Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cấp số nhân (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng dãy: B có công bội $q=1$ (dãy không đổi là cấp số nhân); C có $q=10$; D có $q=-\frac{1}{3}$. Riêng dãy A: $1,-4,-16,-64,\dots$ có $\frac{-4}{1}=-4$ nhưng $\frac{-16}{-4}=4\ne -4$, tức tỉ số giữa hai số hạng liên tiếp không không đổi, nên không phải cấp số nhân. Đáp án A trùng với đáp án nguồn (đề 101, Câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Lương năm thứ $n$ là số hạng thứ $n$ của cấp số nhân với $u_1=48$, công bội $q=1,05$. Vậy lương năm thứ 10: $u_{10}=48\cdot 1,05^9\approx 48\cdot 1,5513\approx 74,4638\approx 74,5$ triệu đồng. Kết quả trùng với đáp án nguồn 74,5.

+) Số tiền trả cho lần lượt các mũi khoan giếng lập thành cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1=90.000$ và công bội $q=1,04$. Cần tính $S_{60}$.
+) Ta có: $S_{40}=u_1\frac{1-q^{60}}{1-q}=90000.\frac{1-1,04^{60}}{1-1,04}\approx \mathrm{21.419.162}$ (đồng). (Ghi chú: nguồn ghi $S_{40}$, đúng ra là $S_{60}$ — lỗi đánh máy trong tài liệu gốc, giữ nguyên theo nguồn.)

Theo HDC (mã đề 0101, 0102, 0103): Lương anh An nhận được sau năm đầu tiên là $15\cdot 12=180$ triệu đồng.
Lương hằng năm (triệu đồng) anh An nhận được lập thành cấp số nhân có số hạng đầu là $u_1=180$ và công bội $q=1,2$.
Sau 10 năm, tổng số tiền mà anh An tiết kiệm được là:
$$S=(u_{10}-u_9)+(u_9-u_8)+(u_8-u_7)+\dots +(u_2-u_1)=u_{10}-u_1=u_1\cdot q^9-u_1\approx 748,8\text{ (triệu đoˆˋng)}$$
Như vậy, sau 10 năm, số tiền anh An tiết kiệm được không đủ để mua chiếc ô tô trị giá 800 triệu đồng.
(Thang điểm: 0,25; 0,5; 0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng dãy: A: 2; 4; 8; 16; … có công bội q = 2 (4/2 = 8/4 = 16/8 = 2), là cấp số nhân. B: -2; 10; -50; 250 có công bội q = -5 (10/(-2) = -50/10 = 250/(-50) = -5), là cấp số nhân. C: 1²; 2²; 3²; 4²; … tức 1; 4; 9; 16; … có 4/1 = 4 nhưng 9/4 ≠ 4, không có công bội cố định, nên không phải cấp số nhân. D: 1; -1; 1; -1; … có công bội q = -1, là cấp số nhân. Vậy dãy không phải cấp số nhân là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0102, Câu 5: C).

