Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho $O$ nằm trên mặt nước, mặt phẳng $(Oxy)$ là mặt nước, trục $Oz$ hướng lên trên (đơn vị độ dài trên các trục tọa độ là mét), một con chim bói cá đang ở vị trí (có hoành độ, tung độ và cao độ là các số thực dương) cách mặt nước $2\mathrm{m}$, cách các mặt phẳng $(Oxz),(Oyz)$ lần lượt là $3\mathrm{m}$ và $1\mathrm{m}$ phóng thẳng xuống vị trí con cá, biết con cá ở vị trí (có hoành độ và tung độ là các số thực dương) cách mặt nước $50\mathrm{cm}$, cách mặt phẳng $(Oxz),(Oyz)$ lần lượt là $1\mathrm{m}$ và $1,5\mathrm{m}$. Tính khoảng cách từ vị trí chim bói cá vừa tiếp xúc với mặt nước và vị trí ban đầu của chim bói cá (đơn vị: mét, kết quả làm tròn tới hàng phần trăm).

Một chậu cây được đặt trên một giá đỡ có bốn chân với điểm đặt $S(0;0;20)$ và các điểm chạm mặt đất của bốn chân lần lượt là $A(20;0;0),B(0;20;0),C(-20;0;0),D(0;-20;0)$ (đơn vị $\text{cm}$). Cho biết trọng lực tác dụng lên chậu cây có độ lớn $40\text{N}$ và được phân bố thành bốn lực ${\vec{F}}_1,{\vec{F}}_2,{\vec{F}}_3,{\vec{F}}_4$ có độ lớn bằng nhau như hình bên dưới. Giả sử tọa độ của các lực là ${\vec{F}}_1(x_1;y_1;z_1),{\vec{F}}_2(x_2;y_2;z_2),{\vec{F}}_3(x_3;y_3;z_3),{\vec{F}}_4(x_4;y_4;z_4)$ (mỗi centimét biểu diễn $1\text{N}$). Hãy tính tổng $P=x_1+y_2+y_3+x_4$?

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.EFGH$ có $AB=6,AD=7,AE=5$. Xét hệ trục tọa độ $Oxyz$ có gốc $O$ trùng với điểm $A$, các điểm $B,D,E$ lần lượt nằm trên các tia $Ox,Oy,Oz$. Gọi $K$ là tâm của $ABCD$. Điểm $N(a;b;c)$ là trọng tâm của tam giác $AHK$. Tính $P=2a-4b+3c$.

Trong không gian $Oxyz$, có $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục $Ox,Oy,Oz$. Cho điểm $A(3;4;-2)$, vectơ $\vec{a}=-3\vec{i}-4\vec{j}+14\vec{k}$. Gọi $B$ là điểm sao cho $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$.

Để chuẩn bị cho một buổi triển lãm quốc tế, các trang sức có giá trị lớn được đặt bảo mật trong các khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ và đặt lên phía trên một trụ hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy là hình vuông (như hình vẽ bên dưới).

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là mét) sao cho $A^{\prime }(0;0;0)$, $A(0;0;1)$, $B\left(0;\frac{1}{2};1\right)$. Biết rằng, ban tổ chức sự kiện dự định dùng các tấm kính cường lực hình tam giác cân có cạnh bên là $60\text{cm}$ để ráp lại thành khối chóp nói trên. Khi $S(a;b;c)$, hãy tìm giá trị của $a+b+c$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Một khối rubik có dạng $4\times 4$ (mỗi cạnh của hình lập phương nhỏ nhất có độ dài $1\text{cm}$, mỗi cạnh của khối rubik gấp bốn lần cạnh hình lập phương nhỏ nhất đó). Xét hai vị trí $A$ và $B$, trong đó $A$ ở mặt trên cùng và $B$ ở mặt bên phải, với $A$ và $B$ đều là các đỉnh của khối lập phương nhỏ (Hình vẽ bên dưới).

Khoảng cách giữa hai điểm $A$ và $B$ bằng bao nhiêu centimét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Câu 4. Hình minh họa sơ đồ một ngôi nhà kho của ông F trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ với các đỉnh tầng trệt là $O(0;0;0),A(4;0;0),B(4;5;0),C(0;5;0)$ và tầng lầu cao $3\text{ m}$, mái nhọn có đỉnh đường dông là $H(2;2,5;5)$.

Câu 3. Trong không gian $Oxyz$, xem mặt đất là mặt phẳng $(Oxy)$; trục $Oz$ hướng lên (đơn vị trên mỗi trục là 1 km). Tại cùng một thời điểm, một radar phát hiện một máy bay tại $A(0;0;10)$ bay theo hướng $\vec{v}=(-4;3;0)$ không đổi và một xe tăng tại $O$ di chuyển theo hướng $\vec{u}=(3;4;0)$ không đổi. Sau 20 giây radar xác định được vị trí máy bay tại $B(-8;6;10)$ và xe tăng tại $E\left(\frac{3}{20};\frac{1}{5};0\right)$.

