Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Hệ trục: $O\equiv A$, $D\in Ox$ (chiều rộng 6), $B\in Oy$ (chiều dài 9), $A^{\prime }\in Oz$ (chiều cao 3,5).
a) $B^{\prime }$ có hoành độ bằng 0 (thuộc mặt phẳng $x=0$), tung độ $AB=9$, cao độ $3,5$ nên $B^{\prime }=(0;9;3,5)$, không phải $(9;0;3,5)$ → Sai.
b) Mặt tường $A{A}^{\prime }{B}^{\prime }B$ là mặt phẳng $x=0$, hình chiếu của $N(4;7;1,2)$ là $(0;7;1,2)$, không phải $(4;0;1,2)$ → Sai.
c) $M$ cách tường $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ (mặt $x=0$) là 2 m nên $x=2$; cách tường $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ (mặt $y=9$) là 3 m nên $y=9-3=6$; cách trần ($z=3,5$) là 1 m nên $z=3,5-1=2,5$. Vậy $M=(2;6;2,5)$ → Đúng.
d) $\overrightarrow{MN}=(4-2;7-6;1,2-2,5)=(2;1;-1,3)$, không phải $(-2;-1;1,3)$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$B^{\prime }=(0;9;3,5)$ vì $B\in Oy$ với $AB=9$ và $A^{\prime }\in Oz$ với $A{A}^{\prime }=3,5$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tường $A{A}^{\prime }{B}^{\prime }B$ là mặt phẳng $x=0$, hình chiếu của $N$ là $(0;7;1,2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$x=2$, $y=9-3=6$, $z=3,5-1=2,5$ nên $M=(2;6;2,5)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MN}=(2;1;-1,3)$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{C^{\prime }G}=\overrightarrow{C^{\prime }C}+\overrightarrow{CG}=-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{CG}$. Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$, do đó $\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AG}=-\overrightarrow{AC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$. Vậy $\overrightarrow{C^{\prime }G}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$, tức $m=\frac{1}{3},n=-\frac{2}{3},p=-1$. Suy ra $4m-n+5p=\frac{4}{3}+\frac{2}{3}-5=2-5=-3$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục toạ độ: $O(0;0;0)$, $A(2;-2;0)$, $B(2;2;0)$, $C(-2;2;0)$, $D(-2;-2;0)$. Vì $S.ABCD$ đều nên $SO\perp (ABCD)$, $OA=\frac{AC}{2}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$, $SO=\sqrt{S{A}^2-O{A}^2}=\sqrt{36-8}=2\sqrt{7}$, suy ra $S(0;0;2\sqrt{7})$, $N$ trung điểm $SC$ nên $N(-1;1;\sqrt{7})$.

a) $\overrightarrow{ON}=(-1;1;\sqrt{7})$, $\overrightarrow{CD}=(0;-4;0)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{ON}\cdot \overrightarrow{CD}=-4$.

b) $\vec{u}=\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}=(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OS})+(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OS})+(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OS})+(\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OS})=(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})-4\overrightarrow{OS}=\vec{0}-4\overrightarrow{OS}=(0;0;-8\sqrt{7})$.

