Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Xác suất toàn phần (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 6.3: Cho $P(A)=\frac{2}{5}$, $P(B|A)=\frac{1}{3}$, $P(B|\overline{A})=\frac{1}{4}$.

a) Theo định nghĩa xác suất có điều kiện: $P(AB)=P(B|A)\cdot P(A)=\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{5}=\frac{2}{15}$. Vậy chọn A.

b) $P(\overline{A})=1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$. Khi đó $P(B\overline{A})=P(B|\overline{A})\cdot P(\overline{A})=\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{5}=\frac{3}{20}$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi A là biến cố 'em được chọn có giải'. Xác suất chọn em thuộc đội Toán là $P(T)=\frac{10}{18}=\frac{5}{9}$, đội Ngữ văn là $P(V)=\frac{8}{18}=\frac{4}{9}$. Xác suất có giải: $P(A|T)=0,8$, $P(A|V)=0,7$. Theo công thức xác suất toàn phần: $P(A)=P(T)\cdot P(A|T)+P(V)\cdot P(A|V)=\frac{5}{9}\cdot 0,8+\frac{4}{9}\cdot 0,7=\frac{4}{9}+\frac{2,8}{9}=\frac{6,8}{9}=\frac{34}{45}\approx 0,7556$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức xác suất toàn phần: $P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|\overline{B})P(\overline{B})=0,8\cdot 0,4+0,3\cdot 0,6=0,32+0,18=0,5$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M_1$: sản phẩm do máy I sản xuất, $M_2$: sản phẩm do máy II sản xuất, $F$: sản phẩm là phế phẩm. Ta có $P(M_1)=0,35$, $P(M_2)=0,65$, $P(F|M_1)=0,003$, $P(F|M_2)=0,007$. Theo công thức xác suất toàn phần: $P(F)=P(M_1)P(F|M_1)+P(M_2)P(F|M_2)=0,35\cdot 0,003+0,65\cdot 0,007=0,00105+0,00455=0,0056$. Vậy xác suất chọn được phế phẩm là $0,0056$. Lưu ý: phương án A và D trong đề trùng nhau (cùng giá trị 0,0056) — đây là lỗi in của đề, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Xác suất chọn xạ thủ loại I là 2/10 = 0,2; loại II là 8/10 = 0,8. Theo công thức xác suất toàn phần: P(trúng) = 0,2 × 0,9 + 0,8 × 0,7 = 0,18 + 0,56 = 0,74. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $H_1$: chuyển bi đỏ từ hộp 1 sang hộp 2, $P(H_1)=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$; $H_2$: chuyển bi xanh, $P(H_2)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$.
- Nếu chuyển bi đỏ: hộp 2 có 8 đỏ, 3 xanh (11 viên), xác suất lấy 2 đỏ là $\frac{C_8^2}{C_{11}^2}=\frac{28}{55}$.
- Nếu chuyển bi xanh: hộp 2 có 7 đỏ, 4 xanh, xác suất lấy 2 đỏ là $\frac{C_7^2}{C_{11}^2}=\frac{21}{55}$.
Theo công thức xác suất toàn phần: $P=\frac{3}{5}\cdot \frac{28}{55}+\frac{2}{5}\cdot \frac{21}{55}=\frac{84+42}{275}=\frac{126}{275}$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ dữ kiện: $105/200$ người trả lời 'sẽ mua' nên $P(B)=\frac{105}{200}=\frac{21}{40}$, $P(\overline{B})=\frac{95}{200}=\frac{19}{40}$ → a đúng. Tỉ lệ thực sự mua tương ứng: $P(A|B)=0,7$, $P(A|\overline{B})=0,3$ → b sai (b nói 0,3). Theo công thức xác suất toàn phần: $P(A)=0,7\cdot \frac{21}{40}+0,3\cdot \frac{19}{40}=\frac{14,7+5,7}{40}=\frac{20,4}{40}=0,51$ → c đúng. Xét $P(B|A)=\frac{P(A|B)P(B)}{P(A)}=\frac{0,7\cdot 0,525}{0,51}=\frac{0,3675}{0,51}\approx 0,7206\approx 72\%$, tức khoảng 70% người thực sự mua đã trả lời 'sẽ mua' → d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$P(B)=\frac{105}{200}=\frac{21}{40}$ và $P(\overline{B})=\frac{95}{200}=\frac{19}{40}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Theo đề, tỉ lệ thực sự mua trong nhóm trả lời 'sẽ mua' là 70%, nên $P(A|B)=0,7$, không phải 0,3.