Câu 6: Người ta cần lắp một camera phía trên sân bóng để phát sóng truyền hình một trận bóng đá, camera có thể di động để luôn thu được hình ảnh rõ nét về diễn biến trên sân. Các kĩ sư dự định trồng bốn chiếc cột cao $30\text{ m}$ và sử dụng hệ thống cáp gắn vào bốn đầu cột để giữ camera ở vị trí mong muốn. Mô hình thiết kế được xây dựng như sau:

Trong hệ trục toạ độ $Oxyz$ (đơn vị độ dài trên mỗi trục là $1\text{ m}$), các đỉnh của bốn chiếc cột lần lượt là các điểm $M(90;0;30),N(90;120;30),P(0;120;30),Q(0;0;30)$ (Hình 34). Giả sử $K_0$ là vị trí ban đầu của camera có cao độ bằng $25$ và $K_{0}M=K_{0}N=K_{0}P=K_{0}Q$. Để theo dõi quả bóng đến vị trí $A$, camera được hạ thấp theo phương thẳng đứng xuống điểm $K_1$ có cao độ bằng $19$. Biết rằng trung điểm đoạn $K_0{K}_1$ có toạ độ là $(a;b;c)$; khi đó, hãy tính giá trị $T=5a+7b+9c$.

Câu 3: Trong không gian $Oxyz$, cho bốn điểm $A(2;-3;7),B(0;4;1),C(3;0;5)$ và $D(3;3;3)$.

Câu 4: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có độ dài cạnh bên và cạnh đáy đều bằng $10$. Tính $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{SC}$.

Câu 5: Một ngôi nhà gỗ nhỏ gồm hai phần. Phần thân nhà có dạng hình hộp chữ nhật $ABCD.OMNK$ có chiều dài $OK$ bằng $6\text{ m}$, chiều rộng $OM$ bằng $4\text{ m}$, chiều cao $3\text{ m}$. Phần mái nhà có dạng hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bên bằng nhau và có chiều cao bằng $2,5\text{ m}$. Chọn hệ trục toạ độ $Oxyz$ sao cho $M$ thuộc tia $Ox$, $K$ thuộc tia $Oy$, $A$ thuộc tia $Oz$ (như hình vẽ) (mỗi đơn vị độ dài trên hệ trục ứng với $1\text{ m}$). Tìm $\cos \widehat{MSK}$ (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Câu 4. Tại một điểm cao ở khu vực leo núi có một trung tâm điều hành trạm cứu hộ, trung tâm có cột ăngten đặt thiết bị thu phát vô tuyến và radar phục vụ giám sát, nhận tín hiệu cầu cứu và phát thông tin cần thiết đến trực thăng. Hệ $Oxyz$ được thiết lập như hình vẽ (đơn vị mét).

Câu 2. Một chiếc máy được đặt lên một giá đỡ ba chân với điểm đặt $E(0;0;6)$ và các điểm tiếp xúc với mặt đất của ba chân lần lượt là $A_1(0;1;0)$, $A_2\left(\frac{\sqrt{3}}{2};-\frac{1}{2};0\right)$ và $A_3\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};-\frac{1}{2};0\right)$. Biết rằng trọng lượng của chiếc máy là $300\text{ N}$. Độ lớn của lực ${\vec{F}}_1$ tác dụng lên giá đỡ bằng bao nhiêu newton? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Câu 3. Để treo một chậu cây người ta cần lấy trên miệng của chậu cây đó $3$ điểm và sử dụng $3$ đoạn dây có độ dài bằng nhau để nối $3$ điểm đó với một điểm treo (xem hình minh hoạ). Giả sử trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, ba điểm trên miệng của chậu cây là $A(0;1;2),B(2;-2;1),C(-2;0;1)$; điểm treo $M(a;b;c)$ nằm trên mặt phẳng $(\alpha ):x+2y+z-2=0$. Bình phương khoảng cách từ điểm $M$ đến gốc toạ độ $O$ bằng bao nhiêu?

Một chiếc máy ảnh được đặt trên giá đỡ ba chân với điểm đặt $E(0;0;8)$ và các điểm tiếp xúc với mặt đất của ba chân lần lượt là $A_1(0;1;0)$, $A_2\left(\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{-1}{2};0\right)$, $A_3\left(\frac{-\sqrt{3}}{2};\frac{-1}{2};0\right)$. Biết rằng trọng lượng của chiếc máy là $240\text{ N}$. Tọa độ của các lực tác dụng lên giá đỡ $\overrightarrow{F_1}$ là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hình vuông $ABCD$, $B(3;0;8)$, $D(-5;-4;0)$. Biết đỉnh $A$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ và có tọa độ là những số nguyên, khi đó $|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}|$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ với $A(2;1;-1)$, $B(3;0;1)$, $C(2;-1;3)$ và $D$ thuộc trục tung. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Câu 4. Tầng 1 của tòa nhà ở một trung tâm triển lãm có dạng hình chóp cụt đều $ABCD.MNPQ$ được mô hình hóa trong không gian tọa độ $Oxyz$ với đơn vị trên các trục là $10$ mét (như hình vẽ). Biết $AB=80\text{ m}$; $MN=60\text{ m}$ và chiều cao của tầng 1 tòa nhà là $20\text{ m}$. Ở các vị trí $H,K$ trên các đoạn thẳng $MD,BN$ người ta nắp các bóng đèn cao áp có khoảng cách đến mặt sàn bằng $15\text{ m}$.

Câu 4. Một vật đặt tại vị trí đỉnh $A$ của một tứ diện đều $ABCD$ chịu tác dụng của $3$ lực ${\vec{F}}_1;{\vec{F}}_2;{\vec{F}}_3$ có độ lớn lần lượt là $8\text{ N}$ (newton), $10\text{ N}$ và $12\text{ N}$. Lực ${\vec{F}}_1$ cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$; ${\vec{F}}_2$ cùng hướng với $\overrightarrow{AC}$; ${\vec{F}}_3$ ngược hướng với $\overrightarrow{AD}$. Độ lớn của lực tổng hợp $\vec{F}={\vec{F}}_1+{\vec{F}}_2+{\vec{F}}_3$ tác dụng lên vật bằng bao nhiêu newton? (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).