Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cấp số nhân (Toán học Lớp 11)

Gợi ý làm bài (theo trang hướng dẫn giải, trang 11):
Theo giả thiết ta có: $\{\begin{array}{l}{u}_5=u_1.q^4=16(\ast )\\ u_8=u_1.q^7=1024\end{array}$
$\Rightarrow q^3=64\Rightarrow q=4$
Thay $q=4$ vào $(\ast )$ được $u_5=u_1.4^4=16\Rightarrow u_1=\frac{1}{16}$
Suy ra: $u_{11}=u_1.q^{10}=65536$.

Đáp số: $u_{11}=65536$.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy A: $-2,2,-2,2,\dots$ có công bội $q=\frac{2}{-2}=-1$ và $\frac{-2}{2}=-1$ không đổi, nên là cấp số nhân. Dãy B: $u_n=u_{n-1}+2$ là cấp số cộng (công sai 2), không phải cấp số nhân. Dãy C: $1,2,3,\dots$ là cấp số cộng công sai 1. Dãy D: $u_n=3^n+1$, tỉ số $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{3^{n+1}+1}{3^n+1}$ không không đổi (ví dụ $\frac{u_2}{u_1}=\frac{10}{4}=2,5\ne \frac{28}{10}=2,8$), không phải cấp số nhân. Đáp án A, khớp với bảng đáp án mã đề 2101 (câu 8 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Giá trị ô tô giảm 5% mỗi năm nên sau 10 năm giá trị còn lại là $800\cdot (0,95{)}^{10}$. Tính: $(0,95{)}^{10}\approx 0,5987369$, do đó $800\cdot 0,5987369\approx 478,99\approx 479$ triệu đồng (làm tròn đến hàng đơn vị). Kết quả khớp với đáp án nguồn 479.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a,b,c$ lập cấp số nhân công bội $q$ nên $a=\frac{b}{q},c=bq$. Vì $b,c,d$ lập cấp số cộng nên $d=2c-b=2bq-b$.

Từ $b+c=12$: $b(1+q)=12\Rightarrow b=\frac{12}{1+q}$.

Từ $a+d=14$: $\frac{b}{q}+2bq-b=14\Rightarrow b\left(\frac{1}{q}-1+2q\right)=14$.

Thay $b$: $\frac{12}{1+q}\cdot \frac{1-q+2q^2}{q}=14\Rightarrow 12(2q^2-q+1)=14q(1+q)$
$\Rightarrow 24q^2-12q+12=14q+14q^2\Rightarrow 10q^2-26q+12=0\Rightarrow 5q^2-13q+6=0$.

Giải: $q=\frac{13\pm \sqrt{169-120}}{10}=\frac{13\pm 7}{10}$, tức $q=2$ hoặc $q=0,6$.

Vì $q<1$ nên $q=0,6$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (0,6).

(AI giải đề cho tôi)
Dãy số $(u_n)$ với $u_n=2^{n-1}$. Số hạng đầu tiên: $u_1=2^{1-1}=2^0=1$. Công bội: $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{2^n}{2^{n-1}}=2$. Vậy cấp số nhân có công bội $q=2$ và số hạng đầu $u_1=1$, tương ứng phương án C. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 5: C).

(AI giải đề cho tôi)
Ba số $1+x$; $9+x$; $33+x$ lập thành cấp số nhân khi $(9+x{)}^2=(1+x)(33+x)$. Khai triển: $81+18x+x^2=33+34x+x^2\Rightarrow 48=16x\Rightarrow x=3$. Thử lại: với $x=3$ ta có $4;12;36$ là cấp số nhân công bội $3$. Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 9: B).

(AI giải đề cho tôi)
Ba số $1+x$; $9+x$; $33+x$ lập thành cấp số nhân khi và chỉ khi $(9+x{)}^2=(1+x)(33+x)$.
Khai triển: $81+18x+x^2=33+34x+x^2\Rightarrow 48=16x\Rightarrow x=3$.
Thử lại với $x=3$: ba số là $4;12;36$ với công bội $q=3$, thỏa mãn.
Vậy $x=3$, chọn đáp án C, khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 11: C).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a,b,c$ lập cấp số nhân công bội $q$: $b=aq,c=a{q}^2$. Vì $b,c,d$ lập cấp số cộng: $d=2c-b=aq(2q-1)$. Từ $b+c=12$: $a(q+q^2)=12\Rightarrow a=\frac{12}{q(1+q)}$. Thay vào $a+d=a\left(1+2q^2-q\right)=14$: $\frac{12(2q^2-q+1)}{q(1+q)}=14\Rightarrow 24q^2-12q+12=14q+14q^2\Rightarrow 5q^2-13q+6=0\Rightarrow q=2$ hoặc $q=0,6$. Do $q<1$ nên $q=0,6$, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Giá trị ô tô giảm 5% mỗi năm nên sau 10 năm giá trị còn lại là $800\cdot (0,95{)}^{10}$. Tính: $(0,95{)}^{10}\approx 0,5987369$, suy ra $800\cdot 0,5987369\approx 478,99$ triệu đồng. Làm tròn đến hàng đơn vị ta được 479 triệu đồng, khớp với đáp án nguồn (479).