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|\overline{B})P(\overline{B})=0,7\cdot \frac{21}{40}+0,3\cdot \frac{19}{40}=0,51$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P(B|A)=\frac{0,7\cdot \frac{21}{40}}{0,51}\approx 0,72\approx 72\%$, khoảng 70% người thực sự mua đã trả lời 'sẽ mua'.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi M là biến cố 'có mưa thứ Hai', T là 'có mưa thứ Ba'. Theo đề: P(M)=x^2, P(T|M)=x/4, P(T|M̄)=x, với 0≤x≤1.
a) P(M và T)=P(M)·P(T|M)=x^2·(x/4)=x^3/4, không phải 2x^3 → sai.
b) Với x=0,5: P(M và T)=(0,5)^3/4=0,03125=3,125%, không phải 25% → sai.
c) Theo công thức xác suất toàn phần: P(T)=P(M)P(T|M)+P(M̄)P(T|M̄)=x^2·(x/4)+(1−x^2)·x=x−(3x^3)/4, không phải x+x^2−(3x^3)/4 → sai.
d) Xét f(x)=x−(3x^3)/4 trên [0;1], f'(x)=1−(9x^2)/4=0 ⇒ x=2/3, f(2/3)=2/3−(3/4)(8/27)=4/9 (max). Khi đó xác suất mưa thứ Hai là x^2=4/9=12/27, không phải 16/27 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
P(mưa cả thứ Hai và thứ Ba)=x^2·(x/4)=x^3/4 ≠ 2x^3.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với x=0,5: x^3/4=0,03125=3,125% ≠ 25%.
c) (AI giải đề cho tôi)
P(T)=x^2·(x/4)+(1−x^2)x=x−(3x^3)/4, khác biểu thức đã cho.
d) (AI giải đề cho tôi)
P(T)=x−(3x^3)/4 đạt max tại x=2/3 với giá trị 4/9; khi đó P(mưa thứ Hai)=x^2=4/9=12/27 ≠ 16/27.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi xác suất cây bố mang kiểu gene $bb$ là $0,4$, kiểu $Bb$ là $0,6$.
a) Nếu cây bố có kiểu gene $bb$ thì cả hai gene đều là $b$, nên xác suất cây con lấy gene $b$ từ bố là $1$, không phải $0,5$. Khẳng định SAI.
b) Nếu cây bố có kiểu gene $Bb$ thì cây con lấy ngẫu nhiên một trong hai gene $B,b$ với xác suất như nhau, nên xác suất lấy gene $b$ là $0,5$. Khẳng định ĐÚNG.
c) Theo công thức xác suất toàn phần: $P(b)=0,4\cdot 1+0,6\cdot 0,5=0,4+0,3=0,7$. Khẳng định ĐÚNG.
d) Cây bố và cây mẹ được chọn độc lập từ cùng quần thể, nên xác suất mỗi bên truyền gene $b$ đều là $0,7$ và độc lập. Do đó $P(bb)=0,7\cdot 0,7=0,49$. Khẳng định ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
Cây bố kiểu gene $bb$ chỉ có gene $b$, nên xác suất cây con lấy gene $b$ từ bố là $1$, không phải $0,5$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Cây bố kiểu gene $Bb$ có hai gene $B,b$, cây con lấy ngẫu nhiên một gene nên xác suất lấy $b$ là $0,5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Theo công thức xác suất toàn phần: $P(b)=0,4\cdot 1+0,6\cdot 0,5=0,7$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Cây bố và mẹ độc lập, mỗi bên truyền gene $b$ với xác suất $0,7$, nên $P(bb)=0,7^2=0,49$.

