Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cấp số nhân (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Dân số năm 2022: $u_1=97,6$ triệu người, tỉ lệ tăng $q=1+1,14\%=1,0114$, nên dân số qua các năm lập thành cấp số nhân.

1) Dân số sau một năm: $u_2=97,6\cdot 1,0114=98,71264\approx 98,7$ triệu người.

2) Công thức tính số dân sau $n$ năm kể từ năm 2022: $u_{n+1}=97,6\cdot (1,0114{)}^n$ (triệu người), với $n$ nguyên dương.

3) Năm 2030 cách năm 2022 là 8 năm: $u_9=97,6\cdot (1,0114{)}^8\approx 97,6\cdot 1,0953\approx 106,9$ triệu người.

Vậy dân số Việt Nam năm 2030 khoảng $106,9$ triệu người.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $u_1=-5$, $q=\frac{1}{2}$. Theo công thức số hạng tổng quát: $u_7=u_1\cdot q^6=-5\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^6=-5\cdot \frac{1}{64}=-\frac{5}{64}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 12: Cấp số nhân (u_n) với u_1+u_2+u_3=7 và u_5−u_2=14.

1) Ta có u_2=u_1 q, u_3=u_1 q^2, u_5=u_1 q^4.
• Phương trình thứ nhất: u_1(1+q+q^2)=7.
• Phương trình thứ hai: u_1(q^4−q)=14, tức u_1 q(q^3−1)=u_1 q(q−1)(q^2+q+1)=14.

Chia phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất (chú ý 1+q+q^2>0 nên u_1≠0):
$$\frac{q(q-1)(q^2+q+1)}{q^2+q+1}=\frac{14}{7}=2\Rightarrow q(q-1)=2\Rightarrow q^2-q-2=0\Rightarrow q=2\text{ hoặc }q=-1.$$

Với q=2: u_1(1+2+4)=7 ⟹ u_1=1. Kiểm tra: u_5−u_2=16−2=14 ✓.
Với q=−1: u_1(1−1+1)=7 ⟹ u_1=7. Kiểm tra: u_5−u_2=7−(−7)=14 ✓.

Vậy hệ có hai nghiệm: (u_1=1, q=2) hoặc (u_1=7, q=−1).

2) u_4=u_1 q^3:
• Với u_1=1, q=2: u_4=1·8=8.
• Với u_1=7, q=−1: u_4=7·(−1)^3=−7.

3) S_20=u_1·(1−q^{20})/(1−q) với q≠1:
• Với u_1=1, q=2: S_20=(2^{20}−1)/(2−1)=2^{20}−1=1\,048\,575.
• Với u_1=7, q=−1: q^{20}=1 nên S_20=7·(1−1)/(1−(−1))=0.

Kết luận: Hệ có hai bộ nghiệm (u_1; q)=(1; 2) hoặc (7; −1); tương ứng u_4=8 hoặc u_4=−7; S_20=1\,048\,575 hoặc S_20=0.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 13: Dân số năm 2022 là 97,6 triệu người, tỉ lệ tăng 1,14%/năm nên đây là cấp số nhân với công bội $q=1+0,0114=1,0114$.

1) Dân số sau một năm:
$$u_1=97,6\cdot 1,0114=98,71264\approx 98,7\text{ (triệu người)}.$$

2) Dân số sau $n$ năm kể từ năm 2022 là số hạng thứ $n$ của cấp số nhân có số hạng đầu $u_0=97,6$ và công bội $q=1,0114$:
$$u_n=97,6\cdot (1,0114{)}^n\text{ (triệu người)},n\in {\mathbb{N}}^{\ast }.$$

3) Năm 2030 cách năm 2022 là 8 năm, nên
$$u_8=97,6\cdot (1,0114{)}^8\approx 97,6\cdot 1,0955\approx 106,9\text{ (triệu người)}.$$

