perp \overrightarrow{C{C}^{\prime }}$ nên $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{C{C}^{\prime }}=0$; và $\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$ nên $\overrightarrow{D{D}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{C{C}^{\prime }}=|\overrightarrow{C{C}^{\prime }}{|}^2=a^2$. Vậy $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{C{C}^{\prime }}=0+a^2=a^2$. Nhận định ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{D{C}^{\prime }}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}$ vì $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{D{D}^{\prime }}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Cả hai đều là cạnh của lập phương nên cùng độ dài $a$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}=-\overrightarrow{AD}$. Do đó $2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}\ne \vec{0}$. Nhận định SAI.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}$; $\overrightarrow{AD}\perp \overrightarrow{C{C}^{\prime }}$ cho tích vô hướng $0$, còn $\overrightarrow{D{D}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{C{C}^{\prime }}=a^2$, tổng bằng $a^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$. Vì $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$, nên $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$. Kiểm tra các phương án khác: A cho $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}+\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$... cụ thể $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{DC}$, không phải $\overrightarrow{AC}$; B cho $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$; D cho $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{BC}\ne \overrightarrow{A{C}^{\prime }}$. Vậy chỉ phương án C đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 4 Phần II (mã đề 002): a) $\overrightarrow{OM}=(3;6;2)$ đúng vì M(3;6;2). b) Độ cao máy bay so với mặt đất là tung độ z = 2 km = 2000 m, nên khẳng định 3000 m là sai. c) Hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (Oxy) là H(3;6;0), đúng. d) $OM=\left|\overrightarrow{OM}\right|=\sqrt{3^2+6^2+2^2}=\sqrt{49}=7$ km, đúng. Kết quả khớp bảng hướng dẫn chấm: ĐSĐĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì M(3;6;2) nên $\overrightarrow{OM}=(3;6;2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Độ cao là z = 2 km = 2000 m, không phải 3000 m.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của M trên (Oxy) giữ nguyên x, y và z = 0: H(3;6;0).
d) (AI giải đề cho tôi)
$OM=\sqrt{3^2+6^2+2^2}=\sqrt{49}=7$ km.

(AI giải đề cho tôi)
Tứ diện đều ABCD có cạnh $AB=\sqrt{66}$, góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ bằng $60^{\circ }$. Do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\cos 60^{\circ }=\sqrt{66}\cdot \sqrt{66}\cdot \frac{1}{2}=\frac{66}{2}=33$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 5, mã đề 002: 33).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (quy tắc hình bình hành trên mặt đáy $ABCD$). Do đó $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ (vì $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$ trong hình hộp). Vậy tổng bằng $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$, khớp với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 002, câu 7 là B).

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức tích vô hướng: $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos (\vec{a},\vec{b})$. Suy ra $\cos (\vec{a},\vec{b})=\frac{6\sqrt{3}}{3\cdot 4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Vì góc giữa hai vectơ thuộc $[0^{\circ };180^{\circ }]$ nên $(\vec{a},\vec{b})=30^{\circ }$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 002, câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
$M(3;6;2)$, $O(0;0;0)$, mặt đất là $(Oxy)$. a) $\overrightarrow{OM}=(3-0;6-0;2-0)=(3;6;2)$ → Đúng. b) Độ cao là khoảng cách từ $M$ tới mặt đất bằng tung độ $z=2$ km $=2000$ m → Đúng. c) Hình chiếu $H$ của $M$ trên $(Oxy)$ giữ nguyên $x$, $y$ và có $z=0$, tức $H(3;6;0)$, không phải $H(3;0;0)$ → Sai. d) $OM=\sqrt{3^2+6^2+2^2}=\sqrt{49}=7$ km → Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 001: Đ Đ S Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{OM}=(3;6;2)$ vì $O(0;0;0)$, $M(3;6;2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Độ cao bằng $z=2$ km $=2000$ m.
c) (AI giải đề cho tôi)
$H(3;6;0)$, không phải $H(3;0;0)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$OM=\sqrt{9+36+4}=7$ km.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục với $D(0;0;0)$, $C(2;0;0)$, $H(2;2;0)$, $G(0;2;0)$ và mặt trên $A(0;0;2)$, $B(2;0;2)$, $F(2;2;2)$, $E(0;2;2)$. Khi đó $\overrightarrow{GB}=(2;-2;2)$, $\overrightarrow{GE}=(0;0;2)$, nên $\overrightarrow{GB}\cdot \overrightarrow{GE}=2\cdot 0+(-2)\cdot 0+2\cdot 2=4$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 12: D).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;a;0)$, $D(0;a;0)$, $A^{\prime }(0;0;a)$, $B^{\prime }(a;0;a)$, $C^{\prime }(a;a;a)$, $D^{\prime }(0;a;a)$.

