Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT/hệ BPT bậc nhất hai ẩn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn yêu cầu mỗi bất phương trình đều bậc nhất hai ẩn (ẩn $x$, $y$ chỉ xuất hiện bậc một). Xét từng hệ: A có $x+y>0$ và $x-3y\le 1$ đều bậc nhất; B có $2x+3y>10$ và $x-4y<1$ đều bậc nhất; D có $2y-3>0$ và $x-4y\le 1$ đều bậc nhất. Riêng hệ C có bất phương trình $3xy-y\le 5$ chứa tích $xy$ (bậc hai), nên không phải bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Vậy hệ C không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, Câu 7: C).

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax+by+c\le 0$ (hoặc $<,>,\ge$) với $a,b$ không đồng thời bằng 0, tức là mỗi ẩn chỉ xuất hiện bậc nhất và không có tích giữa các ẩn. Xét các phương án: A: $x-y\le -2$ là bậc nhất hai ẩn. B: $x+3xy>2$ chứa số hạng $3xy$ (bậc hai theo hai ẩn), nên không phải bất phương trình bậc nhất hai ẩn. C: $3x+8y\ge 1$ là bậc nhất hai ẩn. D: $-x+5y<-4$ là bậc nhất hai ẩn. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 10: B).

(AI giải đề cho tôi)
Thử từng điểm vào hệ $\{\begin{array}{l}x+2y+2\le 0\\ 3x-y+5\ge 0\end{array}$: Với $Q(2;-3)$: $2+2(-3)+2=-2\le 0$ và $3\cdot 2-(-3)+5=14\ge 0$, thỏa cả hai. Với $P(-2;1)$: $-2+2\cdot 1+2=2>0$, không thỏa bất phương trình thứ nhất nên $P$ không thuộc miền nghiệm. Với $M(0;-1)$: $0-2+2=0\le 0$ và $0+1+5=6\ge 0$, thỏa. Với $N(1;-2)$: $1-4+2=-1\le 0$ và $3+2+5=10\ge 0$, thỏa. Vậy điểm không thuộc miền nghiệm là $P(-2;1)$, khớp đáp án nguồn.

Hướng dẫn chấm (Mã đề 101; 103; 105; 107):
Vẽ đường thẳng d: $2x-y=4$ trên mặt phẳng tọa độ
- Xác định được tọa độ 2 điểm (0,25 đ)
- Biểu diễn lên mặt phẳng tọa độ và vẽ đường thẳng (0,25 đ)
Xác định miền nghiệm của bất phương trình
- Lấy điểm $M_o(0;0)$ không thuộc d (0,125 đ)
- Kiểm tra và xác định miền nghiệm (0,125 đ)
Biểu diễn miền nghiệm trên mặt phẳng tọa độ và kết luận miền nghiệm (0,25 đ)

(AI giải đề cho tôi)
Thử từng điểm vào hệ bất phương trình $\{\begin{array}{l}3x-4y+12\ge 0\\ x+y-5\ge 0\\ x+1>0\end{array}$:
- $P(-1;5)$: $x+1=0$ không thỏa $x+1>0$, loại.
- $M(1;-3)$: $1+(-3)-5=-7<0$, loại.
- $N(4;3)$: $3\cdot 4-4\cdot 3+12=12\ge 0$; $4+3-5=2\ge 0$; $4+1=5>0$ — thỏa cả ba bất phương trình.
- $Q(-2;-3)$: $x+1=-1<0$, loại.
Vậy miền nghiệm chứa điểm $N(4;3)$, khớp đáp án nguồn (mã đề 101, câu 5: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn phải có mỗi bất phương trình dạng $ax+by+c\le 0$ (hoặc $<,>,\ge$) với $a,b$ không đồng thời bằng 0, và chỉ có hai ẩn $x,y$. Xét từng phương án: A có $3x-2xy\ge 3$ chứa hạng tử $xy$ bậc hai, loại. B có $x-2y+z<1$ chứa ba ẩn $x,y,z$, loại. D có $7x^2-y<3$ chứa $x^2$ bậc hai, loại. C có $\{\begin{array}{l}x+4y\ge 2\\ x+2y<0\end{array}$: cả hai bất phương trình đều bậc nhất hai ẩn $x,y$, thỏa mãn. Vậy đáp án là C, khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 9: C).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: ràng buộc từ đề: hương liệu $x+4y\le 24$, nước lọc $x+y\le 9$, đường $30x+10y\le 210$, với $x,y$ tự nhiên, $x,y\ge 0$.
b) Đúng: tại $M(2;1)$: $2+1=3\le 9$; $30\cdot 2+10\cdot 1=70\le 210$; $2+4\cdot 1=6\le 24$, nên $M$ thuộc miền nghiệm.
c) Sai: các đỉnh của miền nghiệm (phần liên tiếp) là $(0;0),(7;0),(6;3),(4;5),(0;6)$ — giao của $3x+y=21$ với $x+y=9$ là $(6;3)$, giao của $x+y=9$ với $x+4y=24$ là $(4;5)$ — miền là ngũ giác, không phải tứ giác.
d) Sai: hàm mục tiêu $P=6x+8y$. Tại $(7;0)$: $P=42$; tại $(6;3)$: $P=60$; tại $(4;5)$: $P=64$; tại $(0;6)$: $P=48$. Giá trị lớn nhất $P=64$ đạt tại $x=4,y=5$, tức pha 4 cốc loại $X$ và 5 cốc loại $Y$, không phải 6 cốc $X$ và 3 cốc $Y$ (cho $P=60$).
a) (AI giải đề cho tôi)
Ràng buộc đúng với dữ kiện: hương liệu $x+4y\le 24$, nước lọc $x+y\le 9$, đường $30x+10y\le 210$, $x,y$ tự nhiên không âm.
b) (AI giải đề cho tôi)
$M(2;1)$ thỏa mọi bất đẳng thức: $3\le 9$, $70\le 210$, $6\le 24$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm có 5 đỉnh $(0;0),(7;0),(6;3),(4;5),(0;6)$ nên là ngũ giác, không phải tứ giác.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P=6x+8y$ đạt max $64$ tại $(4;5)$, không phải tại $(6;3)$ với $P=60$.

