Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M(x₀, y₀) trên đồ thị (C) là k = y'(x₀) = -3x₀² + 6x₀ + 9 = -3(x₀ - 1)² + 12 ≤ 12. Dấu bằng xảy ra khi x₀ = 1. Vậy hệ số góc lớn nhất của tiếp tuyến là 12.

a) Sai. Ta có $f^{\prime }(x)=(x-1{)}^2\left(x^2-3x+2\right)=(x-1{)}^3(x-2)$. $f^{\prime }(x)=0\iff \left[\begin{array}{c}x=1\\ x=2\end{array}\right]$. Vậy phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có hai nghiệm.
b) Đúng. Bảng biến thiên $y=f(x)$: Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y=f(x)$ ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;1),(2;+\infty )$. Ta có $(-3;0)\subset (-\infty ;1)$ nên hàm số $f(x)$ đồng biến trên khoảng $(-3;0)$.
c) Đúng. Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y=f(x)$ ta thấy hàm số có hai điểm cực trị.
d) Sai. Ta có $y=f\left(x^2-6x+1\right)\Rightarrow y^{\prime }={\left(x^2-6x+1\right)}^{\prime }{f}^{\prime }\left(x^2-6x+1\right)=(2x-6)f^{\prime }\left(x^2-6x+1\right)$. $$y^{\prime }=0\iff (2x-6)f^{\prime }\left(x^2-6x+1\right)=0\iff \{\begin{array}{l}2x-6=0\\ x^2-6x+1=1\\ x^2-6x+1=2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=3\\ x=0\\ x=6\\ x=-3+\sqrt{10}\\ x=-3-\sqrt{10}\end{array}.$$ Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y=f\left(x^2-6x+1\right)$ ta thấy hàm số có hai điểm cực đại.
a) a) Sai. Ta có $f^{\prime }(x)=(x-1{)}^2\left(x^2-3x+2\right)=(x-1{)}^3(x-2)$. $f^{\prime }(x)=0\iff \left[\begin{array}{c}x=1\\ x=2\end{array}\right]$. Vậy phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có hai nghiệm.
b) b) Đúng. Bảng biến thiên $y=f(x)$: Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y=f(x)$ ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;1),(2;+\infty )$. Ta có $(-3;0)\subset (-\infty ;1)$ nên hàm số $f(x)$ đồng biến trên khoảng $(-3;0)$.
c) c) Đúng. Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y=f(x)$ ta thấy hàm số có hai điểm cực trị.
d) d) Sai. Ta có $y=f\left(x^2-6x+1\right)\Rightarrow y^{\prime }={\left(x^2-6x+1\right)}^{\prime }{f}^{\prime }\left(x^2-6x+1\right)=(2x-6)f^{\prime }\left(x^2-6x+1\right)$. $$y^{\prime }=0\iff (2x-6)f^{\prime }\left(x^2-6x+1\right)=0\iff \{\begin{array}{l}2x-6=0\\ x^2-6x+1=1\\ x^2-6x+1=2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=3\\ x=0\\ x=6\\ x=-3+\sqrt{10}\\ x=-3-\sqrt{10}\end{array}.$$ Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y=f\left(x^2-6x+1\right)$ ta thấy hàm số có hai điểm cực đại.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2+3x+3}{x+2}$, $y^{\prime }=\frac{(2x+3)(x+2)-(x^2+3x+3)}{(x+2{)}^2}=\frac{x^2+4x+3}{(x+2{)}^2}=\frac{(x+1)(x+3)}{(x+2{)}^2}$. $y^{\prime }=0\iff x=-3$ hoặc $x=-1$ (đều khác $x=-2$ nên hợp lệ). Xét dấu của $y^{\prime }$: trên $(-\infty ;-3)$ có $y^{\prime }>0$; trên $(-3;-1)$ có $y^{\prime }<0$; trên $(-1;+\infty )$ có $y^{\prime }>0$. Vậy hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-3)$ và $(-1;+\infty )$, nghịch biến trên $(-3;-1)$; do đó $x=-3$ là hoành độ điểm cực đại và $x=-1$ là hoành độ điểm cực tiểu, tức $a=-3$, $b=-1$. Suy ra $A=2a+b=2(-3)+(-1)=-7$. Kết quả khớp với đáp án $-7$ ở trang đáp án.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=\frac{x^2+mx+1}{x+m}$, $x\ne -m$. Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{(2x+m)(x+m)-(x^2+mx+1)}{(x+m{)}^2}=\frac{x^2+2mx+m^2-1}{(x+m{)}^2}=\frac{(x+m{)}^2-1}{(x+m{)}^2}$.