(AI giải đề cho tôi)
Xác suất cây bố có kiểu gene $bb$ là $0,4$, kiểu $Bb$ là $0,6$.
a) Nếu cây bố có kiểu $bb$ thì cả hai gene đều là $b$, nên xác suất cây con lấy gene $b$ từ bố là $1$, không phải $0,5$ → Sai.
b) Nếu cây bố có kiểu $Bb$ thì cây con lấy ngẫu nhiên một trong hai gene $B,b$ với xác suất như nhau, nên xác suất lấy gene $b$ là $0,5$ → Đúng.
c) Theo công thức xác suất toàn phần: $P(b)=0,4\cdot 1+0,6\cdot 0,5=0,7$ → Đúng.
d) Cây bố và cây mẹ được chọn độc lập, nên xác suất cây con nhận gene $b$ từ cả bố và mẹ là $P(bb)=0,7\cdot 0,7=0,49$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Cây bố kiểu $bb$ chỉ có gene $b$, nên xác suất cây con lấy gene $b$ từ bố là $1$, không phải $0,5$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Cây bố kiểu $Bb$ có hai gene $B,b$, cây con lấy ngẫu nhiên một gene nên xác suất lấy $b$ là $0,5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P(b)=0,4\cdot 1+0,6\cdot 0,5=0,7$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Do tính độc lập, $P(bb)=0,7\cdot 0,7=0,49$.

(AI giải đề cho tôi)
Số bi đỏ đánh số: 80% của 30 = 24 viên; số bi vàng đánh số: 60% của 20 = 12 viên. Tổng bi đánh số = 36 viên; tổng bi không đánh số = 14 viên (đỏ: 6, vàng: 8).
a) Xác suất lấy được bi đánh số màu vàng = 12/50 = 0,24 ≠ 0,6 → sai.
b) Xác suất lấy được bi không đánh số màu đỏ = 6/50 = 0,12 ≠ 0,8 → sai.
c) Xác suất viên bi lấy ra có đánh số = 36/50 = 0,72 → đúng.
d) Xác suất lấy viên bi màu đỏ có đánh số = 24/50 = 12/25 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số bi vàng đánh số là 60% của 20 = 12 viên, nên xác suất là 12/50 = 0,24, không phải 0,6.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số bi đỏ không đánh số là 20% của 30 = 6 viên, nên xác suất là 6/50 = 0,12, không phải 0,8.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tổng bi đánh số = 24 + 12 = 36 viên, xác suất = 36/50 = 0,72.
d) (AI giải đề cho tôi)
Số bi đỏ đánh số = 24 viên, xác suất = 24/50 = 12/25.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi X, Y là biến cố sản phẩm do phân xưởng X, Y sản xuất; F là biến cố lấy được phế phẩm. Ta có P(X)=0,6; P(Y)=0,4; P(F|X)=0,1; P(F|Y)=0,05.
a) Xác suất lấy được sản phẩm tốt biết do X sản xuất: P(F̄|X)=1−0,1=0,9=90% → đúng.
b) Theo công thức xác suất toàn phần: P(F)=0,6·0,1+0,4·0,05=0,06+0,02=0,08=8% ≠ 10% → sai.
c) Theo công thức Bayes: P(Y|F)=P(Y)P(F|Y)/P(F)=0,02/0,08=0,25=25% ≠ 75% → sai.
d) P(X|F̄)=0,6·0,9/0,92=0,54/0,92≈0,587; P(Y|F̄)=0,4·0,95/0,92=0,38/0,92≈0,413. Vì 0,587>0,413 nên khả năng sản phẩm tốt do X sản xuất cao hơn do Y sản xuất → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
P(sản phẩm tốt | X)=1−P(phế phẩm | X)=1−0,1=0,9=90%.
b) (AI giải đề cho tôi)
P(phế phẩm)=0,6·0,1+0,4·0,05=0,08=8%, không phải 10%.
c) (AI giải đề cho tôi)
P(Y | phế phẩm)=0,4·0,05/0,08=0,25=25%, không phải 75%.
d) (AI giải đề cho tôi)
P(X | tốt)=0,54/0,92≈0,587 > P(Y | tốt)=0,38/0,92≈0,413.

