Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm số $y=f(x)$ (dạng hàm bậc ba), ta thấy hàm số đồng biến rồi nghịch biến rồi đồng biến lại. Tại $x=-1$ hàm số đạt giá trị lớn nhất cục bộ (đỉnh cao nhất của đồ thị, $f(-1)=2$), tức là điểm cực đại. Tại $x=1$ hàm số đạt điểm cực tiểu ($f(1)=-2$). Vậy điểm cực đại của hàm số là $x=-1$, tương ứng đáp án A. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (đề 2025, câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm số $y=f(x)$ (hàm bậc ba) ở hình vẽ: hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-1)$, nghịch biến trên $(-1;1)$ và đồng biến trên $(1;+\infty )$. Do đó hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ $x=-1$ (giá trị cực đại khoảng $2$) và đạt cực tiểu tại $x=1$ (giá trị cực tiểu khoảng $-2$). Vậy điểm cực đại của hàm số là $x=-1$, tương ứng đáp án A. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (đề 1025, câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$: tại $x=-1$, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=-1$ là điểm cực đại; tại $x=0$, $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu (vẫn âm) nên không phải cực trị; tại $x=1$, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=1$ là điểm cực tiểu. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị, khớp với đáp án B (mã đề 209).

(AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)$ đổi dấu qua $x=-1$ (từ $+$ sang $-$) và qua $x=1$ (từ $-$ sang $+$), nên có $2$ điểm cực trị. Tại $x=0$, $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu (vẫn âm hai bên) nên không phải điểm cực trị. Vậy số điểm cực trị là $2$, đáp án C, trùng với đáp án của đề.

[Lời giải do AI solution agent cung cấp – không có lời giải in trong nguồn; đáp số −3 khớp với bảng HD chấm, đề 102, Phần III, Câu 2]
Vì $M(-2;1)$ thuộc đồ thị hàm số nên $(-2{)}^3+b\cdot (-2{)}^2+c=1\iff -8+4b+c=1$.
Hàm số $y=x^3+b{x}^2+c$ có $y^{\prime }=3x^2+2bx$. Vì $M(-2;1)$ là điểm cực trị nên $y^{\prime }(-2)=0\iff 12-4b=0\iff b=3$.
Suy ra $c=1+8-4b=9-12=-3$.
Vậy $T=b+2c=3+2\cdot (-3)=-3$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị ở Câu 2 (Mã đề 102): hàm số đi lên, đạt cực đại tại $x=-1$ với $y=3$, sau đó đi xuống đạt cực tiểu tại $x=1$ với $y=-1$, rồi đi lên. Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$, trùng với đáp án của đề (bảng đáp án Mã đề 102, Câu 2: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3+b{x}^2+c$ có $y^{\prime }=3x^2+2bx$. Vì $M(2;-3)$ là điểm cực trị nên $y^{\prime }(2)=0\Rightarrow 12+4b=0\Rightarrow b=-3$. Điểm $M$ thuộc đồ thị: $8+4b+c=-3\Rightarrow 8-12+c=-3\Rightarrow c=1$. Khi đó $T=b+3c=-3+3=0$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (đề 101, Câu 2: 0).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm số, hàm tăng rồi đạt đỉnh cao nhất (cực đại) tại điểm có hoành độ $x=-1$ với $f(-1)=3$, sau đó giảm đến điểm cực tiểu tại $x=1$ với $f(1)=-1$, rồi lại tăng. Vậy hàm số đạt cực đại tại $x=-1$. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (Câu 2, mã đề 101: D).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $f^{\prime }(x)$ cắt trục hoành tại $x=-2$ và $x=2$. Tại $x=-2$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm nên $f$ đạt cực đại; tại $x=2$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương nên $f$ đạt cực tiểu. Giữa hai điểm này $f^{\prime }<0$ (đồ thị nằm dưới trục hoành) nên không có cực trị nào khác. Vậy hàm số có 2 cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3)$. Nên $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=1$ và $x=3$. Xét dấu: $f^{\prime }(x)>0$ khi $x<1$, $f^{\prime }(x)<0$ khi $1<x<3$, $f^{\prime }(x)>0$ khi $x>3$. Vậy hàm số đạt cực đại tại $a=1$ và cực tiểu tại $b=3$. Do đó $A=2a+b=2\cdot 1+3=5$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, Phần III câu 3: 5).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=x^2(x+2)(x^2-1)=x^2(x+2)(x-1)(x+1)$. Nghiệm của $f^{\prime }(x)=0$: $x=-2,x=-1,x=0,x=1$. Vì $x^2\ge 0$ nên dấu của $f^{\prime }$ chỉ do $(x+2)(x+1)(x-1)$ quyết định. Xét dấu: $f^{\prime }<0$ trên $(-\infty ;-2)$, $f^{\prime }>0$ trên $(-2;-1)$, $f^{\prime }>0$ trên $(-1;0)$ và $(0;1)$ (do nhân tử $x^2$ không đổi dấu qua $x=0$), $f^{\prime }<0$ trên $(1;+\infty )$. Vậy hàm số đổi dấu chiều biến thiên tại $x=-2$ (cực tiểu), $x=-1$ (cực đại), $x=1$ (cực tiểu); tại $x=0$ đạo hàm không đổi dấu nên không phải điểm cực trị. Số điểm cực trị là 3. Đáp án C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 4: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2+1}{x}=x+\frac{1}{x}$ có $y^{\prime }=1-\frac{1}{x^2}$. Cho $y^{\prime }=0$ ta được $x^2=1$, tức $x=\pm 1$. Hai điểm cực trị là $x_1=1$ và $x_2=-1$ (hoặc ngược lại), khi đó $x_1^2=x_2^2=1$ nên $T=x_1^2-x_2^2=1-1=0$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (0).