a) Khi $m=0$: $y=x+\frac{1}{x}$ trên $(0;+\infty )$, theo AM–GM $y\ge 2$ với min $=2$ tại $x=1$, không phải $-2$ → Sai.

b) $f^{\prime }(x)=0\iff x=-m\pm 1$, hai nghiệm phân biệt và đều khác $-m$ (điểm không xác định), nên hàm số luôn có 2 cực trị → Đúng.

c) Trên $(-m;+\infty )$: $f^{\prime }<0$ khi $-m<x<-m+1$, $f^{\prime }>0$ khi $x>-m+1$ nên min tại $x=-m+1$: $f(-m+1)=\frac{(-m+1{)}^2+m(-m+1)+1}{1}=2-m$. Trên $(-\infty ;-m)$: max tại $x=-m-1$: $f(-m-1)=\frac{(m+1{)}^2-m(m+1)+1}{-1}$... tính lại: mẫu $=(m+1{)}^2-m(m+1)+1=m+2$, mẫu số $=-1$, vậy $f(-m-1)=-(m+2)=-m-2$. Khi đó $\min -\max =(2-m)-(-m-2)=4-2m$, chỉ bằng $4$ khi $m=0$, không phải với mọi $m$ → Sai.

d) Với $m=-3$: $f(x)=\frac{x^2-3x+1}{x-3}$, $f^{\prime }(x)=\frac{(x-3{)}^2-1}{(x-3{)}^2}$; trên $[-1;2]$ (nội suy $(2;4)$) có $f^{\prime }>0$ nên hàm đồng biến, max tại $x=2$: $f(2)=\frac{4-6+1}{-1}=-1\ne 1$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=0$, $y=x+1/x\ge 2$ trên $(0;+\infty )$, min $=2$ chứ không phải $-2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{(x+m{)}^2-1}{(x+m{)}^2}=0$ có hai nghiệm $x=-m\pm 1$ phân biệt, đều khác $-m$, nên luôn có 2 cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\min }_{(-m;+\infty )}y=2-m$ (tại $x=-m+1$), ${\max }_{(-\infty ;-m)}y=-m-2$ (tại $x=-m-1$), hiệu bằng $4-2m$, chỉ bằng 4 khi $m=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=-3$, hàm đồng biến trên $[-1;2]$ nên max $=f(2)=-1\ne 1$.

(AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$. a) Với $m=0$, trên $(-1;1)$ có $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến, mệnh đề sai. b) $f^{\prime }(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt $x=\pm 1$ nên hàm số có hai cực trị, đúng. c) Trên $[0;2]$: $f(0)=m$, $f(1)=m-2$, $f(2)=m+2$; so sánh được $\min =m-2$ (tại $x=1$), đúng. d) Trên $[0;2]$, $|f(x)|$ chỉ đạt cực đại tại các điểm $x=0,1,2$ (nơi $f=0$ thì $|f|=0$). Cần $\max \{|m|,|m-2|,|m+2|\}=3$. Thử: $|m|=3$ cho $m=\pm 3$ đều bị loại (max bằng 5 hoặc 4); $|m-2|=3$ cho $m=5$ (loại) hoặc $m=-1$: các giá trị $-1,-3,1$ nên max $|f|=3$, nhận; $|m+2|=3$ cho $m=-5$ (loại) hoặc $m=1$: các giá trị $1,-1,3$ nên max $|f|=3$, nhận. Vậy $S=\{-1;1\}$ có hai phần tử, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=0$, $f^{\prime }(x)=3x^2-3<0$ trên $(-1;1)$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng này.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$ (hai nghiệm phân biệt, đổi dấu), nên hàm số có hai cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(0)=m$, $f(1)=m-2$, $f(2)=m+2$, nên ${\min }_{[0;2]}f=m-2$ tại $x=1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Cần $\max \{|m|,|m-2|,|m+2|\}=3$. Kiểm tra từng trường hợp chỉ còn $m=-1$ và $m=1$ thỏa mãn, vậy $S=\{-1;1\}$ có hai phần tử.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đạo hàm $f^{\prime }(x)=3x^2-12x+m$ — đúng. b) Với $m=0$: $f^{\prime }(x)=3x(x-4)$ có hai nghiệm phân biệt $x=0,x=4$ nên $f$ có hai cực trị — sai. c) $f$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi $f^{\prime }(x)\ge 0$ với mọi $x$, tức $\Delta =144-12m\le 0\iff m\ge 12$, không phải $m\ge 2$ — sai. d) Hai cực trị có hoành độ trái dấu khi phương trình $3x^2-12x+m=0$ có hai nghiệm trái dấu, tức tích nghiệm $\frac{m}{3}<0\iff m<0$. Các giá trị nguyên $m\in [-7;1]$ với $m<0$ là $-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1$: có 7 giá trị, không phải 5 — sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3x^2-12x+m$ theo quy tắc đạo hàm của đa thức.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=0$, $f^{\prime }(x)=3x(x-4)$ có hai nghiệm phân biệt nên $f$ có hai điểm cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
Cần $\Delta =144-12m\le 0\iff m\ge 12$, không phải $m\ge 2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai nghiệm trái dấu khi $\frac{m}{3}<0\iff m<0$; các giá trị nguyên trong $[-7;1]$ là $-7,...,-1$: 7 giá trị, không phải 5.