(AI giải đề cho tôi)
Dãy $u_n=2^{n-1}$: số hạng đầu $u_1=2^0=1$; công bội $q=\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{2^n}{2^{n-1}}=2$. Vậy cấp số nhân có công bội 2 và số hạng đầu tiên là 1, khớp đáp án B (đáp án nguồn cũng là B).

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $u_1=2$, công bội $q=3$. Theo định nghĩa cấp số nhân: $u_2=u_1\cdot q=2\cdot 3=6$. Vậy đáp án đúng là B, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 122, Câu 12: B).

(AI giải đề cho tôi)
Dân số tăng theo cấp số nhân với công bội $q=1+0,0091=1,0091$. Từ năm 2020 đến năm 2030 là 10 năm, nên dân số năm 2030 là $97\cdot (1,0091{)}^{10}\approx 97\cdot 1,0949\approx 106,2$ triệu người. Làm tròn đến hàng đơn vị ta được 106 triệu người. Kết quả khớp với đáp án nguồn (106).

a) Gọi $u_n$ là số tiền quyên góp được trong ngày thứ $n$ (đơn vị: triệu đồng).

Theo đề bài, ta có:
- Số tiền ngày 1: $u_1=1$ (triệu đồng)
- Số tiền ngày 2: $u_2=1\cdot (1+0.2)=1\cdot (1.2)$
- Số tiền ngày 3: $u_3=u_2\cdot (1.2)=1\cdot (1.2{)}^2$

Dãy số $u_1,u_2,...,u_n$ là một cấp số nhân với:
- Số hạng đầu: $u_1=1$
- Công bội: $q=1.2$
(0.25 điểm)

Tính tổng số tiền sau 7 ngày: Ta cần tính tổng số tiền quyên góp được sau 7 ngày, tức là $S_7$.
$S_7=u_1+u_2+...+u_7$
Áp dụng công thức tính tổng $n$ số hạng đầu của cấp số nhân:
$$S_n=u_1\frac{q^n-1}{q-1}$$
Thay $n=7$, $u_1=1$ và $q=1.2$ vào công thức:
$$S_7=1\cdot \frac{(1.2{)}^7-1}{1.2-1}$$
$$S_7\approx \frac{3.5831808-1}{0.2}$$
$$S_7\approx \frac{2.5831808}{0.2}$$
$S_7\approx 12.915904$ (triệu đồng) (0.25 điểm)

Đổi ra đồng và làm tròn đến hàng nghìn:
$12,915904\cdot \mathrm{1.000.000}\approx \mathrm{12.915.904}$ đồng.
Làm tròn đến hàng nghìn, ta được 12.916.000 đồng.

b) Chúng ta cần tìm số ngày $n$ (nguyên dương) nhỏ nhất sao cho tổng số tiền quyên góp $S_n\ge \mathrm{50.000.000}$.
Ta có bất phương trình:
$$S_n=\mathrm{1.000.000}\times \frac{(1.2{)}^n-1}{0.2}\ge \mathrm{50.000.000}$$
Rút gọn bất phương trình:
$$\frac{(1.2{)}^n-1}{0.2}\ge 50$$
$(1.2{)}^n-1\ge 10$
$(1.2{)}^n\ge 11$
Để tìm $n$, chúng ta có thể thử lần lượt các giá trị $n$.
Từ câu (a), ta biết $(1.2{)}^7\approx 3.58$ (vẫn nhỏ hơn 11).
- Thử $n=10$: $(1.2{)}^{10}\approx 6.19$ (vẫn nhỏ hơn 11).
- Thử $n=12$: $(1.2{)}^{12}\approx 8.92$ (vẫn nhỏ hơn 11).
- Thử $n=13$: $(1.2{)}^{13}\approx 10.70$ (vẫn nhỏ hơn 11).
- Thử $n=14$: $(1.2{)}^{14}\approx 12.84$ (đã lớn hơn 11).
Vậy $n=14$ là giá trị nguyên nhỏ nhất.