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $q=\frac{u_3}{u_2}=\frac{18}{-6}=-3$, suy ra $u_1=\frac{u_2}{q}=\frac{-6}{-3}=2$. a) $u_6=u_1{q}^5=2\cdot (-3{)}^5=-486$ → Đúng. b) $S_5=u_1\frac{1-q^5}{1-q}=2\cdot \frac{1-(-3{)}^5}{1-(-3)}=2\cdot \frac{244}{4}=122\ne -121$ → Sai. c) Công bội $q=-3\ne 3$ → Sai. d) $u_n=u_1{q}^{n-1}=2\cdot (-3{)}^{n-1}$ → Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án chính thức (mã đề 0102): D S S D.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $q=-3$, $u_1=2$ thì $u_6=2\cdot (-3{)}^5=-486$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$S_5=2\cdot \frac{1-(-3{)}^5}{1-(-3)}=122\ne -121$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$q=\frac{u_3}{u_2}=\frac{18}{-6}=-3\ne 3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_n=u_1{q}^{n-1}=2\cdot (-3{)}^{n-1}$, kiểm tra $u_2=-6$, $u_3=18$ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng dãy: A có công bội $q=-5$ (vì $10/(-2)=-5$, $-50/10=-5$, $250/(-50)=-5$) nên là cấp số nhân. C có $q=2$ nên là cấp số nhân. D có $q=-1$ nên là cấp số nhân. B là dãy $1;4;9;16;\dots$ với $u_n=n^2$, các tỉ số $4/1=4$, $9/4=2,25$ không bằng nhau nên không phải cấp số nhân. Vậy dãy không phải cấp số nhân là B, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $q=\frac{u_3}{u_2}=\frac{18}{-6}=-3$. a) Sai vì $q=-3\ne 3$. b) $u_1=\frac{u_2}{q}=\frac{-6}{-3}=2$ nên $u_n=2\cdot (-3{)}^{n-1}$: Đúng. c) $u_6=2\cdot (-3{)}^5=2\cdot (-243)=-486$: Đúng. d) $S_5=\frac{2\left(1-(-3{)}^5\right)}{1-(-3)}=\frac{2(1+243)}{4}=122\ne -121$: Sai. Kết quả khớp bảng đáp án chính thức (mã đề 0101): S, Đ, Đ, S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$q=\frac{u_3}{u_2}=\frac{18}{-6}=-3\ne 3$ nên khẳng định sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_1=\frac{u_2}{q}=\frac{-6}{-3}=2$, do đó $u_n=2\cdot (-3{)}^{n-1}$: đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_6=2\cdot (-3{)}^5=-486$: đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S_5=\frac{2(1-(-3{)}^5)}{4}=122\ne -121$: sai.

Theo HDC (mã đề 0101, 0102, 0103): Lương anh An nhận được sau năm đầu tiên là $15\cdot 12=180$ triệu đồng.
Lương hằng năm (triệu đồng) anh An nhận được lập thành cấp số nhân có số hạng đầu là $u_1=180$ và công bội $q=1,2$.
Sau 10 năm, tổng số tiền mà anh An tiết kiệm được là:
$$S=(u_{10}-u_9)+(u_9-u_8)+(u_8-u_7)+\dots +(u_2-u_1)=u_{10}-u_1=u_1\cdot q^9-u_1\approx 748,8\text{ (triệu đoˆˋng)}$$
Như vậy, sau 10 năm, số tiền anh An tiết kiệm được không đủ để mua chiếc ô tô trị giá 800 triệu đồng.
(Thang điểm: 0,25; 0,5; 0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi công bội là $q$. Ta có $u_2+u_5=q{u}_1+q{u}_4=q(u_1+u_4)=9$, mà $u_1+u_4=3$ nên $q=3$. Suy ra $u_1(1+q^3)=3\Rightarrow u_1(1+27)=3\Rightarrow u_1=\frac{3}{28}$. Tổng mười số hạng đầu: $S_{10}=u_1\frac{q^{10}-1}{q-1}=\frac{3}{28}\cdot \frac{3^{10}-1}{2}=\frac{3}{28}\cdot \frac{59049-1}{2}=\frac{3\cdot 59048}{56}=\frac{177144}{56}\approx 3163,29$. Làm tròn đến hàng đơn vị ta được $3163$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng dãy: A: 1;2;4;6;8 — 2/1=2 nhưng 6/4=1,5, không là cấp số nhân. B: 0;3;9;27;81 — số hạng đầu bằng 0, không thể là cấp số nhân (và 3/0 không xác định). C: 1;-2;-4;-8;-16 — (-2)/1=-2 nhưng (-4)/(-2)=2, không là cấp số nhân. D: 1;2;4;8;16 — công bội q=2 đều nhau (2/1=4/2=8/4=16/8=2), là cấp số nhân. Đáp án D, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 132, Câu 8 = D).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $u_n=\frac{1}{3^{n-2}}=9\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}$, đây là cấp số nhân với số hạng đầu $u_1=9$ và công bội $q=\frac{1}{3}$, nên A đúng. Với B: $u_n=\frac{1}{3^n}-1$ có $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ không hằng số (ví dụ $u_1=-\frac{2}{3},u_2=-\frac{8}{9}$, tỉ số $=\frac{4}{3}$; $u_3=-\frac{26}{27}$, tỉ số $=\frac{13}{12}$), không phải cấp số nhân. Với C: $u_n=n+\frac{1}{3}$ là cấp số cộng, không phải cấp số nhân. Với D: $u_n=n^2-\frac{1}{3}$, hiệu và tỉ số giữa hai số hạng liên tiếp đều không hằng số. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Lương trong chu kỳ 2 năm thứ $k$ ($k=1,...,6$) là $a\cdot 1,1^{k-1}$; mỗi tháng tiết kiệm $40\%$ lương nên mỗi chu kỳ tiết kiệm $24\cdot 0,4a\cdot 1,1^{k-1}=9,6a\cdot 1,1^{k-1}$. Tổng tiết kiệm sau 12 năm: $S=9,6a\cdot \frac{1,1^6-1}{0,1}=96a(1,771561-1)=74,069856a$. Giá nhà sau 12 năm: $10^9\cdot 1,05^6=1,340,095,641$ đồng. Suy ra $a=\frac{1,340,095,641}{74,069856}\approx 18,092,000$ đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_5=u_1{q}^4\Rightarrow -243=-3q^4\Rightarrow q^4=81\Rightarrow q^2=9$. Suy ra $u_3=u_1{q}^2=-3\cdot 9=-27$. Vậy chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $a_n$ là số vi khuẩn sau $n$ giờ, $a_0=10$. Theo đề: $a_{n+1}=2a_n-5$. Đặt $b_n=a_n-5$ thì $b_{n+1}=2b_n$, nên $b_n=2^n{b}_0=2^n\cdot 5$. Vậy $a_n=5\cdot 2^n+5$. Sau 24 giờ: $a_{24}=5\cdot 2^{24}+5=5\cdot 16777216+5=83886080+5=83886085$ con.

