Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$: tại $x=-3$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=-3$ là điểm cực đại; tại $x=0$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=0$ là điểm cực tiểu; tại $x=2$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=2$ là điểm cực đại. Cả ba điểm đều là điểm cực trị vì $f^{\prime }$ đổi dấu qua mỗi điểm và $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Vậy hàm số có 3 điểm cực trị, khớp với đáp án nguồn (Câu 1 Phần 3: 3).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=x^2(x-3)$. Xét dấu: $x^2\ge 0$ với mọi $x$, nên dấu của $f^{\prime }(x)$ chỉ phụ thuộc $(x-3)$. Với $x<3$ (và $x\ne 0$): $f^{\prime }(x)<0$; với $x>3$: $f^{\prime }(x)>0$. Tại $x=0$, $f^{\prime }(0)=0$ nhưng $f^{\prime }$ không đổi dấu qua $x=0$ nên $x=0$ không phải điểm cực trị. Tại $x=3$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=3$ là điểm cực tiểu. Vậy hàm số có đúng 1 điểm cực trị, khớp với đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $f(x)=\frac{2x(x+13)+18}{x+13}=2x+\frac{18}{x+13}$ với $x\ne -13$. Khi đó $f^{\prime }(x)=2-\frac{18}{(x+13{)}^2}$. Cho $f^{\prime }(x)=0\Rightarrow (x+13{)}^2=9\Rightarrow x=-10$ hoặc $x=-16$. Xét dấu $f^{\prime }$: trên $(-\infty ;-16)$ và $(-10;+\infty )$ thì $f^{\prime }>0$; trên $(-16;-10)$ thì $f^{\prime }<0$ (loại điểm $x=-13$ vì hàm không xác định). Vậy hàm đạt cực tiểu tại $x_1=-10$ và cực đại tại $x_2=-16$. Suy ra $P=-2x_1+x_2=-2(-10)+(-16)=20-16=4$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=6x^2-18x-24=6(x-4)(x+1)$. $f^{\prime }(x)=0\iff x=-1$ hoặc $x=4$. Vì hệ số $a=2>0$, hàm số đạt cực đại tại điểm mà đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm, tức $x=-1$. Giá trị cực đại: $f(-1)=2(-1{)}^3-9(-1{)}^2-24(-1)+1=-2-9+24+1=14$. Vậy chọn B, khớp với đáp án nguồn (MD0911, Câu 2: B).

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-6x=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. Hai điểm cực trị: $(0;2)$ và $(2;-2)$. Đường thẳng qua hai điểm này có hệ số góc $a=\frac{-2-2}{2-0}=-2$, và $b=2$. Vậy $4a+5b=4(-2)+5(2)=2$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)$, $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. Xét dấu: $y^{\prime }>0$ khi $x<0$, $y^{\prime }<0$ khi $0<x<2$, $y^{\prime }>0$ khi $x>2$. Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$, $y(2)=8-12+2=-2$. Điểm cực tiểu là $(2;-2)$, trùng với đáp án B của đề.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)$, $y^{\prime }=0$ khi $x=0$ hoặc $x=2$. Xét dấu: $y^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;0)$, $y^{\prime }<0$ trên $(0;2)$, $y^{\prime }>0$ trên $(2;+\infty )$. Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$, $y(2)=8-12+2=-2$. Điểm cực tiểu là $(2;-2)$, trùng đáp án B của đề.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-6x=0$ cho $x=0$ và $x=2$. Hai điểm cực trị: $(0;1)$ và $(2;-3)$. Đường thẳng qua hai điểm này có hệ số góc $a=\frac{-3-1}{2-0}=-2$, $b=1$, tức $y=-2x+1$. Vậy $2a+b=2(-2)+1=-3$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)$. $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. Với $x=2$: $y=8-12+2=-2$. Hàm số nghịch biến trên $(0;2)$ nên $x=2$ là điểm cực tiểu. Vậy điểm cực tiểu là $(2;-2)$, khớp đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2+4x+7}{x+1}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Chia đa thức: $y=x+3+\frac{4}{x+1}$. Khi đó $y^{\prime }=1-\frac{4}{(x+1{)}^2}=0\iff (x+1{)}^2=4\iff x=1$ hoặc $x=-3$. Tại $x=1$: $y=1+3+\frac{4}{2}=6$ (cực đại, vì $y^{\prime }>0$ khi $x<-3$, $y^{\prime }<0$ khi $-3<x<1$... kiểm tra: với $x<-3$, $(x+1{)}^2>4$ nên $y^{\prime }>0$; với $-3<x<-1$, $y^{\prime }<0$; với $-1<x<1$, $y^{\prime }<0$; với $x>1$, $y^{\prime }>0$). Vậy cực đại $y_{CĐ}=6$ tại $x=1$, cực tiểu $y_{CT}=-2$ tại $x=-3$ (nhánh trái). Tổng $=6+(-2)=4$, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)=0\Rightarrow x=0$ hoặc $x=2$. Xét dấu $y^{\prime }$: trên $(-\infty ;0)$ $y^{\prime }>0$, trên $(0;2)$ $y^{\prime }<0$, trên $(2;+\infty )$ $y^{\prime }>0$. Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$, $y(2)=8-12+2=-2$. Điểm cực tiểu là $(2;-2)$, trùng đáp án B của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $y=x^3+3x^2-9x+2$. a) Phương trình hoành độ giao điểm: $x^3+3x^2-9x+2=-9x+6\iff x^3+3x^2-4=0\iff (x-1)(x+2{)}^2=0$, chỉ có 2 nghiệm phân biệt $x=1,x=-2$ nên đường thẳng cắt đồ thị tại 2 điểm → Sai. b) $y^{\prime }=3x^2+6x-9\ne 3x^2+6x+9$ → Sai. c) $y^{\prime }=0\iff x=-3$ hoặc $x=1$; $y^{\prime \prime }=6x+6$, tại $x=-3$ có $y^{\prime \prime }=-12<0$ nên cực đại tại $x=-3$, $y(-3)=-27+27+27+2=29$, điểm cực đại là $(-3;29)$ chứ không phải $M(-3;0)$ → Sai. d) Tại $x=1$, $y^{\prime \prime }=12>0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$ → Đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn (1a:S, 1b:S, 1c:S, 1d:D).
a) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình hoành độ giao điểm: $x^3+3x^2-4=0\iff (x-1)(x+2{)}^2=0$ chỉ có 2 nghiệm phân biệt, nên đường thẳng cắt đồ thị tại 2 điểm, không phải 3 điểm.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đạo hàm đúng là $y^{\prime }=3x^2+6x-9$, không phải $3x^2+6x+9$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đạt cực đại tại $x=-3$ với $y(-3)=29$, nên điểm cực đại là $(-3;29)$, không phải $M(-3;0)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2+6x-9=0\iff x=-3$ hoặc $x=1$; $y^{\prime \prime }=6x+6$, tại $x=1$ có $y^{\prime \prime }=12>0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$.

Đáp án theo bảng đáp án mã đề 1925: 4.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $y=x^3-3x+1$, có $y^{\prime }=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$.
a) Trên $[0;2]$: $y(0)=1$, $y(1)=-1$, $y(2)=8-6+1=3$. Vậy GTLN trên $[0;2]$ là $3$ → Đúng.
b) Điểm cực đại $A(1;-1)$, điểm cực tiểu $B(-1;3)$. Với $C(-1;2)$: $\overrightarrow{AB}=(-2;4)$, $\overrightarrow{AC}=(-2;3)$, diện tích $=\frac{1}{2}|(-2)(3)-(4)(-2)|=\frac{1}{2}|-6+8|=1\ne 12$ → Sai.
c) Trên $(-1;1)$ ta có $y^{\prime }<0$ nên hàm số nghịch biến, không đồng biến → Sai.
d) Hai điểm cực trị $x_1,x_2$ là nghiệm của $3x^2-3=0$, theo Viète $x_1{x}_2=\frac{-3}{3}=-1$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
So sánh $y(0)=1$, $y(1)=-1$, $y(2)=3$ nên GTLN trên $[0;2]$ bằng 3.
b) (AI giải đề cho tôi)
$A(1;-1)$, $B(-1;3)$, $C(-1;2)$: diện tích tam giác $ABC=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}|=\frac{1}{2}|(-2)(3)-(4)(-2)|=1\ne 12$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-3<0$ với mọi $x\in (-1;1)$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng này.