(AI giải đề cho tôi)
Từ sơ đồ hình cây: $P(A)=0,2$, $P(\overline{A})=0,8$, $P(B\mid A)=0,7$, $P(\overline{B}\mid A)=0,3$, $P(B\mid \overline{A})=0,6$, $P(\overline{B}\mid \overline{A})=0,4$.

a) Theo công thức xác suất toàn phần: $P(B)=P(A)P(B\mid A)+P(\overline{A})P(B\mid \overline{A})$ → đúng.

b) Từ cây: $P(B\mid A)=0,7\ne 0,6$ → sai.

c) $P(B)=0,2\cdot 0,7+0,8\cdot 0,6=0,14+0,48=0,62$ → đúng.

d) $P(\overline{B})=1-0,62=0,38\ne 0,4$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đây chính là công thức xác suất toàn phần với hai biến cố đối $A$ và $\overline{A}$: $P(B)=P(A)P(B\mid A)+P(\overline{A})P(B\mid \overline{A})$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ sơ đồ hình cây, nhánh từ $A$ đến $B$ có giá trị $0,7$, nên $P(B\mid A)=0,7\ne 0,6$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P(B)=P(A)P(B\mid A)+P(\overline{A})P(B\mid \overline{A})=0,2\cdot 0,7+0,8\cdot 0,6=0,14+0,48=0,62$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P(\overline{B})=1-P(B)=1-0,62=0,38\ne 0,4$. (Số $0,4$ trên cây là $P(\overline{B}\mid \overline{A})$, không phải $P(\overline{B})$.)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi C là biến cố An chăm chỉ làm bài tập về nhà, G là biến cố An đạt điểm tốt. Ta có P(G|C)=0,9; P(Ḡ|C̄)=0,85; P(C)=0,75 nên P(C̄)=0,25.
a) P(Ḡ|C)=1−P(G|C)=1−0,9=0,1 → đúng.
b) P(G|C̄)=1−P(Ḡ|C̄)=1−0,85=0,15≠0,2 → sai.
c) Theo công thức xác suất toàn phần: P(Ḡ)=P(C)P(Ḡ|C)+P(C̄)P(Ḡ|C̄)=0,75·0,1+0,25·0,85=0,075+0,2125=0,2875≠0,35 → sai.
d) P(G)=P(C)P(G|C)+P(C̄)P(G|C̄)=0,75·0,9+0,25·0,15=0,675+0,0375=0,7125 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
P(Ḡ|C)=1−0,9=0,1.
b) (AI giải đề cho tôi)
P(G|C̄)=1−0,85=0,15, không phải 0,2.
c) (AI giải đề cho tôi)
P(Ḡ)=0,75·0,1+0,25·0,85=0,2875≠0,35.
d) (AI giải đề cho tôi)
P(G)=0,75·0,9+0,25·0,15=0,7125.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi A là tập bạn biết chơi Organ (27 bạn), B là tập bạn biết chơi Guitar (25 bạn). Vì mỗi bạn biết ít nhất một loại đàn nên |A ∪ B| = 40. Số bạn biết cả hai loại đàn: |A ∩ B| = 27 + 25 − 40 = 12. Xác suất chọn được bạn biết chơi Organ, biết bạn đó chơi được Guitar là xác suất có điều kiện P(A|B) = |A ∩ B| / |B| = 12/25 = 0,48.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi số thùng loại III là $x$, khi đó loại II là $3x$, loại I là $6x$, tổng $10x$ thùng. Xác suất chọn được mỗi loại: $P(I)=\frac{6}{10}=0,6$, $P(II)=\frac{3}{10}=0,3$, $P(III)=\frac{1}{10}=0,1$.

Gọi $A$ là biến cố 'lấy được đúng 2 lon quá hạn trong 10 lon chọn từ thùng'.

- Loại I (3 lon quá hạn, 21 lon thường): $P(A|I)=\frac{C_3^2{C}_{21}^8}{C_{24}^{10}}=\frac{3\cdot 203490}{1961256}\approx 0,31128$.
- Loại II (2 lon quá hạn, 22 lon thường): $P(A|II)=\frac{C_2^2{C}_{22}^8}{C_{24}^{10}}=\frac{319770}{1961256}\approx 0,16304$.
- Loại III (4 lon quá hạn, 20 lon thường): $P(A|III)=\frac{C_4^2{C}_{20}^8}{C_{24}^{10}}=\frac{6\cdot 125970}{1961256}\approx 0,38537$.