Vậy $|\vec{u}|=8\sqrt{7}\approx 21,2$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;2a;0), C(a;2a;0), S(0;0;2a) vì SA⊥(ABCD), SA=2a. Khi đó P trung điểm SB: P(a/2;0;a), Q trung điểm SD: Q(0;a;a).
a) AP→=(a/2;0;a), AB→=(a;0;0) nên AP→·AB→=a²/2. Đúng.
b) BC→=(a;0;0), AS→=(0;0;2a), tích vô hướng bằng 0 nên hai vectơ vuông góc, góc giữa chúng bằng 90°, không phải 60°. Sai.
c) CD→=D→−C→=(−a;0;0)=−AB→, hai vectơ ngược hướng (do ABCD là hình chữ nhật). Sai.
d) SP→−SQ→=QP→=P−Q=(a/2;−a;0), độ dài = a√(1/4+1)=a√5/2. Đúng.
Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 2102 câu 14: DSSD.
a) (AI giải đề cho tôi)
AP→=(a/2;0;a), AB→=(a;0;0) nên AP→·AB→=a²/2.
b) (AI giải đề cho tôi)
BC→·AS→=0 nên hai vectơ vuông góc, góc giữa chúng bằng 90° chứ không phải 60°.
c) (AI giải đề cho tôi)
CD→=(−a;0;0)=−AB→ nên hai vectơ ngược hướng.
d) (AI giải đề cho tôi)
SP→−SQ→=QP→=(a/2;−a;0), độ dài bằng a√5/2.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $K_{0}M=K_{0}N=K_{0}P=K_{0}Q$ và bốn đỉnh cột là hình chữ nhật với tâm $(45;60;30)$, điểm $K_0$ nằm trên trục thẳng đứng qua tâm, nên $K_0(45;60;27)$. Camera hạ thẳng đứng xuống $K_1(45;60;18)$. Suy ra $\overrightarrow{K_0{K}_1}=(0;0;-9)$, tức $x=0,y=0,z=-9$. Vậy $x^2+y^2+z^2=0+0+81=81$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 2102, câu 17 = 81).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;2a;0), C(a;2a;0), S(0;0;2a) vì SA⊥(ABCD). Khi đó P trung điểm SB: P(a/2;0;a), Q trung điểm SD: Q(0;a;a).
a) SP−SQ = QP = (a/2;−a;0), độ dài = √(a²/4+a²) = a√5/2 → Đúng.
b) BC = (0;2a;0), AS = (0;0;2a), tích vô hướng bằng 0 nên góc giữa hai vectơ là 90°, không phải 60° → Sai.
c) AP = (a/2;0;a), AB = (a;0;0), AP·AB = a²/2 → Đúng.
d) CD = D−C = (−a;0;0) ngược hướng với AB = (a;0;0) → Sai.
Kết quả a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai khớp với bảng đáp án mã đề 2101 (DSDS).
a) (AI giải đề cho tôi)
SP−SQ = QP với P(a/2;0;a), Q(0;a;a) nên QP = (a/2;−a;0), độ dài = √(a²/4+a²) = a√5/2.
b) (AI giải đề cho tôi)
BC = (0;2a;0) và AS = (0;0;2a) có tích vô hướng bằng 0 nên góc giữa chúng là 90°, không phải 60°.
c) (AI giải đề cho tôi)
AP = (a/2;0;a), AB = (a;0;0) nên AP·AB = a²/2.
d) (AI giải đề cho tôi)
CD = (−a;0;0) ngược hướng với AB = (a;0;0) vì ABCD là hình chữ nhật.

(AI giải đề cho tôi)
Bốn đỉnh cột M(90;0;30), N(90;120;30), P(0;120;30), Q(0;0;30) là bốn đỉnh hình chữ nhật với tâm là trung điểm MP: (45;60;30). Vì K₀M=K₀N=K₀P=K₀Q và K₀ có cao độ 27 m nên K₀ nằm trên đường thẳng đứng qua tâm, tức K₀(45;60;27). Camera hạ thẳng đứng xuống cao độ 18 m nên K₁(45;60;18). Suy ra vectơ K₀K₁ = (0;0;-9) = 0·i + 0·j + (-9)·k, do đó x²+y²+z² = 0+0+81 = 81. Kết quả khớp với đáp án nguồn (81).

