Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

Điểm đối xứng của $M(x;y;z)$ qua mặt phẳng tọa độ $(Oxz)$ giữ nguyên hoành độ $x$ và cao độ $z$, đổi dấu tung độ $y$: $M^{\prime }(x;-y;z)$. Với $M(2;-5;4)$, ta được $M^{\prime }(2;5;4)$.

Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$. Ta có $\overrightarrow{BC}=(-5;6;-2)$. Gọi $D(x_D;y_D;z_D)$, ta có $\overrightarrow{AD}=(x_D-1;y_D-2;z_D+1)$. Do đó: $\{\begin{array}{l}{x}_D-1=-5\\ y_D-2=6\\ z_D+1=-2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}_D=-4\\ y_D=8\\ z_D=-3\end{array}$. Vậy $D(-4;8;-3)$.

Chọn A

AB = ( 2; -1;6 ) .

Ta có $|z|=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$.

Vì $\overrightarrow{OA}=(-2;3;-5)$ nên điểm $A$ có tọa độ là $(-2;3;-5)$.

Đặt $u=3-4i$ ($|u|=5$). Khi $|iz+w-u|$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $|u|-|iz|-|w|=5-2-1=2$, các vectơ biểu diễn $iz$ và $w$ cùng hướng với $u$, tức là $iz=\frac{2}{5}u$ và $w=\frac{1}{5}u$. Khi đó $z=-\frac{2i}{5}u$, suy ra $|z+w|=\left|\left(\frac{1}{5}-\frac{2i}{5}\right)u\right|=\frac{\sqrt{5}}{5}\cdot 5=\sqrt{5}$.

Ta có $\overrightarrow{AO}=(3;17;-2)$. Vì $\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{AO}=(-3;-17;2)$ nên tọa độ của điểm $A$ là $A(-3;-17;2)$.

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{CD}$, do đó đẳng thức $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ là sai. Chọn C.

Theo định nghĩa tọa độ véc-tơ trong không gian $Oxyz$:
$\vec{a}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}\iff \vec{a}=(x;y;z).$
Do đó $\vec{a}=2\vec{i}-3\vec{j}+\vec{k}\iff \vec{a}=(2;-3;1)$.

Chọn đáp án C.

Ta có $\overrightarrow{AB}=(2;-3;1)$ và $\overrightarrow{AC}=(0;-1;1)$.
Tích có hướng của hai véc-tơ:
$[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=\left((-3)(1)-(1)(-1);(1)(0)-(2)(1);(2)(-1)-(-3)(0)\right)=(-2;-2;-2).$
Diện tích tam giác $ABC$ là:
$S=\frac{1}{2}\left|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]\right|=\frac{1}{2}\sqrt{(-2{)}^2+(-2{)}^2+(-2{)}^2}=\frac{1}{2}\sqrt{12}=\sqrt{3}.$

Chọn đáp án B.

Gọi tọa độ các điểm theo giả thiết:
- $A(a;0;0),C(c;0;0)\in Ox$.
- $B(0;2+b;-b),C^{\prime }(0;2+c^{\prime };-c^{\prime })\in \Delta$.
- $D(\sqrt{2};1+d;-1+d),B^{\prime }(\sqrt{2};1+b^{\prime };-1+b^{\prime })\in d$.

Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có tính chất các véc-tơ cạnh:
$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\text{vaˋ}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}.$
Ta có:
- $\overrightarrow{AD}=(\sqrt{2}-a;1+d;-1+d)$.
- $\overrightarrow{BC}=(c;-2-b;b)$.
- $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=(-\sqrt{2};2+c^{\prime }-(1+b^{\prime });-c^{\prime }-(-1+b^{\prime }))=(-\sqrt{2};1+c^{\prime }-b^{\prime };1-c^{\prime }-b^{\prime })$.

Từ $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}$, ta có hệ phương trình:
$\{\begin{array}{l}\sqrt{2}-a=c=-\sqrt{2}\\ 1+d=-2-b=1+c^{\prime }-b^{\prime }\\ -1+d=b=1-c^{\prime }-b^{\prime }\end{array}$
Giải hệ phương trình này:
1. $c=-\sqrt{2}\Rightarrow \sqrt{2}-a=-\sqrt{2}\iff a=2\sqrt{2}$.
2. Từ $-2-b=1+d$ và $b=-1+d$, cộng hai vế: $-2=2d\iff d=-1$.
Thay vào được $b=-2$.
3. Từ đó: $1+c^{\prime }-b^{\prime }=1+d=0\iff b^{\prime }-c^{\prime }=1$ và $1-c^{\prime }-b^{\prime }=b=-2\iff b^{\prime }+c^{\prime }=3$.
Cộng hai vế: $2b^{\prime }=4\iff b^{\prime }=2\Rightarrow c^{\prime }=1$.