Theo công thức xác suất toàn phần:
$$P(A)=0,6\cdot 0,31128+0,3\cdot 0,16304+0,1\cdot 0,38537\approx 0,2742.$$

Làm tròn đến hàng phần mười: $P(A)\approx 0,3$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi A là biến cố 'lần thứ hai lấy được bi xanh'. Xét hai khả năng ở lần lấy thứ nhất: lần thứ nhất lấy bi xanh với xác suất $\frac{5}{8}$, khi đó lần hai còn 4 bi xanh trên 7 bi nên $P(A|X)=\frac{4}{7}$; lần thứ nhất lấy bi đỏ với xác suất $\frac{3}{8}$, khi đó lần hai còn 5 bi xanh trên 7 bi nên $P(A|Đ)=\frac{5}{7}$. Theo công thức xác suất toàn phần: $P(A)=\frac{5}{8}\cdot \frac{4}{7}+\frac{3}{8}\cdot \frac{5}{7}=\frac{20}{56}+\frac{15}{56}=\frac{35}{56}=\frac{5}{8}=0,625$. Làm tròn đến hàng phần trăm ta được $0,63$.

(AI giải đề cho tôi)
**Bài 1:** Bình có 5 bi xanh, 3 bi đỏ (tổng 8 bi). Gọi A là biến cố "lần thứ hai lấy được bi xanh". Xét hai khả năng ở lần lấy thứ nhất:
- Lần 1 được bi xanh (xác suất $5/8$), còn 7 bi trong đó 4 xanh: $P(A|X_1)=4/7$.
- Lần 1 được bi đỏ (xác suất $3/8$), còn 7 bi trong đó 5 xanh: $P(A|{Đ}_1)=5/7$.

Theo công thức xác suất toàn phần:
$$P(A)=\frac{5}{8}\cdot \frac{4}{7}+\frac{3}{8}\cdot \frac{5}{7}=\frac{20+15}{56}=\frac{35}{56}=\frac{5}{8}.$$

(Kết quả này cũng đúng theo tính đối xứng: mỗi viên bi có xác suất như nhau được lấy ở lần thứ hai.)

**Bài 2:** Hộp 1: 6 xanh, 3 vàng, 1 đỏ (10 bi). Hộp 2: 4 xanh, 2 vàng, 3 đỏ (9 bi). Lấy ngẫu nhiên 2 bi từ mỗi hộp.

Xác suất lấy 2 bi xanh từ hộp 1:
$$P_1=\frac{C_6^2}{C_{10}^2}=\frac{15}{45}=\frac{1}{3}.$$

Xác suất lấy 2 bi xanh từ hộp 2:
$$P_2=\frac{C_4^2}{C_9^2}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}.$$

Hai hộp độc lập nên xác suất lấy được bốn bi xanh:
$$P=P_1\cdot P_2=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{18}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Từ sơ đồ hình cây: $P(A)=0,2$, $P(\bar{A})=0,8$; $P(B|A)=0,7$, $P(B|\bar{A})=0,6$. Theo công thức xác suất toàn phần: $P(B)=P(A)\cdot P(B|A)+P(\bar{A})\cdot P(B|\bar{A})=0,2\cdot 0,7+0,8\cdot 0,6=0,14+0,48=0,62$. Vậy chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A$ là biến cố 'người được xét nghiệm thực sự nhiễm virus', $B$ là biến cố 'kết quả xét nghiệm dương tính'. Theo đề: $P(A)=0,01$; $P(B|A)=0,762$ (độ nhạy); $P(\overline{B}|\overline{A})=0,991$ nên $P(B|\overline{A})=1-0,991=0,009$ (tỉ lệ dương tính giả). Theo công thức xác suất toàn phần: $$P(B)=P(A)P(B|A)+P(\overline{A})P(B|\overline{A})=0,01\cdot 0,762+0,99\cdot 0,009=0,00762+0,00891=0,01653.$$ Làm tròn đến hàng phần trăm: $P(B)\approx 0,02$ (tức khoảng $1,65\%$, làm tròn thành $2\%$).