(AI giải đề cho tôi)
Dây cáp AD là đoạn thẳng từ D(0;0;227) đến A(0;343;75). Phương trình tham số: y = 343t, z = 227 - 152t. Vì MN song song với cột trụ (trục Oz) nên N có cùng hoành y với M. M cách trục Oz 230 m nên y_M = 230, suy ra t = 230/343, khi đó z_N = 227 - 152·(230/343) = 227 - 34960/343 ≈ 125,0787 m. M cách mặt nước 75 m nên MN = z_N - 75 ≈ 50,0787 ≈ 50,08 m.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(2a;0;0)$, $C(2a;a;0)$, $D(0;a;0)$. Trung điểm $H$ của $AB$ là $H(a;0;0)$, nên $S(a;0;h)$. Góc giữa $SC$ và mặt đáy là góc $SCH$ với $\tan 60^{\circ }=\frac{h}{HC}$, $HC=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$, nên $h=a\sqrt{6}$.
$\overrightarrow{SB}=(a;0;-a\sqrt{6})$, $\overrightarrow{AC}=(2a;a;0)$.
$\overrightarrow{SB}\cdot \overrightarrow{AC}=2a^2$, $|SB|=a\sqrt{7}$, $|AC|=a\sqrt{5}$.
$\cos (\overrightarrow{SB},\overrightarrow{AC})=\frac{2a^2}{a\sqrt{7}\cdot a\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{35}}\approx 0,338\approx 0,3$.

(AI giải đề cho tôi)
Hợp lực của $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$: $|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}{|}^2=20^2+15^2+2\cdot 20\cdot 15\cos 135^{\circ }=625-300\sqrt{2}\approx 200,736$, nên $|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}|\approx 14,168$ N. Vì $\overrightarrow{F_3}\perp (\alpha )$ còn $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}$ nằm trong $(\alpha )$ nên $\overrightarrow{F_3}\perp (\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2})$, do đó $|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}{|}^2=200,736+10^2=300,736$, hợp lực $\approx 17,34\approx 17,3$ N.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\overrightarrow{F_3}$ vuông góc với mặt phẳng chứa $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}$ nên $\overrightarrow{F_3}\perp \overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_3}\perp \overrightarrow{F_2}$, do đó $\overrightarrow{F_3}\perp (\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2})$. Tính: $|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}{|}^2=|\overrightarrow{F_1}{|}^2+|\overrightarrow{F_2}{|}^2+2\overrightarrow{F_1}\cdot \overrightarrow{F_2}=15^2+12^2+2\cdot 15\cdot 12\cos 120^{\circ }=225+144-180=189$. Khi đó $|\overrightarrow{F}{|}^2=|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}{|}^2+|\overrightarrow{F_3}{|}^2=189+9^2=270$, suy ra $|\overrightarrow{F}|=\sqrt{270}\approx 16,4$ N. Kết quả khớp với đáp án nguồn 16,4.