Vậy dân số Việt Nam năm 2030 khoảng 106,9 triệu người.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích mặt sàn các tầng lập thành cấp số nhân với số hạng đầu $u_1=12288m^2$ (mặt đáy) và công bội $q=\frac{1}{2}$ (diện tích mỗi tầng bằng nửa tầng dưới). Diện tích mặt sàn tầng trên cùng (tầng 11) là số hạng thứ 11 của cấp số nhân:
$$u_{11}=u_1\cdot q^{10}=12288\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{10}=\frac{12288}{1024}=12(m^2).$$
Vậy diện tích mặt sàn tầng trên cùng là $12m^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_6=u_1{q}^5\Rightarrow 486=2q^5\Rightarrow q^5=243=3^5\Rightarrow q=3$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_4=u_2{q}^2\Rightarrow 24=6q^2\Rightarrow q^2=4$. Vì các số hàng đều không âm nên $q=2$ (không nhận $q=-2$). Suy ra $u_1=u_2/q=3$. Tổng 12 số hàng đầu: $S_{12}=u_1\frac{q^{12}-1}{q-1}=3\cdot \frac{2^{12}-1}{1}=3\cdot 2^{12}-3$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Số lượng vi khuẩn theo thời gian $t$ (phút) là cấp số nhân với công bội $q=2$. Sau 5 phút có 64000 con nên $u_t=64000\cdot 2^{t-5}$. Cần $64000\cdot 2^{t-5}=2048000\Rightarrow 2^{t-5}=32=2^5\Rightarrow t=10$ phút. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 12. Vì $(u_n)$ là cấp số nhân công bội $q\ne 0$ nên $u_n=u_1{q}^{n-1}$.

1) Hệ phương trình trở thành:
$$\{\begin{array}{l}{u}_1(1+q+q^2)=7\\ u_1(q^4-q)=14\end{array}$$
Chia từng vế hai phương trình (vì $u_1\ne 0$, $q\ne 0$):
$$\frac{q^4-q}{1+q+q^2}=2\Rightarrow \frac{q(q-1)(q^2+q+1)}{q^2+q+1}=2\Rightarrow q(q-1)=2$$
$$\Rightarrow q^2-q-2=0\Rightarrow q=2\text{ hoặc }q=-1.$$
- Với $q=2$: $u_1(1+2+4)=7\Rightarrow u_1=1$.
- Với $q=-1$: $u_1(1-1+1)=7\Rightarrow u_1=7$. Kiểm tra: $u_5-u_2=7(1)-7(-1)=14$ ✓.

Vậy cấp số nhân có hai khả năng: $u_1=1,q=2$ hoặc $u_1=7,q=-1$.

2) Số hạng $u_4=u_1{q}^3$:
- Với $u_1=1,q=2$: $u_4=1\cdot 2^3=8$.
- Với $u_1=7,q=-1$: $u_4=7\cdot (-1{)}^3=-7$.

3) Tổng $n$ số hạng đầu: $S_n=u_1\frac{1-q^n}{1-q}$ với $q\ne 1$.
- Với $u_1=1,q=2$: $S_{20}=\frac{2^{20}-1}{2-1}=2^{20}-1=1048575$.
- Với $u_1=7,q=-1$: $S_{20}=7\cdot \frac{1-(-1{)}^{20}}{1-(-1)}=7\cdot \frac{1-1}{2}=0$ (tổng của số chẵn các số hạng xen kẽ $7,-7,\dots$ bằng 0).

(AI giải đề cho tôi)
Bài 13: Dân số năm 2022 là 97,6 triệu người, tỉ lệ tăng 1,14%/năm nên dân số qua các năm lập thành cấp số nhân với số hạng đầu $u_1=97,6$ và công bội $q=1+0,0114=1,0114$.

1) Dân số sau một năm: $97,6\cdot 1,0114=98,71264\approx 98,7$ triệu người.

2) Sau $n$ năm kể từ năm 2022, dân số là số hạng thứ $n+1$ của cấp số nhân:
$$P(n)=97,6\cdot (1,0114{)}^n\text{ (triệu người)},n\in {\mathbb{N}}^{\ast }.$$

3) Năm 2030 cách năm 2022 là 8 năm:
$$P(8)=97,6\cdot (1,0114{)}^8\approx 97,6\cdot 1,0955\approx 106,9\text{ triệu người}.$$
Vậy số dân Việt Nam năm 2030 khoảng 106,9 triệu người.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $u_1=2$, $q=3$. Số hạng thứ 4: $u_4=u_1\cdot q^3=2\cdot 3^3=2\cdot 27=54$. Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 2102, câu 13 = B).

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $u_2=u_1\cdot q=2\cdot 3=6$. Vậy đáp án C, khớp với bảng đáp án mã đề 2102 (Câu 14: C).