a) $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(a;0;a)$, $\overrightarrow{B^{\prime }C}=(0;a;-a)$. Tích vô hướng $=-a^2$, hai vecto cùng độ dài $a\sqrt{2}$, nên $\cos =\frac{-a^2}{2a^2}=-\frac{1}{2}$, góc bằng $120^{\circ }$. → Đúng.

b) $M$ trung điểm $A^{\prime }{D}^{\prime }$: $M(0;\frac{a}{2};a)$; $N$ trung điểm $C^{\prime }{D}^{\prime }$: $N(\frac{a}{2};a;a)$. $\overrightarrow{MN}=(\frac{a}{2};\frac{a}{2};0)$, $\overrightarrow{C{B}^{\prime }}=(0;-a;a)$. Tích vô hướng $=0+(-\frac{a^2}{2})+0=-0,5a^2$. → Đúng.

c) $\overrightarrow{AC}=(a;a;0)$ còn $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=(0;a;0)$, hai vecto khác nhau. → Sai.

d) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{BC}=(a;0;0)+(0;0;a)+(0;a;0)=(a;a;a)=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$. → Đúng.

Kết quả khớp với đáp án nguồn (DDSD).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{A{B}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{B^{\prime }C}=-a^2$, $|\overrightarrow{A{B}^{\prime }}|=|\overrightarrow{B^{\prime }C}|=a\sqrt{2}$, nên $\cos =-\frac{1}{2}$, góc bằng $120^{\circ }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MN}=(\frac{a}{2};\frac{a}{2};0)$, $\overrightarrow{C{B}^{\prime }}=(0;-a;a)$, tích vô hướng $=-0,5a^2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AC}=(a;a;0)\ne (0;a;0)=\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{BC}=(a;a;a)=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(0;a;0)$, $C(a;a;0)$, $D(a;0;0)$, $A^{\prime }(0;0;a)$, $B^{\prime }(0;a;a)$, $C^{\prime }(a;a;a)$, $D^{\prime }(a;0;a)$.

a) $M$ trung điểm $A^{\prime }{D}^{\prime }$: $M(\frac{a}{2};0;a)$; $N$ trung điểm $C^{\prime }{D}^{\prime }$: $N(a;\frac{a}{2};a)$. Suy ra $\overrightarrow{MN}=(\frac{a}{2};\frac{a}{2};0)$. Ta có $\overrightarrow{C{B}^{\prime }}=\overrightarrow{O{B}^{\prime }}-\overrightarrow{OC}=(0;a;a)-(a;a;0)=(-a;0;a)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{C{B}^{\prime }}=\frac{a}{2}\cdot (-a)+\frac{a}{2}\cdot 0+0\cdot a=-0,5a^2$. Đúng.

b) $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(0;a;a)$, $\overrightarrow{B^{\prime }C}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{O{B}^{\prime }}=(a;0;-a)$. Tích vô hướng $=0+0-a^2=-a^2$; mỗi vectơ có độ dài $a\sqrt{2}$. Vậy $\cos (\overrightarrow{A{B}^{\prime }},\overrightarrow{B^{\prime }C})=\frac{-a^2}{2a^2}=-\frac{1}{2}\Rightarrow$ góc bằng $120^{\circ }$. Đúng.

c) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{BC}=(0;a;0)+(0;0;a)+(a;0;0)=(a;a;a)=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$. Đúng.

d) $\overrightarrow{AC}=(a;a;0)$; còn $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{O{C}^{\prime }}-\overrightarrow{O{B}^{\prime }}=(a;a;a)-(0;a;a)=(a;0;0)\ne \overrightarrow{AC}$. Sai.