Đáp án: S S Đ Đ.
a) Sai: $\overrightarrow{OM}+2\vec{v}=(650;920;10)$, tại 8h máy bay ở $M_2(650;920;10)$; $\overrightarrow{M_{2}F}=(600;100;10)\Rightarrow M_{2}F=\sqrt{600^2+100^2+10^2}\approx 608,36$; khoảng cách xấp xỉ 600km.
b) Sai: $\overrightarrow{OM}=(50;120;4)\Rightarrow OM=\sqrt{50^2+120^2+4^2}\approx 130,06$; khoảng cách giữa máy bay và trạm không lưu tại thời điểm 6h xấp xỉ 130km.
c) Đúng: Từ độ cao 10km, với tốc độ hạ độ cao là 5km/h thì máy bay cần 2h để đáp xuống đất; $\overrightarrow{O{M}_2}+2\overrightarrow{v_2}=(1450;1520;0)$; tọa độ khi đáp xuống là $M_3(1450;1520;0)$.
d) Đúng: $\overrightarrow{OM}+\vec{v}=(350;520;7)$; tại 7h máy bay ở $M_1(350;520;7)$, độ cao 7km.
a) Sai. Ta có $\overrightarrow{OM}+2\vec{v}=(650;920;10)$. Vậy tại thời điểm 8h, tọa độ của máy bay là $M_2(650;920;10)$.
Ta có: $\overrightarrow{M_{2}F}=(600;100;10)\Rightarrow M_{2}F=\sqrt{600^2+100^2+10^2}\approx 608,36$.
Vậy khoảng cách giữa máy bay và tháp truyền hình $F$ xấp xỉ 600km.
b) Sai. $\overrightarrow{OM}=(50;120;4)\Rightarrow OM=\sqrt{50^2+120^2+4^2}\approx 130,06$.
Vậy khoảng cách giữa máy bay và trạm không lưu tại thời điểm 6h xấp xỉ 130km.
c) Đúng. Từ độ cao 10km, với tốc độ hạ độ cao là 5km/h thì máy bay cần 2h để đáp xuống đất.
Ta có: $\overrightarrow{O{M}_2}+2\overrightarrow{v_2}=(1450;1520;0)$.
Vậy tọa độ của máy bay khi đáp xuống là $M_3(1450;1520;0)$.
d) Đúng. Ta có $\overrightarrow{OM}+\vec{v}=(350;520;7)$. Tại thời điểm 7h, tọa độ của máy bay là $M_1(350;520;7)$.
Vậy độ cao của máy bay so với mặt đất là 7km.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=B-A=(2-1;-4+3;5-3)=(1;-1;2)\ne (-1;1;-2)$ → sai.
b) Trọng tâm $G=\left(\frac{1+2+3}{3};\frac{-3-4-2}{3};\frac{3+5+1}{3}\right)=(2;-3;3)$, nên $a+b+c=2-3+3=2$ → đúng.
c) $2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=\vec{0}\Rightarrow I=\frac{2A+B+3C}{6}=\left(\frac{13}{6};-\frac{8}{3};\frac{7}{3}\right)$. Khi đó $2x+y+z=\frac{26}{6}-\frac{16}{6}+\frac{14}{6}=\frac{24}{6}=4$ → đúng.
d) $M\in (Oyz)\Rightarrow x=0$. Đặt $f=2M{A}^2+M{B}^2+3M{C}^2$; $P=-f$ lớn nhất khi $f$ nhỏ nhất. $f=2(1+(y+3{)}^2+(z-3{)}^2)+(4+(y+4{)}^2+(z-5{)}^2)+3(9+(y+2{)}^2+(z-1{)}^2)$. Đạo hàm theo $y$: $4(y+3)+2(y+4)+6(y+2)=0\Rightarrow y=-\frac{8}{3}$; theo $z$: $4(z-3)+2(z-5)+6(z-1)=0\Rightarrow z=\frac{7}{3}$. Vậy $x+y-z=0-\frac{8}{3}-\frac{7}{3}=-5$, không thỏa $x+y-z<-5$ → sai. Đối chiếu bảng đáp án mã đề 1002: 3a=S, 3b=D, 3c=D, 3d=S — khớp hoàn toàn với kết quả giải (không có xung đột đáp án).