(AI giải đề cho tôi)
Lời giải do AI cung cấp (nguồn không có đáp án chính thức): Xét từng dãy số. Dãy A: $\frac{2}{1}=\frac{4}{2}=\frac{8}{4}=2$, là cấp số nhân công bội $q=2$. Dãy B: $\frac{3^2}{3}=\frac{3^3}{3^2}=\frac{3^4}{3^3}=3$, là cấp số nhân công bội $q=3$. Dãy C: $\frac{2}{4}=\frac{1/2}{2}=\frac{1/4}{1/2}=\frac{1}{2}$, là cấp số nhân công bội $q=\frac{1}{2}$. Dãy D: $\frac{1/3^2}{1/3}=\frac{1}{3}$ nhưng $\frac{1/3^4}{1/3^2}=\frac{1}{9}\ne \frac{1}{3}$, tỉ số giữa hai số hạng liên tiếp không không đổi nên dãy D không phải là cấp số nhân. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $q=\frac{u_7}{u_6}=\frac{384}{192}=2$. Suy ra $u_1=\frac{u_6}{q^5}=\frac{192}{2^5}=\frac{192}{32}=6$. Vậy $u_1=6$, $q=2$, tương ứng phương án B.

Gọi $u_n$ là giá trị của chiếc máy sau $n$ năm kể từ khi mua (tính bằng đơn vị triệu đồng). Dãy $(u_n)$ lập thành cấp số nhân với số hạng đầu $u_1=800\cdot 0,9=720$ và công bội $q=0,9$. Ta có $u_{10}=u_1\cdot q^9=720\cdot 0,9^9\approx 278,9$. Vậy giá trị của chiếc máy đó sau 10 năm là 278,9 triệu đồng.

Kể từ năm 2020, dân số hằng năm của quốc gia đó (tính bằng đơn vị triệu người) lập thành cấp số nhân $(u_n)$ với số hàng đầu $u_1=97$ và công bội $q=1,0091$. Dân số của quốc gia đó vào năm 2030 tương ứng với $u_{11}=u_1{q}^{10}=97\cdot 1,0091^{10}\approx 106,2$. Vậy dân số của quốc gia đó vào năm 2030 là 106,2 triệu người.

Gọi $u_n$ là giá trị của chiếc máy sau $n$ năm kể từ khi mua (tính bằng đơn vị triệu đồng). Dãy $(u_n)$ lập thành cấp số nhân với số hạng đầu $u_1=800\cdot 0,9=720$ và công bội $q=0,9$. Ta có $u_{10}=u_1\cdot q^9=720\cdot 0,9^9\approx 278,9$. Vậy giá trị của chiếc máy đó sau 10 năm là 278,9 triệu đồng.