Kết quả: a Đúng, b Đúng, c Đúng, d Sai — khớp đáp án nguồn (DDDS, mã đề 1001, Phần II câu 4).
a) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ đã chọn, $\overrightarrow{MN}=(\frac{a}{2};\frac{a}{2};0)$, $\overrightarrow{C{B}^{\prime }}=(-a;0;a)$, tích vô hướng $=\frac{a}{2}\cdot (-a)+0+0=-0,5a^2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{A{B}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{B^{\prime }C}=-a^2$, mỗi vectơ dài $a\sqrt{2}$, nên $\cos =-\frac{1}{2}$, góc bằng $120^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tổng ba vectơ bằng $(a;a;a)=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AC}=(a;a;0)$ còn $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{O{C}^{\prime }}-\overrightarrow{O{B}^{\prime }}=(a;a;a)-(0;a;a)=(a;0;0)$, hai vectơ không bằng nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $D(0;0;0)$, $C(2;0;0)$, $G(0;2;0)$, $H(2;2;0)$, $A(0;0;2)$, $B(2;0;2)$, $E(0;2;2)$, $F(2;2;2)$. Khi đó $\overrightarrow{GB}=(2;-2;2)$, $\overrightarrow{GE}=(0;0;2)$, nên $\overrightarrow{GB}\cdot \overrightarrow{GE}=2\cdot 0+(-2)\cdot 0+2\cdot 2=4$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (B).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BD}$. Vì $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là hình hộp nên $\overrightarrow{C^{\prime }C}=\overrightarrow{D^{\prime }D}=\overrightarrow{A^{\prime }A}=\overrightarrow{B^{\prime }B}$, do đó $-\overrightarrow{C^{\prime }C}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{D{D}^{\prime }}$. Vậy $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{C^{\prime }C}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$. Kết quả khớp với đáp án A trong bảng mã đề 1001.

Chọn C (theo thứ tự phương án của nguồn giải, tương ứng phương án D của đề). $A{A}^{\prime }$ ngắn nhất nên $A^{\prime }$ là hình chiếu của $A$ lên mp$(Oxz)$. Vậy $A^{\prime }(3;0;-1)$.

Chọn B. Ta có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. Suy ra $D(6;0;-5)$. (Lưu ý: trang lời giải in phương án theo thứ tự khác — A $(2;0;5)$, B $(2;0;-5)$, C $(6;0;-5)$, D $(6;0;5)$ — và gạch chân C; theo thứ tự phương án ở trang đề, đáp án $(6;0;-5)$ tương ứng với B, đồng bộ với bảng đáp án mã đề 001 cho câu 10 là B.)

(AI giải đề cho tôi)
G là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$. Ta có $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}=\left(\overrightarrow{SG}+\overrightarrow{GA}\right)+\left(\overrightarrow{SG}+\overrightarrow{GB}\right)+\left(\overrightarrow{SG}+\overrightarrow{GC}\right)=3\overrightarrow{SG}+\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)=3\overrightarrow{SG}$. Vậy khẳng định đúng là B, trùng với đáp án nguồn (đề 1002, câu 9: B).

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABC$, $M$ là trọng tâm nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$. Trong tam giác $ABD$, $N$ là trọng tâm nên $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})$. Suy ra $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})=\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}$. Vậy $MN\parallel CD$ (và $MN=\frac{1}{3}CD$). Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $P$ là trung điểm $AB$ nên $\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$; $Q$ là trung điểm $CD$ nên $\overrightarrow{AQ}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD})$. Do đó $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD})-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD})$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (Câu 24: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}=\vec{0}$, ta có $\overrightarrow{IA}=-3\overrightarrow{IB}$, tức $I$ chia đoạn $AB$ theo tỉ số $k=-3$: $I=\frac{A-3B}{1-3}=\frac{A+3B}{4}$. Cụ thể: $a=\frac{1+3(-1)}{4}=-\frac{1}{2}$, $b=\frac{2+3\cdot 3}{4}=\frac{11}{4}$, $c=\frac{0+3\cdot 5}{4}=\frac{15}{4}$. Khi đó $a+2b+2c=-\frac{1}{2}+\frac{11}{2}+\frac{15}{2}=\frac{25}{2}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 26: A).