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{AB}=(1;-1;2)$, khác $(-1;1;-2)$ → sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $G=(2;-3;3)$ nên $a+b+c=2$ → đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $I=\left(\frac{13}{6};-\frac{8}{3};\frac{7}{3}\right)$, $2x+y+z=4$ → đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $x=0$, $f$ nhỏ nhất tại $y=-\frac{8}{3},z=\frac{7}{3}$, nên $x+y-z=-5$, không nhỏ hơn $-5$ → sai.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=B-A=(2-1;-4+3;5-3)=(1;-1;2)\ne (-1;1;-2)$ → Sai.
b) Trọng tâm $G\left(\frac{1+2+3}{3};\frac{-3-4-2}{3};\frac{3+5+1}{3}\right)=(2;-3;3)$, nên $a+b+c=2-3+3=2$ → Đúng.
c) Từ $2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=\vec{0}$ suy ra $6\vec{I}=2\vec{A}+\vec{B}+3\vec{C}$, tức $I=\left(\frac{2+2+9}{6};\frac{-6-4-6}{6};\frac{6+5+3}{6}\right)=\left(\frac{13}{6};-\frac{8}{3};\frac{7}{3}\right)$. Khi đó $2x+y+z=\frac{26}{6}-\frac{16}{6}+\frac{14}{6}=\frac{24}{6}=4$ → Đúng.
d) $M\in (Oyz)$ nên $x=0$. Ta có $P=-2M{A}^2-M{B}^2-3M{C}^2=-\left(2M{A}^2+M{B}^2+3M{C}^2\right)$, dùng đẳng thức $2M{A}^2+M{B}^2+3M{C}^2=6M{G}^2+2G{A}^2+G{B}^2+3G{C}^2$ với $G=\left(\frac{13}{6};-\frac{8}{3};\frac{7}{3}\right)$. Vì $x=0$ cố định, $P$ lớn nhất khi $(y;z)=\left(-\frac{8}{3};\frac{7}{3}\right)$, tức $M=\left(0;-\frac{8}{3};\frac{7}{3}\right)$. Khi đó $x+y-z=0-\frac{8}{3}-\frac{7}{3}=-5$, không thỏa $x+y-z<-5$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{AB}=(1;-1;2)$, khác $(-1;1;-2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $G=(2;-3;3)$ nên $a+b+c=2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $I=\left(\frac{13}{6};-\frac{8}{3};\frac{7}{3}\right)$ nên $2x+y+z=4$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $M=\left(0;-\frac{8}{3};\frac{7}{3}\right)$, $x+y-z=-5$, không nhỏ hơn $-5$.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương $\overrightarrow{AB}=(244+20;-81-7;180-4)=(264;-88;176)=88(3;-1;2)$, nên $|\overrightarrow{AB}|=88\sqrt{9+1+4}=88\sqrt{14}$ (m). Sau 1 phút 30 giây (90 giây), cabin đi được $s=7\cdot 90=630$ m. Tỉ số $t=\frac{630}{88\sqrt{14}}=\frac{315}{44\sqrt{14}}=\frac{315\sqrt{14}}{616}=\frac{45\sqrt{14}}{88}$. Độ cao lúc đó: $z=4+176t=4+176\cdot \frac{45\sqrt{14}}{88}=4+90\sqrt{14}$. Vậy $x=4,y=90,z=14$ và $2x+3y-z=8+270-14=264$. Đáp án C, trùng đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục như hình: O(0;0;0), A(4;0;0), B(4;6;0), C(0;6;0), E(0;0;5), F(4;0;5), G(4;6;5), H(0;6;5) (vì OAFE là hình chữ nhật trong mặt phẳng y=0 với OA=4, OE=HC=5; AB=6 là chiều sâu kho). Mặt mái gồm hai dốc: EPHQ (z = x + 5) và FPQG (z = 9 − x), với P(2;0;5+h), Q(2;6;5+h).

