Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 11, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 7, mã đề 311; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Ta có $f^{\prime }(x)=(2x^2-1)(x^2-2)=0\iff x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ hoặc $x=\pm \sqrt{2}$. Cả $4$ nghiệm đều là nghiệm đơn nên $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi qua $4$ nghiệm này. Vậy hàm số có $4$ điểm cực trị. Chọn B.

Ta thấy $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm khi $x$ qua các điểm $-3,1,5$ nên hàm số có $3$ điểm cực đại. Chọn D.

Ta có $g^{\prime }(x)=3f^{\prime }(x-4)=3[(x-4{)}^3-1][3(x-4)-1]=0\iff x-4=1\iff x=5$ hoặc $3x-13=0\iff x=\frac{13}{3}$. Hai nghiệm này đều là nghiệm bội lẻ nên $g^{\prime }(x)$ đổi dấu khi qua 2 nghiệm này. Vậy $g(x)$ có $2$ điểm cực trị. Chọn D.

Đạo hàm $f^{\prime }(x)=(x+1)(x-1{)}^2(x-2)$ đổi dấu khi đi qua hai nghiệm bội lẻ $x=-1$ và $x=2$ (không đổi dấu qua nghiệm bội chẵn $x=1$). Vậy hàm số có $2$ điểm cực trị.

a) Đúng. Từ đồ thị, điểm cực đại của đồ thị hàm số là $(0;3)$ nên giá trị cực đại của hàm số bằng $3$.
b) Sai. Trên khoảng $(0;+\infty )$, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng $-1$ đạt được tại điểm $x=2$ (không phải $x=-1$).
c) Sai. Trên khoảng $(0;2)$, đồ thị đi xuống từ $3$ xuống $-1$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2)$.
d) Đúng. Phương trình $f(x)-1=0\iff f(x)=1$. Vì $-1<1<3$ nên đường thẳng $y=1$ cắt đồ thị hàm số tại đúng $3$ điểm phân biệt.

Ta có $y^{\prime }=-3x^2+12x=0\iff x=0$ (cực tiểu) hoặc $x=4$ (cực đại). Với $x=4\Rightarrow y(4)=-4^3+6\cdot 4^2+12=44$. Vậy điểm cực đại của đồ thị $(C)$ là $M(4;44)$, suy ra $2a+b=2\cdot 4+44=52$.

Ta có $y^{\prime }=x^2-4x+3=0\iff x=1$ hoặc $x=3$. Điểm cực tiểu là $x=3$, khi đó $y(3)=9-18+9-1=-1$. Tọa độ điểm cực tiểu là $(3;-1)$. Vậy chọn B.

Ta có $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$.
$y_1=y(-1)=2$, $y_2=y(1)=-2$.
Vậy $2y_1-y_2=2(2)-(-2)=6$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề thi 2009, trang 5), Câu 2 (Phần I) chọn đáp án B.

Ta có $f^{\prime }(x)=6x^2-18x-24=0\iff x=-1$ hoặc $x=4$.
Hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ với giá trị cực đại $f(-1)=2(-1{)}^3-9(-1{)}^2-24(-1)+1=14$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 17, mã đề 1001; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Từ bảng biến thiên, đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm qua $x=0$ (cực đại) và đổi dấu từ âm sang dương qua $x=1$ (cực tiểu). Chọn D.

Vì $v^{\prime }(t)=a(t)$, vận tốc $v(t)$ đạt cực đại tại điểm đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm. Đồ thị $a(t)$ cắt trục hoành tại $t=2$ từ phía dương sang phía âm, do đó vận tốc đạt giá trị lớn nhất tại $t=2$.

a) Đúng: Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị tại $x=0$ (cực đại) và $x=2$ (cực tiểu).
b) Đúng: Trên đoạn $[0;3]$, giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt tại điểm cực tiểu $x=2$, có $f(2)=-4$.
c) Sai: Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2)$ và đồng biến trên $(2;+\infty )$, do đó không nghịch biến trên $(1;+\infty )$.
d) Đúng: Đồ thị hàm số $y=f(x)$ cắt trục hoành tại đúng 2 điểm (trong đó có 1 điểm tiếp xúc), do đó phương trình $f(x)=0$ có 2 nghiệm thực, dẫn đến đồ thị hàm số $y=\frac{1}{f(x)}$ có đúng 2 đường tiệm cận đứng.
(Theo bảng đáp án chính thức mã đề 1101: ĐĐSĐ).

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 6, mã đề 1201; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Theo đáp án chính thức mã đề 0101:
a) Đúng: $f^{\prime }(x)=3x^2-3$.
b) Đúng: $f^{\prime }(x)=0\iff x=\pm 1$. $f(-1)=-1+3+2=4$, đây là điểm cực đại.
c) Sai: $x^3-3x+2=(x-1{)}^2(x+2)=0$ chỉ có 2 nghiệm phân biệt là $x=1$ và $x=-2$.
d) Đúng: Tại $x=0$, $y=2$, hệ số góc $f^{\prime }(0)=-3$. Phương trình tiếp tuyến là $y=-3x+2$.

Từ bảng biến thiên, hàm số đạt cực đại tại $x=-2$ với giá trị cực đại $y_{\text{CĐ}}=0$, đạt cực tiểu tại $x=3$ với giá trị cực tiểu $y_{\text{CT}}=-3$.
Tổng giá trị cực đại và cực tiểu là: $y_{\text{CĐ}}+y_{\text{CT}}=0+(-3)=-3$.
(Theo bảng đáp án chính thức trang 7, mã đề 0512: B).

Đạo hàm $f^{\prime }(x)=0\iff x=2$ hoặc $x=1$. Nghiệm $x=2$ là nghiệm bội chẵn nên $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu khi qua $x=2$. Nghiệm $x=1$ là nghiệm đơn nên $f^{\prime }(x)$ đổi dấu. Vậy hàm số có 1 điểm cực trị.

Ta có $y^{\prime }=3x^2+6x=0\iff x=0$ hoặc $x=-2$. Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là $A(0;-1)$ và $B(-2;3)$. Khoảng cách $AB=\sqrt{(-2-0{)}^2+(3-(-1){)}^2}=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}$. Chọn A.