(AI giải đề cho tôi)
Viết $y=\frac{x^2+x+4}{x+1}=x+\frac{4}{x+1}$ (với $x\ne -1$). Ta có $y^{\prime }=1-\frac{4}{(x+1{)}^2}=0\iff (x+1{)}^2=4\iff x=1$ hoặc $x=-3$. Xét dấu đạo hàm: trên $(-\infty ;-3)$ và $(1;+\infty )$ thì $y^{\prime }>0$; trên $(-3;-1)$ và $(-1;1)$ thì $y^{\prime }<0$. Vậy hàm đạt cực đại tại $x=1$ với $m=y(1)=1+\frac{4}{2}=3$, và cực tiểu tại $x=-3$ với $n=y(-3)=-3+\frac{4}{-2}=-5$. Do đó $P=m^3+n^3=27+(-125)=-98$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^4-3x^2+ax+b$ có $y^{\prime }=4x^3-6x+a$. Vì $A(2;-2)$ là điểm cực tiểu nên $y^{\prime }(2)=0$: $4(8)-12+a=0\Rightarrow a=-20$. Đồng thời $A$ thuộc đồ thị: $y(2)=16-12+2a+b=-2\Rightarrow -36+b=-2\Rightarrow b=34$. Kiểm tra: $y^{\prime }=4x^3-6x-20=2(x-2)(2x^2+4x+5)$, tam thức $2x^2+4x+5$ luôn dương nên $y^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương qua $x=2$, đúng là điểm cực tiểu. Vậy $S=a+b=-20+34=14$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo bảng xét dấu ở ảnh gốc (Câu 58): dãy dấu của $f^{\prime }(x)$ là $+0-$ tại $x=-3$, rồi $\Vert$ tại $x=-2$ (không xác định), sau đó $-0+0-$ qua $x=-1$ và $x=0$, rồi $\Vert$ tại $x=1$ (không xác định), sau đó $+0-0+$ qua $x=2$ và $x=3$. Xét từng điểm: tại $x=-3$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ → cực đại; tại $x=-2$, $f^{\prime }$ không xác định nhưng không đổi dấu ($-$ sang $-$) → không phải cực trị; tại $x=-1$, đổi từ $-$ sang $+$ → cực tiểu; tại $x=0$, đổi từ $+$ sang $-$ → cực đại; tại $x=1$, không xác định nhưng không đổi dấu ($-$ sang $-$) → không phải cực trị; tại $x=2$, đổi từ $-$ sang $+$ → cực tiểu; tại $x=3$, đổi từ $+$ sang $-$ → cực đại. Vậy hàm số có 5 điểm cực trị: $x=-3,-1,0,2,3$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f^{\prime }(x)=(x-1)(x+2{)}^2(x-3{)}^3$ với các nghiệm $x=1$ (bội 1), $x=-2$ (bội 2), $x=3$ (bội 3). Dấu của $f^{\prime }$: trên $(-\infty ;-2)$: $f^{\prime }<0$; trên $(-2;1)$: $f^{\prime }<0$ (vì $(x+2{)}^2>0$ không đổi dấu); trên $(1;3)$: $f^{\prime }>0$; trên $(3;+\infty )$: $f^{\prime }<0$. Tại $x=-2$, $f^{\prime }$ không đổi dấu (bội chẵn) nên không phải cực trị. Tại $x=1$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên là điểm cực tiểu. Tại $x=3$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên là điểm cực đại. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
y' = ((2x+3)(x+2) - (x²+3x+3))/(x+2)² = (x²+4x+3)/(x+2)² → a đúng. y'=0 tại x=-3, x=-1; y(-3)=-3, y(-1)=1 nên B(-3;-3), A(-1;1) → hai điểm nằm hai phía trục tung → b đúng. AB có hệ số góc (1+3)/(-1+3)=2, phương trình y=2x+3 (không phải y=2x+1) → c sai. Trung điểm AB là (-2;-1) thuộc Δ: -2+2(-1)+4=0; hệ số góc AB là 2, hệ số góc Δ là -1/2, tích bằng -1 → AB⊥Δ và Δ qua trung điểm → d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