(AI giải đề cho tôi)
Bờ $d$ của bất phương trình $ax-y<b$ là đường thẳng $ax-y=b$, tức $y=ax-b$. Từ hình vẽ, đường thẳng này đi qua hai điểm $(0;-3)$ (cắt trục $Oy$) và $\left(\frac{3}{2};0\right)$ (cắt trục $Ox$).

- Thay điểm $(0;-3)$: $a\cdot 0-(-3)=b\Rightarrow b=3$.
- Thay điểm $\left(\frac{3}{2};0\right)$: $a\cdot \frac{3}{2}-0=b=3\Rightarrow a=2$.

Kiểm tra: bất phương trình $2x-y<3\iff y>2x-3$, tức miền nghiệm là nửa mặt phẳng phía trên đường thẳng $y=2x-3$ — đúng là phần không bị gạch trong hình (phần gạch nằm phía dưới-phải của bờ). Thử điểm $O(0;0)$ thuộc miền không gạch: $2\cdot 0-0=0<3$ đúng, thỏa mãn.

Vậy $a+b=2+3=5$, khớp với đáp án đã cho (bảng đáp án Phần III: Câu 16 → 5).

Vẽ d: $x-2y=2$ đi qua A(2; 0) và B(0; -1).

Ta thấy $0-2.0<2$ nên gốc tọa độ O(0;0) thuộc miền nghiệm của bpt.

[Hình cần kiểm tra lại: p5_f1]

Do đó miền nghiệm của bpt $x-2y\le 2$ là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d chứa gốc tọa độ O (phần không bị gạch, tính cả đường thẳng d).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ trong hình đi qua gốc $O(0;0)$ và điểm $(1;-2)$, nên $d$ có phương trình $y=-2x$, tức $2x+y=0$. Miền không bị gạch chéo là nửa mặt phẳng không chứa điểm $(0;1)$ (vì $2\cdot 0+1=1>0$), tức là nửa mặt phẳng các điểm có $2x+y\le 0$. Thử một điểm thuộc miền không gạch chéo, ví dụ $(-1;1)$: $2(-1)+1=-1\le 0$, thỏa mãn. Vì miền nghiệm bao gồm cả đường thẳng $d$ nên bất phương trình phải có dấu $\le$ (loại D). Vậy miền nghiệm là $2x+y\le 0$, đáp án C, khớp với đáp số nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Thử từng điểm vào hệ bất phương trình $\{\begin{array}{l}x+3y-2\ge 0\\ 2x+y+1\le 0\end{array}$:
- $M(0;1)$: $0+3-2=1\ge 0$ đúng, nhưng $2\cdot 0+1+1=2>0$ sai.
- $N(-1;1)$: $-1+3-2=0\ge 0$ đúng và $2(-1)+1+1=0\le 0$ đúng.
- $P(1;3)$: $1+9-2=8\ge 0$ đúng, nhưng $2+3+1=6>0$ sai.
- $Q(-1;0)$: $-1+0-2=-3<0$ sai.
Vậy chỉ có $N(-1;1)$ thuộc miền nghiệm, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Thay từng cặp số vào bất phương trình $2x+y-7>0$: Với $(3;2)$: $2\cdot 3+2-7=1>0$, là nghiệm. Với $(5;-1)$: $2\cdot 5-1-7=2>0$, là nghiệm. Với $(-2;5)$: $2\cdot (-2)+5-7=-6<0$, không thỏa mãn, nên không phải nghiệm. Với $(4;0)$: $2\cdot 4+0-7=1>0$, là nghiệm. Vậy cặp số không phải nghiệm là $(-2;5)$, khớp với đáp án nguồn.

