Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=8x^3-8x=8x(x-1)(x+1)$. $y^{\prime }=0\iff x=0,x=\pm 1$. Xét dấu $y^{\prime }$: $y^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;-1)$, $y^{\prime }<0$ trên $(-1;0)$, $y^{\prime }>0$ trên $(0;1)$, $y^{\prime }<0$ trên $(1;+\infty )$. Hàm số đạt cực đại tại $x=0$ với $y(0)=4$ (cực tiểu tại $x=\pm 1$ với $y=2$). Vậy giá trị cực đại là $4$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f^{\prime }(x)=(x-1)(x-2{)}^2(x-3{)}^3(x-4{)}^4$. Nghiệm của $f^{\prime }(x)$ là $x=1,2,3,4$. Điểm cực trị chỉ xảy ra tại nơi $f^{\prime }$ đổi dấu. Tại $x=1$: bậc lẻ (1), $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ (cực tiểu). Tại $x=2$: bậc chẵn (2), $f^{\prime }$ không đổi dấu. Tại $x=3$: bậc lẻ (3), $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ (cực đại). Tại $x=4$: bậc chẵn (4), $f^{\prime }$ không đổi dấu. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị tại $x=1$ và $x=3$, khớp với đáp án D.

Đáp án chính thức (bảng hướng dẫn chấm, mã đề 0102): a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$ trên $\mathbb{R}\setminus \{2\}$: tại $x=-1$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=-1$ là điểm cực đại; tại $x=0$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=0$ là điểm cực tiểu; tại $x=2$ hàm số không xác định nên không phải điểm cực trị (dù $f^{\prime }$ đổi dấu qua $x=2$); tại $x=3$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=3$ là điểm cực tiểu. Vậy hàm số có 3 điểm cực trị: $x=-1,0,3$. Tổng tất cả các điểm cực trị: $-1+0+3=2$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 0102, Câu 3: 2).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $f^{\prime }(x)$ cắt trục hoành tại ba điểm $x=-1$, $x=0$ và $x=2$. Xét dấu $f^{\prime }$: với $x<-1$ thì $f^{\prime }(x)<0$; với $-1<x<0$ thì $f^{\prime }(x)>0$; với $0<x<2$ thì $f^{\prime }(x)<0$; với $x>2$ thì $f^{\prime }(x)>0$. Điểm cực tiểu xảy ra khi $f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương, tức tại $x=-1$ và $x=2$ (tại $x=0$, $f^{\prime }$ đổi từ dương sang âm nên là điểm cực đại). Vậy hàm số có $2$ điểm cực tiểu, đáp án B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0102, câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=-1$ (trước $x=-1$ thì $f^{\prime }<0$, sau $x=-1$ thì $f^{\prime }>0$), đồng thời $f(x)$ giảm rồi tăng, đạt giá trị $-3$ tại $x=-1$. Vậy điểm cực tiểu của hàm số là $x=-1$. Tại $x=2$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm nên đó là điểm cực đại. Đáp án khớp với đáp án nguồn (D).

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu $f^{\prime }(x)=(x+2)x^2(x-1{)}^3$: với $x<-2$, $f^{\prime }>0$; với $-2<x<0$, $f^{\prime }<0$; với $0<x<1$, $f^{\prime }<0$ (do $x^2>0$ và $(x-1{)}^3<0$); với $x>1$, $f^{\prime }>0$. Tại $x=-2$: $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên là điểm cực đại. Tại $x=0$: $f^{\prime }$ không đổi dấu (vẫn âm) nên không phải cực trị. Tại $x=1$: $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên là điểm cực tiểu. Vậy hàm số có $2$ điểm cực trị, đáp án C (khớp với đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$ trên $\mathbb{R}\setminus \{1\}$: tại $x=-1$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=-1$ là điểm cực đại; tại $x=0$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=0$ là điểm cực tiểu; tại $x=2$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=2$ là điểm cực tiểu. Tại $x=1$ hàm số không xác định nên không phải điểm cực trị. Vậy tổng các điểm cực trị là $-1+0+2=1$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 0101, Phần III Câu 4 bằng $1$).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $y^{\prime }$ đổi dấu $+$ thành $-$ tại $x=-2$ và $x=2$ (hai điểm cực đại, giá trị cực đại bằng $3$), và đổi dấu $-$ thành $+$ tại $x=0$ (một điểm cực tiểu, giá trị cực tiểu bằng $-1$). Vậy hàm số có ba điểm cực trị, hai điểm cực đại, giá trị cực tiểu bằng $-1$. Mệnh đề sai là C vì giá trị cực đại bằng $3$ chứ không phải $-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu: $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;0)$ (trừ $x=-1$ là điểm không xác định của đạo hàm, hàm vẫn giảm), $f^{\prime }(0)=0$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(0;1)$, $f^{\prime }(1)=0$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(1;+\infty )$.