y' = ((2x+3)(x+2)-(x²+3x+3))/(x+2)² = (x²+4x+3)/(x+2)².
b) (AI giải đề cho tôi)
y'=0 tại x=-3 và x=-1; y(-3)=-3, y(-1)=1 nên B(-3;-3), A(-1;1) nằm hai phía trục tung.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hệ số góc AB = (1-(-3))/(-1-(-3)) = 2, qua A(-1;1): y = 2x+3, không phải y=2x+1.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trung điểm AB là (-2;-1) thỏa x+2y+4=0; hệ số góc AB = 2, hệ số góc Δ = -1/2, tích = -1 nên AB⊥Δ. Vậy A, B đối xứng qua Δ.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=(m-1)x^4-(m^2-2)x^2+2$, có $y^{\prime }=4(m-1)x^3-2(m^2-2)x=2x\left[2(m-1)x^2-(m^2-2)\right]$.
a) Khi $m=0$: $y=-x^4+2x^2+2$, $y^{\prime }=4x(1-x^2)$ có 3 nghiệm phân biệt $x=0,\pm 1$ và $y^{\prime }$ đổi dấu qua mỗi nghiệm nên hàm số có 3 điểm cực trị. Đúng.
b) Khi $m=1$: $y=x^2+2$ có điểm cực tiểu $M(0;2)$, nên $a+b=0+2=2$. Đúng.
c) Khi $m=2$: $y=x^4-2x^2+2$, $y^{\prime }=4x(x^2-1)$; xét dấu: $y^{\prime }<0$ khi $x<-1$, $y^{\prime }>0$ khi $-1<x<0$, vậy hàm số đạt cực tiểu (không phải cực đại) tại $x=-1$. Sai.
d) Để $x=-1$ là nghiệm của $y^{\prime }=0$: $2(m-1)=m^2-2\iff m^2-2m=0\iff m=0$ hoặc $m=2$; cả hai giá trị đều cho $x=-1$ là điểm cực tiểu (kiểm tra dấu $y^{\prime }$). Vậy không tồn tại duy nhất $m=k$ thỏa mãn, và với $k\in \{0;2\}$ thì ${\log }_{k}8=2$ không đúng (${\log }_{2}8=3$, $k=0$ không hợp lệ). Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=0$, $y^{\prime }=-4x^3+4x=4x(1-x^2)$ có 3 nghiệm $x=0,\pm 1$ và đổi dấu qua mỗi nghiệm nên hàm số có 3 điểm cực trị.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=1$, $y=x^2+2$ đạt cực tiểu tại $M(0;2)$ nên $a+b=2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=2$, $y^{\prime }=4x(x^2-1)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi qua $x=-1$, nên $x=-1$ là điểm cực tiểu, không phải cực đại.
d) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $y^{\prime }(-1)=0$ cho $m^2-2m=0\iff m\in \{0;2\}$, cả hai đều cho cực tiểu tại $x=-1$, không xác định được $k$ duy nhất; hơn nữa ${\log }_{2}8=3\ne 2$ và $k=0$ không hợp lệ nên khẳng định sai.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=(x+3)(x+2{)}^3(x^2-4)=(x+3)(x+2{)}^4(x-2)$. Vì $(x+2{)}^4\ge 0$ nên dấu của $f^{\prime }(x)$ do $(x+3)(x-2)$ quyết định: $f^{\prime }(x)>0$ khi $x<-3$ hoặc $x>2$; $f^{\prime }(x)<0$ khi $-3<x<2$ (tại $x=-2$ thì $f^{\prime }=0$ nhưng không đổi dấu). Vậy hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-3)$, nghịch biến trên $(-3;2)$, đồng biến trên $(2;+\infty )$. Do đó $x=-3$ là điểm cực đại, $x=2$ là điểm cực tiểu, còn $x=-2$ không phải điểm cực trị và $f(-3)>f(-2)>f(2)$.
a) Sai: vì $f(-3)>f(-2)$ nên $f(-2)>\max \{f(-3);f(2)\}$ là vô lý.