d) (AI giải đề cho tôi)
$x_1,x_2$ là nghiệm của $3x^2-3=0$, theo Viète $x_1{x}_2=\frac{-3}{3}=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu $f^{\prime }(x)=(x+1)(2x-5{)}^2(x-1)$. Nghiệm: $x=-1$, $x=1$, $x=\frac{5}{2}$ (nghiệm kép do $(2x-5{)}^2\ge 0$). Với $x<-1$: $(x+1)<0$, $(x-1)<0$ nên $f^{\prime }(x)>0$. Với $-1<x<1$: $(x+1)>0$, $(x-1)<0$ nên $f^{\prime }(x)<0$. Với $1<x<\frac{5}{2}$: $(x+1)>0$, $(x-1)>0$ nên $f^{\prime }(x)>0$. Với $x>\frac{5}{2}$: $f^{\prime }(x)>0$. Vậy $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x=-1$ (cực đại) và từ $-$ sang $+$ tại $x=1$ (cực tiểu); tại $x=\frac{5}{2}$, $f^{\prime }$ không đổi dấu nên không phải cực trị. Hàm số có đúng $2$ điểm cực trị. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=x^3-8x^2+13x+5$ là đa thức nên tập xác định là $\mathbb{R}$, không phải $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ → a sai. $f^{\prime }(x)=3x^2-16x+13$ → b đúng. $f^{\prime }(x)=0\iff x=1$ hoặc $x=\frac{13}{3}$; vì hệ số $a=3>0$ nên $f^{\prime }(x)<0$ trên $(1;\frac{13}{3})$, hàm số nghịch biến trên khoảng này → c sai. Trên $(-\infty ;1)$: $f^{\prime }>0$ (đồng biến), trên $(1;\frac{13}{3})$: $f^{\prime }<0$ (nghịch biến), trên $(\frac{13}{3};+\infty )$: $f^{\prime }>0$ (đồng biến). Vậy hàm số đạt cực đại tại $x=1$ và cực tiểu tại $x=\frac{13}{3}$ → d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đa thức nên tập xác định là $\mathbb{R}$, không phải $\mathbb{R}\setminus \{0\}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3x^2-16x+13$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)<0$ trên $(1;\frac{13}{3})$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng này.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số đạt cực đại tại $x=1$ và cực tiểu tại $x=\frac{13}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=-6x^2+24x-18=-6(x-1)(x-3)$, nên hàm số có hai điểm cực trị $x=1$ và $x=3$. Tại $x=1$: $y(1)=-2+12-18+4=-4$; tại $x=3$: $y(3)=-54+108-54+4=4$. Tổng các giá trị cực trị: $-4+4=0$. Đáp án B.

a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

(AI giải đề cho tôi)
a) $f^{\prime }(x)=3x^2-6x$: đúng. b) $f^{\prime }(x)=0\iff x=0$ hoặc $x=2$; $f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương tại $x=2$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$, không phải $x=0$ (tại $x=0$ là cực đại) → sai. c) Trên $[0;4]$: $f(0)=0,f(2)=-4,f(4)=16$ nên GTLN bằng 16 → đúng. d) $y=\frac{x^2(x-3)}{(x-1)(x-3{)}^2}=\frac{x^2}{(x-1)(x-3)}$ (với $x\ne 3$), mẫu triệt tiêu tại $x=1$ và $x=3$ nên có 2 tiệm cận đứng $x=1,x=3$, không phải 1 → sai. Khớp đáp án nguồn: a Đ, b S, c Đ, d S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đạo hàm $f^{\prime }(x)=3x^2-6x$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=0\iff x=0$ hoặc $x=2$; $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x=2$ nên cực tiểu tại $x=2$ (còn $x=0$ là cực đại).
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(0)=0,f(2)=-4,f(4)=16$ nên GTLN trên $[0;4]$ là 16.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y=\frac{x^2(x-3)}{(x-1)(x-3{)}^2}=\frac{x^2}{(x-1)(x-3)}$ có 2 tiệm cận đứng $x=1$ và $x=3$.