- A sai: trên $[-1;1]$ hàm giảm trên $[-1;0]$ rồi tăng trên $[0;1]$ nên $f(0)$ là giá trị nhỏ nhất, không phải lớn nhất; max đạt tại $f(-1)$ hoặc $f(1)$.
- B đúng: trên $(0;+\infty )$ hàm tăng trên $(0;1)$, giảm trên $(1;+\infty )$, nên max đạt tại $x=1$: $\underset{(0;+\infty )}{\max }f(x)=f(1)$.
- C sai: trên $(-\infty ;-1)$ hàm nghịch biến, khoảng mở nên không đạt max (chỉ có supremum).
- D sai: trên $(0;1)$ hàm đồng biến, khoảng mở nên không đạt max.
Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f^{\prime }(x)=x(x-1{)}^2(x+2{)}^4$. Nghiệm của $f^{\prime }$ là $x=0$ (bội 1), $x=1$ (bội 2), $x=-2$ (bội 4). Dấu của $f^{\prime }$ chỉ đổi khi nghiệm có bội lẻ, tức chỉ tại $x=0$: với $x<0$ thì $f^{\prime }(x)<0$, với $x>0$ (mọi $x\ne 1,-2$) thì $f^{\prime }(x)>0$. Tại $x=0$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương nên $f$ đạt cực tiểu tại $x=0$. Tại $x=1$ và $x=-2$, $f^{\prime }$ không đổi dấu (bội chẵn) nên không phải điểm cực trị. Vậy hàm số có đúng 1 điểm cực trị → chọn A. Kết quả trùng với đáp án nguồn (A).

Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$: $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=-3$, $x=-1$, $x=1$ (và $x=3$). Quan sát dấu của $f^{\prime }$: $f^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua $x=-3$ (điểm cực đại), từ âm sang dương khi qua $x=-1$ (điểm cực tiểu), và từ dương sang âm khi qua $x=1$ (điểm cực đại). Vậy điểm cực tiểu của hàm số $y=f(x)$ là $x=-1$. Khớp với bảng đáp án chính thức (Mã đề 110, Câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=3x^2+8x-3$. Giải $y^{\prime }=0$: $3x^2+8x-3=0\iff x=\frac{-8\pm \sqrt{64+36}}{6}=\frac{-8\pm 10}{6}$, tức $x=\frac{1}{3}$ hoặc $x=-3$. Vì hệ số $a=3>0$, hàm số đạt cực đại tại $x=-3$ và cực tiểu tại $x=\frac{1}{3}$. Giá trị cực đại: $y(-3)=(-3{)}^3+4(-3{)}^2-3(-3)+4=-27+36+9+4=22$. Vậy hàm số đạt cực đại tại $x=-3$, giá trị cực đại là 22, khớp với đáp án B trong bảng đáp án (Mã đề 110, Câu 9 = B).

(AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$.
a) $f^{\prime }(x)<0$ trên $(0;2)$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng này, không đồng biến trên tập xác định → SAI.
b) $f^{\prime }(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt $x=0$ (cực đại) và $x=2$ (cực tiểu) → ĐÚNG.
c) $f(0)=1>0$, $f(2)=-3<0$, hàm liên tục nên theo định lý giá trị trung gian đồ thị cắt trục hoành (hàm bậc 3 luôn có ít nhất một nghiệm thực) → ĐÚNG.
d) Trên $\left[-1;\frac{5}{2}\right]$: $f(-1)=-3$, $f(0)=1$, $f(2)=-3$, $f\left(\frac{5}{2}\right)=\frac{125}{8}-\frac{75}{4}+1=\frac{125-150+8}{8}=-\frac{17}{8}$. Giá trị nhỏ nhất bằng $-3$, không lớn hơn $-3$ → SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3x(x-2)<0$ trên $(0;2)$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng này, không đồng biến trên tập xác định.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt $x=0$ (cực đại) và $x=2$ (cực tiểu).