b) Sai: thứ tự đúng là $f(-3)>f(-2)>f(2)$.
c) Sai: vì $f(2)<f(-2)$ nên $f(-2)<\min \{f(-3);f(2)\}$ là vô lý.
d) Sai: $f^{\prime }(-3)=f^{\prime }(-2)=f^{\prime }(2)=0$ nên không thể có $f^{\prime }(-3)>f^{\prime }(-2)>f^{\prime }(2)$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $f(-3)$ là giá trị cực đại nên $f(-3)>f(-2)$, do đó $f(-2)>\max \{f(-3);f(2)\}$ sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đồng biến trên $(-\infty ;-3)$, nghịch biến trên $(-3;2)$, đồng biến trên $(2;+\infty )$ nên $f(-3)>f(-2)>f(2)$, mệnh đề sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $f(2)$ là giá trị cực tiểu nên $f(2)<f(-2)$, do đó $f(-2)<\min \{f(-3);f(2)\}$ sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(-3)=f^{\prime }(-2)=f^{\prime }(2)=0$ nên bất đẳng thức $f^{\prime }(-3)>f^{\prime }(-2)>f^{\prime }(2)$ sai.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=6x^2-12x+4-2m$. a) Đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi ${\Delta }^{\prime }\le 0$: $36-6(4-2m)\le 0\iff m\le -1$, không có giá trị nguyên dương nào → sai. b) Có hai cực trị khi ${\Delta }^{\prime }>0\iff m>-1$; các giá trị nguyên trong $[-2024;2024]$ là $m=0,1,\dots ,2024$: đúng 2025 giá trị → đúng. c) Đồng biến trên $(2;+\infty )$: $y^{\prime }(2)=4-2m\ge 0\iff m\le 2$, vậy $a=2$; khi đó $(-\infty ;2]\cap (3;2025)=\varnothing \ne (-\infty ;2025)$ → sai. d) Với $a=2$, phương trình $8^x=2$ có nghiệm $x=\frac{1}{3}\le 2$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=6x^2-12x+4-2m\ge 0\forall x\iff {\Delta }^{\prime }\le 0\iff m\le -1$: không có giá trị nguyên dương, không phải 5.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hai cực trị khi ${\Delta }^{\prime }>0\iff m>-1$; các số nguyên $m\in [-2024;2024],m>-1$ là $0,1,\dots ,2024$: đúng 2025 giá trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }(2)=4-2m\ge 0\iff m\le 2$ nên $a=2$; $(-\infty ;2]\cap (3;2025)=\varnothing$, không phải $(-\infty ;2025)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $a=2$, $8^x=2\iff x=\frac{1}{3}\le 2$, nên không có nghiệm $x>2$.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{x^2+x+4}{x+1}=x+\frac{4}{x+1}$ (với $x\ne -1$). Ta có $y^{\prime }=1-\frac{4}{(x+1{)}^2}=\frac{(x+1{)}^2-4}{(x+1{)}^2}=\frac{x(x+2)}{(x+1{)}^2}$. $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=-2$. Bảng xét dấu: trên $(-\infty ;-2)$, $y^{\prime }>0$; trên $(-2;-1)$, $y^{\prime }<0$; trên $(-1;0)$, $y^{\prime }<0$; trên $(0;+\infty )$, $y^{\prime }>0$. Vậy hàm số đạt cực đại tại $x=-2$ với $m=y(-2)=\frac{4-2+4}{-1}=-6$; đạt cực tiểu tại $x=0$ với $n=y(0)=4$. Do đó $P=m^3+n^3=(-6{)}^3+4^3=-216+64=-152$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=x^3-3m{x}^2+(m^2+2)x-m+1$, có $y^{\prime }=3x^2-6mx+(m^2+2)$.

