Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số tăng rồi đạt cực đại tại $x=-1$ (điểm cao nhất cục bộ), sau đó giảm đến điểm thấp nhất cục bộ tại điểm có tọa độ $(1;-4)$, rồi tăng trở lại. Vậy hàm số $f(x)$ đạt cực tiểu tại $x=1$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu f'(x): trên (−∞;−1) f'<0, trên (−1;0) f'>0, trên (0;1) f'<0, trên (1;2) f'>0, trên (2;+∞) f'>0. Điểm cực tiểu xảy ra khi f' đổi dấu từ − sang +: tại x=−1 (−→+) và tại x=1 (−→+, f liên tục trên ℝ nên dù f' không xác định tại x=1 vẫn có thể cực tiểu). Tại x=0 f' đổi từ + sang − nên là cực đại; tại x=2 f' không đổi dấu (+→+) nên không phải cực trị. Vậy hàm số có 2 điểm cực tiểu, đáp án A (khớp với đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=1$, nên hàm số đạt cực đại tại $x=1$ (giá trị cực đại $f(1)=2$). Tại $x=3$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên hàm đạt cực tiểu tại $x=3$ (không phải $x=-4$; $-4$ là giá trị cực tiểu). Các đáp án B, C, D sai. Đáp án A khớp với đáp án nguồn (mã đề 1201, câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Cho hàm số $y=-x^3+2x^2-3$.

a) $y^{\prime }=-3x^2+4x$. (đúng)

b) $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=\frac{4}{3}$. Với $x\in \left(0;\frac{4}{3}\right)$ thì $x>0$ và $-3x+4>0$ nên $y^{\prime }>0$, hàm số đồng biến trên khoảng này. (đúng)

c) $y^{\prime }<0$ khi $x<0$ (gần 0) và $y^{\prime }>0$ khi $0<x<\frac{4}{3}$, nên $y^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=0$, hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$ (với $y_{CT}=-3$). (đúng)

d) Trên $[0;+\infty )$: hàm số đồng biến trên $\left(0;\frac{4}{3}\right)$, nghịch biến trên $\left(\frac{4}{3};+\infty \right)$ và $y\to -\infty$ khi $x\to +\infty$, nên hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên nửa khoảng này (mặc dù $y(0)=-3$ và $y\left(\frac{4}{3}\right)=-\frac{49}{27}>-3$). Do đó khẳng định là sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) đúng, b) đúng, c) đúng, d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đạo hàm của $y=-x^3+2x^2-3$ là $y^{\prime }=-3x^2+4x$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=x(-3x+4)>0$ với mọi $x\in \left(0;\frac{4}{3}\right)$ nên hàm số đồng biến trên khoảng này.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[0;+\infty )$, hàm số nghịch biến trên $\left(\frac{4}{3};+\infty \right)$ và $y\to -\infty$ khi $x\to +\infty$, nên hàm số không có giá trị nhỏ nhất; khẳng định $-3$ là sai.

Đáp số: 4,5

Giải

Ta có: $D=\mathbb{R}\setminus \left\{0\right\}$

Mặt khác,

$$y^{\prime }=0\iff \frac{x^2-1}{x^2}=0\Rightarrow x^2-1=0\iff [<table><tbody><tr><td>x=1</td></tr><tr><td>x=-1</td></tr></tbody></table>.$$

Vậy điểm hai điểm cực trị là $A(-1;-2)$ và $A(1;2)$.

$$AB=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}\approx 4,47.$$

Đáp số: 4,5

Giải

Ta có: $D=\mathbb{R}\setminus \left\{0\right\}$

Mặt khác,

$$y^{\prime }=0\iff \frac{x^2-1}{x^2}=0\Rightarrow x^2-1=0\iff [<table><tbody><tr><td>x=1</td></tr><tr><td>x=-1</td></tr></tbody></table>.$$

Vậy điểm hai điểm cực trị là $A(-1;-2)$ và $A(1;2)$.