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(0)=1>0$ và $f(2)=-3<0$, hàm liên tục nên theo định lý giá trị trung gian, đồ thị luôn cắt trục hoành.
d) (AI giải đề cho tôi)
So sánh $f(-1)=-3$, $f(0)=1$, $f(2)=-3$, $f\left(\frac{5}{2}\right)=\frac{125}{8}-\frac{75}{4}+1=-\frac{17}{8}$; giá trị nhỏ nhất bằng $-3$, không lớn hơn $-3$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3-3x^2+mx+m^2+2m+1$ có $y^{\prime }=3x^2-6x+m$. Hàm số bậc ba có hai cực trị khi và chỉ khi phương trình $y^{\prime }=0$ có hai nghiệm phân biệt, tức ${\Delta }^{\prime }=(-6{)}^2-4\cdot 3\cdot m=36-12m>0\iff m<3$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm đồng biến trên $(-\infty ;-1)$, nghịch biến trên $(-1;2)$, đồng biến trên $(2;+\infty )$; đạt cực đại $y=2$ tại $x=-1$ và cực tiểu $y=-1$ tại $x=2$ ($y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ qua $x=2$).
a) Sai: hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$ vì $f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=2$, nên khẳng định 'không đạt cực tiểu' là sai.
b) Đúng: trên $(-\infty ;-1)$ hàm tăng từ $-\infty$ lên $2$ nên cắt trục hoành đúng 1 điểm; trên $(-1;2)$ hàm giảm từ $2$ xuống $-1$ (giá trị đổi dấu từ dương sang âm) nên cắt đúng 1 điểm; trên $(2;+\infty )$ hàm tăng từ $-1$ lên $+\infty$ nên cắt đúng 1 điểm. Tổng cộng đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
c) Đúng: trên $(-1;2)$ có $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến.
d) Sai: khi $x\to -\infty$ thì $y\to -\infty$ nên hàm số không có giá trị nhỏ nhất; $y=-1$ chỉ là giá trị cực tiểu (cục bộ) tại $x=2$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$ vì $f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=2$, nên khẳng định 'không đạt cực tiểu' là sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-\infty ;-1)$ hàm tăng từ $-\infty$ lên $2$: cắt trục hoành 1 điểm; trên $(-1;2)$ hàm giảm từ $2$ xuống $-1$ (đổi dấu từ dương sang âm): cắt 1 điểm; trên $(2;+\infty )$ hàm tăng từ $-1$ lên $+\infty$: cắt 1 điểm. Tổng cộng 3 điểm phân biệt.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên khoảng $(-1;2)$ có $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến.
d) (AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to -\infty$ thì $y\to -\infty$ nên hàm số không có giá trị nhỏ nhất; $y=-1$ chỉ là giá trị cực tiểu tại $x=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$: tại $x=-1$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=-1$ là điểm cực đại. Tại $x=2$, $f^{\prime }$ không đổi dấu (vẫn âm) nên không phải điểm cực trị. Tại $x=4$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=4$ là điểm cực tiểu. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu $f^{\prime }(x)=(x+2)(x-1{)}^2(x+3{)}^3(x-4{)}^5$ với các nghiệm $x=-3,-2,1,4$. Bậc lẻ của $(x+3{)}^3$, $(x+2)$, $(x-4{)}^5$ làm dấu đổi qua các nghiệm này; $(x-1{)}^2$ bậc chẵn không đổi dấu. Với $x<-3$: $f^{\prime }(x)<0$; qua $x=-3$ (bậc lẻ) đổi thành $f^{\prime }>0$ → điểm cực tiểu tại $x=-3$. Qua $x=-2$: $f^{\prime }$ đổi từ $+$ sang $-$ → cực đại. Qua $x=1$: không đổi dấu → không cực trị. Qua $x=4$: đổi từ $-$ sang $+$ → điểm cực tiểu tại $x=4$. Vậy hàm số có 2 điểm cực tiểu.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=x(x-1)(x-2)=x^3-3x^2+2x$, nên $f^{\prime }(x)=3x^2-6x+2$. Đây là tam thức bậc hai có biệt thức $\Delta =(-6{)}^2-4\cdot 3\cdot 2=36-24=12>0$, nên phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt $x=1\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$. Hàm số là hàm bậc ba nên tại hai nghiệm này đạo hàm đổi dấu, tức hàm số có đúng 2 điểm cực trị (một cực đại, một cực tiểu). Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Với $y=(x+1{)}^2{e}^{-x}$, ta có $y^{\prime }=e^{-x}\left[2(x+1)-(x+1{)}^2\right]=e^{-x}(x+1)(1-x)$. Vì $e^{-x}>0$, dấu $y^{\prime }$ theo dấu $(x+1)(1-x)$: trên $(-\infty ;-1)$ thì $y^{\prime }<0$, trên $(-1;1)$ thì $y^{\prime }>0$, trên $(1;+\infty )$ thì $y^{\prime }<0$. Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1$ và cực đại tại $x=1$. Do đó khẳng định đúng là D.