Như vậy ta tìm được tọa độ các đỉnh:
- $A(2\sqrt{2};0;0),B(0;0;2),C(-\sqrt{2};0;0)$.
- $B^{\prime }(\sqrt{2};3;1)$.

Từ đó xác định các véc-tơ xuất phát từ đỉnh $B$:
$\overrightarrow{BA}=(2\sqrt{2};0;-2),\overrightarrow{BC}=(-\sqrt{2};0;-2),\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=(\sqrt{2};3;-1).$
Tích có hướng $[\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}]$:
$[\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}]=\left(0;(-2)(-\sqrt{2})-(2\sqrt{2})(-2);0\right)=(0;6\sqrt{2};0).$
Thể tích khối hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là:
$V=\left|[\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}]\cdot \overrightarrow{B{B}^{\prime }}\right|=|0\cdot \sqrt{2}+6\sqrt{2}\cdot 3+0\cdot (-1)|=18\sqrt{2}.$

Chọn đáp án B.

Ta có $2\vec{b}=(4;-4;2)$.

Do đó $\vec{x}=\vec{a}+2\vec{b}=(-4+4;5-4;-3+2)=(0;1;-1)$.

Theo định nghĩa tọa độ vectơ: $\vec{a}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}⟹\vec{a}=(x;y;z)=(-1;2;-3)$.
Chọn đáp án D.

Điểm $M(a;b)$ biểu diễn số phức $z=a+bi$.
Do đó điểm $M(-3;4)$ biểu diễn số phức $z_3=-3+4i$.
Chọn đáp án B.

Ta có $\overrightarrow{B^{\prime }C}=\overrightarrow{B^{\prime }B}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=-\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}$. Chọn C.

Vì máy bay giữ nguyên tốc độ và hướng bay nên trong $10$ phút tiếp theo $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}$, tức $B$ là trung điểm $AC$. Suy ra $C=2B-A=(2\cdot 950-812;2\cdot 530-600;2\cdot 6-5)=(1088;460;7)$. Vậy $x+y+z=1088+460+7=1555$.

Vì $\vec{a}=3\vec{i}-1\vec{j}+5\vec{k}$ nên tọa độ của vectơ $\vec{a}$ là $(3;-1;5)$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 170, trang 7), chọn A.

Theo quy tắc hình hộp, $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\right|=\left|\overrightarrow{A{C}^{\prime }}\right|=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2+A{A}^{\prime 2}}=\sqrt{2^2+3^2+6^2}=7$. Chọn A.

Đặt $\vec{a}=\overrightarrow{AB},\vec{b}=\overrightarrow{AD},\vec{c}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$, ta có $|\vec{a}|=3,|\vec{b}|=4,|\vec{c}|=5$, $\vec{a}\cdot \vec{b}=0,\vec{a}\cdot \vec{c}=\frac{15}{2},\vec{b}\cdot \vec{c}=10$. Khi đó $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\Rightarrow |\overrightarrow{A{C}^{\prime }}|=\sqrt{9+16+25+2(0+7,5+10)}=\sqrt{85}$, và $\overrightarrow{D^{\prime }C}=\vec{a}-\vec{c}\Rightarrow |\overrightarrow{D^{\prime }C}|=\sqrt{9+25-15}=\sqrt{19}$. Tích vô hướng $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{D^{\prime }C}=(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\cdot (\vec{a}-\vec{c})=|\vec{a}{|}^2-|\vec{c}{|}^2+\vec{b}\cdot \vec{a}-\vec{b}\cdot \vec{c}=9-25+0-10=-26$. Do đó $\cos \left(\overrightarrow{A{C}^{\prime }},\overrightarrow{D^{\prime }C}\right)=\frac{-26}{\sqrt{85}\cdot \sqrt{19}}\Rightarrow \left(\overrightarrow{A{C}^{\prime }},\overrightarrow{D^{\prime }C}\right)\approx 130^{\circ }$.

Ta có $\vec{a}=(0;2;-3),\vec{b}=(4;1;1)⟹\vec{v}=2\vec{a}-\vec{b}=(-4;3;-7)⟹|\vec{v}|=\sqrt{74}$.