$$AB=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}\approx 4,47.$$

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị (hình bên dưới Câu 2, Phần III), hàm số $y=f(x)$ có dạng đường cong bậc ba đi lên: hàm tăng, đạt cực đại tại một điểm (xấp xỉ $x<0$), sau đó giảm rồi tăng trở lại, đạt cực tiểu tại một điểm (xấp xỉ $x>0$). Vậy đồ thị có đúng 2 điểm cực trị (1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu). Kết quả khớp với đáp án nguồn là 2.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x-3)(x+1)$. $f^{\prime }(x)=0\iff x=3$ hoặc $x=-1$. Xét dấu: $f^{\prime }(x)>0$ khi $x<-1$, $f^{\prime }(x)<0$ khi $-1<x<3$, $f^{\prime }(x)>0$ khi $x>3$. Vậy hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ và đạt cực tiểu tại $x=3$. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1252, câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=-x^4+4x^2-1$, có $y^{\prime }=-4x^3+8x=-4x(x^2-2)$. Cho $y^{\prime }=0$ được $x=0$ hoặc $x=\pm \sqrt{2}$. Tại $x=0$: $y=-1$ (điểm cực tiểu vì $y^{\prime \prime }=-12x^2+8>0$ tại $x=0$), nên $y_{CT}=-1$. Tại $x=\pm \sqrt{2}$: $y=-(\sqrt{2}{)}^4+4(\sqrt{2}{)}^2-1=-4+8-1=3$ (điểm cực đại), nên $y_{CD}=3$. Vậy $y_{CD}-y_{CT}=3-(-1)=4$, trùng với đáp án nguồn (mã đề 2346, câu 20 = 4).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $y^{\prime }=0$ tại $x=0$ và $x=2$. Tại $x=0$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=0$ là điểm cực tiểu (giá trị $y=1$). Tại $x=2$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=2$ là điểm cực đại (giá trị $y=4$). Vậy điểm cực đại của hàm số là $x=2$, tương ứng phương án A. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 2346, câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=2$ (hàm tăng rồi giảm), nên hàm số đạt cực đại tại $x=2$ với giá trị cực đại $y=4$. Tại $x=0$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên đó là điểm cực tiểu. Vậy đáp án là A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 2345, câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=-4x^3+8x=-4x(x^2-2)=0\Rightarrow x=0,x=\pm \sqrt{2}$. Tại $x=0$: $y=-1$ (cực tiểu, vì hàm số đi lên qua $x=0$); tại $x=\pm \sqrt{2}$: $y=-(\sqrt{2}{)}^4+4(\sqrt{2}{)}^2-1=-4+8-1=3$ (cực đại). Vậy $y_{CD}-y_{CT}=3-(-1)=4$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 2345, câu 17 = 4).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị (trang 4): hàm bậc ba đạt cực đại tại $x=-1$ với $f(-1)=3$, đạt cực tiểu tại $x=1$ với $f(1)=-1$, đồ thị cắt trục tung tại $(0;1)$ nên $f(0)=1$. a) Sai: hàm đạt cực đại tại $x=-1$, không phải cực tiểu. b) Đúng: hàm bậc ba nghịch biến trên khoảng giữa hai điểm cực trị $(-1;1)$. c) Sai: giá trị cực đại bằng $3$; giá trị $-1$ là giá trị cực tiểu $f(1)$. d) Đúng: vì $[0;1]\subset (-1;1)$ nên hàm nghịch biến trên $[0;1]$, giá trị lớn nhất đạt tại $x=0$ bằng $f(0)=1$. Kết quả khớp đáp án nguồn (Câu 4, mã 121: a) S, b) Đ, c) S, d) Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ (giá trị $3$), không đạt cực tiểu tại đó.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm bậc ba nghịch biến trên khoảng giữa hai điểm cực trị $x=-1$ và $x=1$, tức trên $(-1;1)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị cực đại là $f(-1)=3$; giá trị $-1$ là giá trị cực tiểu $f(1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $[0;1]\subset (-1;1)$ nên hàm nghịch biến trên $[0;1]$; giá trị lớn nhất tại $x=0$ bằng $f(0)=1$ (đồ thị cắt trục tung tại $(0;1)$).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên $(-\infty ;0)$, nghịch biến trên $(0;2)$ và đồng biến trên $(2;+\infty )$. Tại $x=0$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ thành $-$ nên hàm số đạt cực đại tại $x=0$, giá trị cực đại là $f(0)=1$. (Tại $x=2$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ thành $+$ nên đó là điểm cực tiểu với giá trị $-3$.) Vậy giá trị cực đại bằng $1$, khớp với đáp án nguồn (Câu 8, mã đề 121: C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=x^2-6x+8=(x-2)(x-4)$, nên $f$ nghịch biến trên $(2;4)$ và đồng biến trên $(4;+\infty )$. Do đó trên khoảng $(2;+\infty )$ hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=4$: $f(4)=\frac{64}{3}-48+32+1=\frac{19}{3}$ → a đúng. Hàm số là đa thức nên đồ thị $(C)$ không có tiệm cận đứng → b sai. $y^{\prime }=x^2-6x+8$ → c đúng. Hàm số đạt cực đại tại $x=2$ với $f(2)=\frac{8}{3}-12+16+1=\frac{23}{3}$, điểm cực đại là $\left(2;\frac{23}{3}\right)$, không phải $\left(4;\frac{19}{3}\right)$ (đây là điểm cực tiểu) → d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(2;+\infty )$, hàm số nghịch biến trên $(2;4)$ rồi đồng biến trên $(4;+\infty )$, nên GTNN tại $x=4$: $f(4)=\frac{64}{3}-48+32+1=\frac{19}{3}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số là đa thức, xác định trên $\mathbb{R}$, nên đồ thị không có tiệm cận đứng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{1}{3}\cdot 3x^2-6x+8=x^2-6x+8$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=0$ tại $x=2,4$; đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x=2$ nên điểm cực đại là $\left(2;\frac{23}{3}\right)$; điểm $\left(4;\frac{19}{3}\right)$ là điểm cực tiểu.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3-6x^2+9x+4$ có $y^{\prime }=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$. $y^{\prime }=0$ tại $x=1$ và $x=3$. Tại $x=1$: $y=1-6+9+4=8$ (cực đại, vì $y^{\prime }$ đổi dấu từ + sang −), nên $a=8$. Tại $x=3$: $y=27-54+27+4=4$ (cực tiểu), nên $b=4$. Vậy $T=a+b=8+4=12$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị ở trang 3, nhánh phải của hàm số $y=\frac{a{x}^2+bx+c}{dx+e}$ đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm có hoành độ $x=2$, tung độ $y=4$ (được đánh dấu bằng đường nét đứt trên hình). Điểm cực tiểu là một điểm trên đồ thị nên phải viết dưới dạng tọa độ $(2;4)$, không phải $x=2$. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn.