a) Đúng. P(2;0;5+h), Q(2;6;5+h) nên $\overrightarrow{PQ}=(0;6;0)$.

b) Sai. Theo hệ trục, G(4;6;5), không phải (6;4;5).

c) Đúng. Góc nhị diện [Q,FG,H] là góc giữa mặt mái FPQG và mặt phẳng ngang z = 5 dọc theo FG. Từ x = 4 (đường FG) lên đỉnh x = 2 (đường PQ), độ cao tăng h trên quãng ngang 2, nên $\tan 45^{\circ }=\frac{h}{2}\Rightarrow h=2$. Chiều cao kho = 5 + 2 = 7 m.

d) Đúng. Trung điểm GQ là M(3;6;6). Tuyến cáp theo thiết kế: O → E → H → M với OE = 5, EH = 6, HM = $\sqrt{3^2+0^2+1^2}=\sqrt{10}$. Tổng độ dài cáp tối thiểu: $5+6+\sqrt{10}=11+\sqrt{10}$ m.

Kết quả khớp đáp án nguồn: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
P(2;0;7), Q(2;6;7) nên $\overrightarrow{PQ}=(0;6;0)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
G(4;6;5), không phải (6;4;5).
c) (AI giải đề cho tôi)
Góc nhị diện 45° cho $\tan 45^{\circ }=h/2=1\Rightarrow h=2$; chiều cao kho = 5 + 2 = 7 m.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trung điểm GQ là M(3;6;6); tuyến cáp O→E→H→M có độ dài $5+6+\sqrt{10}=11+\sqrt{10}$ m.

Gọi $E,J$ lần lượt là trung điểm của $O^{\prime }{A}^{\prime },OA$. Kẻ $B^{\prime }I//EO$
Ta có: $IO=B^{\prime }E=\frac{250\sqrt{3}}{2}=125\sqrt{3}$
$OJ=\frac{OA}{2}=\frac{250}{2}=125$
$O{O}^{\prime }=400$
$\overrightarrow{O{B}^{\prime }}=\overrightarrow{OJ}+\overrightarrow{O{O}^{\prime }}+\overrightarrow{OI}=125\vec{i}+400\vec{j}+125\sqrt{3}\vec{k}$
$\Rightarrow \overrightarrow{O{B}^{\prime }}=(125;400;125\sqrt{3})$

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: O là trung điểm BC, trục Ox theo hướng OC, trục Oy theo hướng OA, Oz vuông góc mặt đáy. Tam giác ABC đều cạnh 2 nên OB = OC = 1, OA = √3. Trọng tâm H của tam giác ABC nằm trên OA với OH = OA/3 = √3/3, và HB = 2√3/3. Vì S.ABC đều nên S nằm trên đường thẳng qua H vuông góc đáy: SH² = SB² − HB² = 9 − 4/3 = 23/3, tức SH = √(23/3). Tọa độ: A(0; √3; 0), S(0; √3/3; √(23/3)). Suy ra AS = (0; −2√3/3; √(23/3)), nên x = 0, y = −2√3/3, z = √(23/3). Khi đó S = x² + y² + z² = 0 + 4/3 + 23/3 = 9. (Kiểm tra: |AS| = SA = 3 đúng vì SA là cạnh bên.)

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ gốc $O$: $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ đôi một tạo góc $60^0,60^0,90^0$, độ dài 2. Vì $AM=2MO$ nên $MO=\frac{2}{3}$, tức $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}$. Với $N$ trung điểm $BC$: $\overrightarrow{ON}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$. Ta có $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}$. Tính: $\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}=2\cdot 2\cos 60^0=2$; $|\overrightarrow{ON}{|}^2=\frac{1}{4}(4+4+2\cdot 2)=3$. $\overrightarrow{ON}\cdot \overrightarrow{OM}=\frac{1}{6}(\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OA})=\frac{1}{6}(2+0)=\frac{1}{3}$. Do đó $|\overrightarrow{MN}{|}^2=3+\frac{4}{9}-2\cdot \frac{1}{3}=\frac{25}{9}$, suy ra $MN=\frac{5}{3}$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $IC=3I{C}^{\prime }$ nên $I$ chia đoạn $C{C}^{\prime }$ theo tỉ số $\frac{\overrightarrow{CI}}{\overrightarrow{I{C}^{\prime }}}=3$, suy ra $\overrightarrow{CI}=\frac{3}{4}\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$, tức $\overrightarrow{OI}=\frac{1}{4}\overrightarrow{OC}+\frac{3}{4}\overrightarrow{O{C}^{\prime }}$. Trọng tâm tứ diện $B{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là $\overrightarrow{OG}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{O{A}^{\prime }}+\overrightarrow{O{B}^{\prime }}+\overrightarrow{O{C}^{\prime }})$. Do đó $\overrightarrow{IG}=\frac{1}{4}(\vec{b}+\vec{a}+(\vec{a}+\vec{b})+(\vec{a}+\vec{c})-\vec{c}-3(\vec{a}+\vec{c}))=\frac{1}{4}(2\vec{b}-3\vec{c})=\frac{1}{2}\vec{b}-\frac{3}{4}\vec{c}$. Vậy đáp án A.