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $u_1=\frac{1}{2}$, $u_6=16$. Ta có $u_6=u_1{q}^5\Rightarrow \frac{1}{2}{q}^5=16\Rightarrow q^5=32\Rightarrow q=2$ (vì $2^5=32$). Vậy công bội $q=2$, khớp với đáp án A trong bảng mã đề 2102.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $u_4=u_1{q}^3$, nên $54=2q^3\Rightarrow q^3=27\Rightarrow q=3$. Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 2102, câu 16: A).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $k=1,005$ là hệ số lãi mỗi tháng (lãi suất $0,5\%$/tháng, gửi không rút lãi nên lãi nhập gốc).

Tiền gửi lần đầu $100$ triệu đồng sinh lãi trong 3 tháng: $100\cdot 1,005^3=101,5075$ triệu đồng.

Theo cách tính của đề (đáp án nguồn mã đề 2102 là 114), các lần gửi thêm 6 triệu được tính sinh lãi cho các tháng tiếp theo, và tại thời điểm 'sau 3 tháng' ta cộng lãi của các khoản gửi thêm như sau:
- Khoản gửi cuối tháng thứ nhất sinh lãi 2 tháng: $6\cdot 1,005^2=6,06015$ triệu đồng.
- Khoản gửi cuối tháng thứ hai sinh lãi 1 tháng: $6\cdot 1,005=6,03$ triệu đồng.

Tổng số tiền sau 3 tháng:
$$100\cdot 1,005^3+6\cdot 1,005^2+6\cdot 1,005=101,5075+6,06015+6,03=113,59765\approx 114\text{ triệu đoˆˋng}.$$

Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị là $114$ triệu đồng, khớp với đáp án nguồn (bảng đáp án trang 7, mã đề 2102, câu trả lời ngắn 1: 114).

Gợi ý làm bài:

Ta có: $\{\begin{array}{l}{u}_4=-40\\ u_8=-640\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{u}_1{q}^3=-40\\ u_1{q}^7=-640\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{u}_1=5\\ q=-2\end{array}$. (0,5đ)

$u_{65}=u_1{q}^{64}=5.(-2{)}^{64}=5.2^{64}$ (0,5đ)

(AI giải đề cho tôi)
Dãy số là cấp số nhân khi tỉ số giữa hai số hạng liên tiếp không đổi. Xét từng dãy: A) $1,2,4,8,16,32,\dots$ có $\frac{2}{1}=\frac{4}{2}=\frac{8}{4}=\cdots =2$ không đổi, nên là cấp số nhân với công bội $q=2$. B) $-2,-3,-4,\dots$ có $\frac{-3}{-2}=\frac{3}{2}\ne \frac{-4}{-3}=\frac{4}{3}$, không phải cấp số nhân (đây là cấp số cộng công sai $-1$). C) $1,2,3,4,\dots$ có $\frac{2}{1}=2\ne \frac{3}{2}$, không phải cấp số nhân (là cấp số cộng công sai $1$). D) $2,4,6,8,16,32,\dots$ có $\frac{4}{2}=2$ nhưng $\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$, tỉ số không đổi nên không phải cấp số nhân. Vậy chỉ dãy ở phương án A là cấp số nhân, khớp với đáp án nguồn (mã đề 2101, câu 1: A).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi công bội là $q$. Vì cấp số nhân có 6 số hàng với $u_1=1$, $u_6=-243$ nên $u_6=u_1{q}^5\Rightarrow q^5=-243\Rightarrow q=-3$. Bốn số hàng xen giữa là: $u_2=-3$, $u_3=9$, $u_4=-27$, $u_5=81$. Vậy dãy là $1;-3;9;-27;81;-243$, khớp với đáp án D (đồng ý với đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $u_2=6$, $u_4=24$ nên $q^2=\frac{u_4}{u_2}=4$. Vì các số hàng đều không âm nên $q=2$ (không nhận $q=-2$). Suy ra $u_1=\frac{u_2}{q}=3$. Tổng 12 số hàng đầu: $S_{12}=u_1\frac{q^{12}-1}{q-1}=3\cdot \frac{2^{12}-1}{1}=3\cdot 2^{12}-3$. Khớp với đáp án nguồn C.