Vẽ đường thẳng $3x-2y=2$ (0,5 điểm)
Lấy điểm $O(0;0)$ ta có: $3.0-2.0\ge 2$ (Mệnh đề sai)
Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng không chứa điểm O, kể cả đường thẳng d (0,5 điểm)
Vẽ đồ thị
[Hình cần kiểm tra lại: p4_f1]

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax+by>c$ (hoặc $\ge ,<,\le$) với $a,b$ không đồng thời bằng 0, và chỉ chứa hai ẩn $x,y$ với bậc của mỗi ẩn là 1. Xét từng phương án: A) $2x^2+5y>3$ có ẩn $x$ bậc 2 nên không phải. B) $3x^2+2x-4>0$ là bất phương trình một ẩn bậc hai nên không phải. C) $2x\le 5y+3z$ chứa ba ẩn $x,y,z$ nên không phải. D) $2x-3y>5$ có dạng bậc nhất hai ẩn, thỏa mãn. Kết quả trùng với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Thay từng cặp số vào bất phương trình $2x+y<1$: A(0;0): $0<1$ đúng, là nghiệm. B(-2;1): $-4+1=-3<1$ đúng, là nghiệm. C(0;1): $0+1=1<1$ sai, không là nghiệm. D(3;-7): $6-7=-1<1$ đúng, là nghiệm. Vậy cặp số không là nghiệm là (0;1), khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ mà mỗi bất phương trình đều có dạng $ax+by+c>0$ (hoặc $<,\ge ,\le$) với $a,b$ không đồng thời bằng 0, tức là mỗi ẩn chỉ xuất hiện bậc nhất. Xét từng phương án: A có $x^2+3y>6$ chứa $x^2$ (bậc hai) nên loại. B có $x^2+3y^2>6$ chứa $x^2,y^2$ nên loại. C có $-2x^2+5y<4$ chứa $x^2$ nên loại. D có $-2x+5y<4$ và $x+3y>6$, cả hai đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 11: D).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng điểm với hệ $(I)$: $-x+y<2$ và $x+4y>-4$.
a) $B(-4;-1)$: $-(-4)+(-1)=3$, không thỏa $3<2$, nên $B$ không thuộc miền nghiệm → Sai.
b) $D(3;-1)$: $-3+(-1)=-4<2$ thỏa; $3+4(-1)=-1>-4$ thỏa → $D$ thuộc miền nghiệm → Đúng.
c) $C(1;1)$: $-1+1=0<2$ thỏa; $1+4=5>-4$ thỏa → $C$ thuộc miền nghiệm → Đúng.
d) $O(0;0)$: $0<2$ thỏa; $0>-4$ thỏa → $O$ thuộc miền nghiệm, nên khẳng định 'O không thuộc miền nghiệm' là Sai.
Kết quả: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai, khớp đáp án chính thức (Mã đề 102).
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay $B(-4;-1)$: $-(-4)+(-1)=3$ không thỏa $3<2$, nên $B$ không thuộc miền nghiệm của $(I)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $D(3;-1)$: $-3-1=-4<2$ và $3-4=-1>-4$, cả hai đều thỏa nên $D$ thuộc miền nghiệm.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay $C(1;1)$: $-1+1=0<2$ và $1+4=5>-4$, cả hai đều thỏa nên $C$ thuộc miền nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
Thay $O(0;0)$: $0<2$ và $0>-4$ đều thỏa, nên $O$ thuộc miền nghiệm; khẳng định 'không thuộc' là sai.

(AI giải đề cho tôi)
Bạn An mua 10 cây bút với giá 7.000 đồng/cây, tốn 10 × 7.000 = 70.000 đồng. Số tiền còn lại: 200.000 − 70.000 = 130.000 đồng. Số quyển tập tối đa: 130.000 : 15.000 = 8,66..., nên mua được tối đa 8 quyển tập (kiểm tra: 8 × 15.000 = 120.000 ≤ 130.000; 9 × 15.000 = 135.000 > 130.000). Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, Phần III câu 3 = 8).

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax+by+c\le 0$ (hoặc $<,>,\ge$) với $a,b$ không đồng thời bằng 0, ẩn $x,y$ chỉ có bậc nhất. Xét từng phương án: A) $x+y^3\le 3$ có $y^3$ (bậc 3) nên không phải. B) $2x^2+3y>4$ có $x^2$ (bậc 2) nên không phải. C) $3^{2}x+4^{3}y\ge 6$ tức $9x+64y\ge 6$, hệ số $9,64$ là hằng số, ẩn $x,y$ bậc nhất, đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. D) $xy+x<5$ có hạng tử $xy$ bậc hai nên không phải. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 7: C).

(AI giải đề cho tôi)
Thử từng điểm vào hệ $\{\begin{array}{l}x+3y-2\ge 0\\ 2x+y+1\le 0\end{array}$: Với $Q(-1;0)$: $-1+0-2=-3<0$ (loại). Với $M(0;1)$: $0+3-2=1\ge 0$ nhưng $0+1+1=2>0$ (loại). Với $N(-1;1)$: $-1+3-2=0\ge 0$ và $2(-1)+1+1=0\le 0$, thỏa cả hai bất phương trình. Với $P(1;3)$: $1+9-2=8\ge 0$ nhưng $2+3+1=6>0$ (loại). Vậy điểm thuộc miền nghiệm là $N(-1;1)$, khớp đáp án nguồn C.