Kiểm tra lại bằng tổng tiền:
- Nếu $n=13$ ngày:
$$S_{13}=\mathrm{1.000.000}\times \frac{(1.2{)}^{13}-1}{0.2}\approx \mathrm{1.000.000}\times \frac{10.70-1}{0.2}=\mathrm{48.500.000}\text{ (đoˆˋng)}.$$
→ Chưa đủ 50 triệu.
- Nếu $n=14$ ngày:
$$S_{14}=\mathrm{1.000.000}\times \frac{(1.2{)}^{14}-1}{0.2}\approx \mathrm{1.000.000}\times \frac{12.84-1}{0.2}=\mathrm{59.200.000}\text{ (đoˆˋng)}.$$
→ Đã đủ 50 triệu.

Trả lời: CLB cần duy trì chiến dịch trong ít nhất 14 ngày để đạt được mục tiêu.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng dãy: A) $u_n=7-3n$: $u_{n+1}-u_n=-3$ không đổi nên là cấp số cộng, không phải cấp số nhân. B) $u_n=7-3^n$: $u_1=4,u_2=-2,u_3=-20$, tỉ số $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ thay đổi nên không phải cấp số nhân. C) $u_n=7\cdot 3^n$: $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{7\cdot 3^{n+1}}{7\cdot 3^n}=3$ không đổi với mọi $n$, nên đây là cấp số nhân với công bội $q=3$. D) $u_n=\frac{7}{3n}$: $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{n}{n+1}$ thay đổi nên không phải cấp số nhân. Vậy dãy ở phương án C là cấp số nhân, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 122, Câu 7: C).

(AI giải đề cho tôi)
Công bội $q=\frac{u_2}{u_1}=\frac{9}{3}=3$. Vậy đáp án C, khớp với bảng đáp án (Mã đề 111, Câu 1: C).

(AI giải đề cho tôi)
Dân số tăng theo cấp số nhân với công bội $q=1+1,33\%=1,0133$. Từ tháng 12/2018 đến tháng 12/2025 là $n=7$ năm, nên dân số năm 2025 là:
$$u_7=95,93\cdot (1,0133{)}^7\approx 95,93\cdot 1,0967\approx 105,2\text{ (triệu người)}.$$
Làm tròn đến hàng đơn vị ta được $105$ triệu người, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 111, Phần III Câu 1: 105).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng dãy số:
- Dãy $u_n=2^n$: $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{2^{n+1}}{2^n}=2$ không đổi với mọi $n\ge 1$, nên đây là cấp số nhân với công bội $q=2$.
- Dãy $u_n=2^n+1$: $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{2^{n+1}+1}{2^n+1}$ không phải hằng số (ví dụ $\frac{u_2}{u_1}=\frac{5}{3}\ne \frac{9}{5}=\frac{u_3}{u_2}$), nên không là cấp số nhân.
- Dãy $u_n=\frac{1}{n}$: $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{n}{n+1}$ không phải hằng số, nên không là cấp số nhân.
- Dãy $u_n=3n$: $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{n+1}{n}$ không phải hằng số (đây là cấp số cộng với công sai $d=3$), nên không là cấp số nhân.
Vậy dãy số là cấp số nhân là $u_n=2^n$. Đáp án A, phù hợp với bảng đáp án Phần I, Câu 3, Mã đề 111: A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng dãy: A: $1,-4,16,-64,\dots$ có công bội $q=-4$ (vì $-4/1=-4$, $16/(-4)=-4$, $-64/16=-4$) nên là cấp số nhân. B: $2,2,2,2,\dots$ có $q=1$ nên là cấp số nhân. C: $1,10,10^2,10^3,\dots$ có $q=10$ nên là cấp số nhân. D: $1,-\frac{1}{3},-\frac{1}{9},-\frac{1}{27},\dots$ có $\frac{-1/3}{1}=-\frac{1}{3}$ nhưng $\frac{-1/9}{-1/3}=\frac{1}{3}$, tỉ số không không đổi nên không phải cấp số nhân. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, Câu 12 = D).

(AI giải đề cho tôi)
Lương năm thứ nhất là 50 triệu đồng, mỗi năm tăng 4% nên lương theo năm lập thành cấp số nhân với số hạng đầu $u_1=50$ và công bội $q=1,04$. Lương năm thứ 10 là $u_{10}=50\cdot 1,04^9\approx 50\cdot 1,423312\approx 71,1656$ triệu đồng, làm tròn đến hàng phần chục ta được $71,2$ triệu đồng. Kết quả trùng với đáp án nguồn (71,2).

+) Số tiền trả cho lần lượt các mũi khoan giếng lập thành cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1=95.000$ và công bội $q=1,05$. Cần tính $S_{55}$.
+) Ta có: $S_{55}=u_1\frac{1-q^{55}}{1-q}=95000.\frac{1-1,05^{55}}{1-1,05}\approx \mathrm{25.907.699}$ (đồng).