Theo bảng biến thiên, hàm số đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi đi qua $x=1$, nên hàm số đạt cực đại tại $x=1$ với giá trị cực đại $y=0$. (Tại $x=-3$ hàm số đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên đạt cực tiểu bằng $5$; tại $x=-2$ là tiệm cận đứng.) Đáp án D, khớp với bảng đáp án Mã đề 1102, Câu 8 = D (trang đáp án).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm số $y=f(x)$: hàm số đạt cực đại bằng $2$ tại điểm có hoành độ $x=-3$, sau đó nghịch biến rồi đồng biến, đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ $x=1$. Điểm cực tiểu của đồ thị có tọa độ $(1;-2)$, do đó giá trị cực tiểu của hàm số bằng $f(1)=-2$. Chú ý: $-3$ và $-1$ là các giá trị liên quan đến hoành độ, không phải giá trị cực tiểu. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (câu 2: D).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $V(r)=k(18-r)r^2=18k{r}^2-k{r}^3$ trên $[0;18)$. Với $k>0$: $V^{\prime }(r)=36kr-3k{r}^2=3kr(12-r)$. $V^{\prime }(r)>0$ khi $r<12$ và $V^{\prime }(r)<0$ khi $r>12$, nên hàm số đạt cực đại (và là giá trị lớn nhất) tại $r=12$. Với $k<0$ hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $r=0$ (biên), nhưng trong ngữ cảnh bài toán ho (khí quản co lại, $r>0$) và theo đáp án nguồn, ta xét $k>0$. Vậy bán kính khí quản khi tốc độ không khí lớn nhất là $r=12$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (12).