Để hàm số đạt cực trị tại $x=1$ thì $y^{\prime }(1)=0$:
$$3-6m+m^2+2=0\iff m^2-6m+5=0\iff m=1\text{ hoặc }m=5.$$

Xét $y^{\prime \prime }=6x-6m$, nên $y^{\prime \prime }(1)=6-6m$.
- Với $m=1$: $y^{\prime \prime }(1)=0$, cần kiểm tra dấu $y^{\prime }$: $y^{\prime }=3x^2-6x+3=3(x-1{)}^2\ge 0$ với mọi $x$, hàm số đồng biến, không có cực trị tại $x=1$ (loại).
- Với $m=5$: $y^{\prime \prime }(1)=6-30=-6<0$, nên $x=1$ là điểm cực đại (thỏa mãn).

Vậy $m=5$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=x^{2017}(x-1{)}^{2018}(x+1)$, $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=-1$, $x=0$, $x=1$. Xét dấu của $f^{\prime }(x)$:
- Với $x<-1$: $x^{2017}<0$, $(x-1{)}^{2018}>0$, $(x+1)<0$ nên $f^{\prime }(x)>0$.
- Với $-1<x<0$: $x^{2017}<0$, $(x-1{)}^{2018}>0$, $(x+1)>0$ nên $f^{\prime }(x)<0$.
- Với $0<x<1$: $x^{2017}>0$, $(x-1{)}^{2018}>0$, $(x+1)>0$ nên $f^{\prime }(x)>0$.
- Với $x>1$: $f^{\prime }(x)>0$.

Tại $x=-1$: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=-1$ là điểm cực đại.
Tại $x=0$: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=0$ là điểm cực tiểu.
Tại $x=1$: $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu (vì $(x-1{)}^{2018}$ luôn không âm) nên $x=1$ không là điểm cực trị.

Vậy hàm số có $2$ điểm cực trị (một điểm cực đại tại $x=-1$ và một điểm cực tiểu tại $x=0$).

(AI giải đề cho tôi)
Từ dữ kiện: $f(0)=50$ và $f(x)=0$ tại $x=20,50,100$, nên $f(x)=a(x-20)(x-50)(x-100)$. Thay $x=0$: $a(-20)(-50)(-100)=-100000a=50\Rightarrow a=-\frac{1}{2000}$.

Khi đó $f(x)=-\frac{1}{2000}(x^3-170x^2+8000x-100000)=-\frac{x^3}{2000}+\frac{170x^2}{2000}-4x+50$.

$f^{\prime }(x)=-\frac{3x^2}{2000}+\frac{340x}{2000}-4=0\iff 3x^2-340x+8000=0\iff x=\frac{340\pm \sqrt{19600}}{6}=\frac{340\pm 140}{6}$, tức $x=30$ hoặc $x=80$.

Tại $x=30$: $f(30)=-\frac{1}{2000}(10)(-20)(-70)=-7<0$ (cực tiểu, phía dưới trục $Ox$) nên $q=30$.
Tại $x=80$: $f(80)=-\frac{1}{2000}(60)(30)(-20)=18>0$ (cực đại, phía trên trục $Ox$) nên $p=80$.

Vậy $p+3q=80+3\cdot 30=170$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu $f^{\prime }(x)=x(x+1{)}^2(x-2{)}^3$. Nghiệm: $x=-1$ (bội 2), $x=0$ (bội 1), $x=2$ (bội 3).
- Với $x<-1$: $(-)(+)(-)=+$.
- Với $-1<x<0$: $(-)(+)(-)=+$ (dấu không đổi qua $x=-1$ vì $(x+1{)}^2>0$).
- Với $0<x<2$: $(+)(+)(-)=-$, nên tại $x=0$ dấu $f^{\prime }$ đổi từ $+$ sang $-$: cực đại.
- Với $x>2$: $(+)(+)(+)=+$, nên tại $x=2$ dấu $f^{\prime }$ đổi từ $-$ sang $+$: cực tiểu.
Vậy hàm số có 2 điểm cực trị ($x=0$ và $x=2$). Đáp án B.