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu $f^{\prime }(x)=(x+1)(x-1{)}^2(x-2{)}^3$. Tại $x=-1$: $f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương (số mũ 1 lẻ) nên $x=-1$ là điểm cực tiểu. Tại $x=1$: $(x-1{)}^2\ge 0$ nên $f^{\prime }$ không đổi dấu qua $x=1$, không phải cực trị. Tại $x=2$: $(x-2{)}^3$ đổi dấu từ dương sang âm nên $x=2$ là điểm cực đại. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị, đáp án A (khớp với đáp án nguồn).

Chọn D. Hàm số $f(x)$ xác định trên $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$. $f^{\prime }(x)=m-\frac{m^2-m-3}{(x-1{)}^2}$. Như vậy $f(x)$ có đạo hàm tại $x=0$. Hàm số $f(x)$ đạt cực đại tại $x=0\Rightarrow f^{\prime }(0)=0\iff m=m^2-m-3$ $\iff m^2-2m-3=0\iff \left[\begin{array}{c}m=-1\\ m=3\end{array}\right]$. Thử lại: Với $m=-1$: $f^{\prime }(x)=-1+\frac{1}{(x-1{)}^2}=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=2\end{array}\right]$. Lập bảng biến thiên: [Hình cần kiểm tra lại: p12_f2] do đó $x=0$ là điểm cực tiểu (không thỏa mãn). Với $m=3$: $f^{\prime }(x)=3-\frac{3}{x-1}=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=2\end{array}\right]$. Lập bảng biến thiên: do đó $x=0$ là điểm cực đại (thỏa mãn). Khi đó $f\left(5\right)=\frac{71}{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=0$, nên hàm số đạt cực đại tại $x=0$ (giá trị cực đại $f(0)=3$). $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi qua $x=2$, nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$ (không phải $x=1$; $1$ chỉ là giá trị cực tiểu). Vậy đáp án A đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=(e^x-1)(x^2-x)$. Nghiệm của $f^{\prime }(x)=0$ là $x=0$ (từ cả hai nhân tử) và $x=1$. Xét dấu: với $x<0$: $(e^x-1)<0$, $(x^2-x)>0$ nên $f^{\prime }(x)<0$; với $0<x<1$: $(e^x-1)>0$, $(x^2-x)<0$ nên $f^{\prime }(x)<0$; với $x>1$: cả hai nhân tử dương nên $f^{\prime }(x)>0$. Tại $x=0$, $f^{\prime }$ không đổi dấu (âm trên cả hai bên) nên không phải điểm cực trị. Tại $x=1$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương nên $x=1$ là điểm cực tiểu. Vậy hàm số có đúng 1 điểm cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
a) g'(x)=-3x^2+6x=-3x(x-2); g' đổi dấu từ âm sang dương tại x=0 nên điểm cực tiểu là x=0 (x=2 là điểm cực đại) → Sai. b) Tổng f(n)f(n+1)=1/(n(n+1)) telescoping bằng 1-1/2026=2025/2026, nên k(x)=2025x^3-6075x, k'(x)=6075(x^2-1)<0 trên (-1;1) nhưng >0 trên (1;2) → không nghịch biến trên (-1;2) → Sai. c) f'(x)=-1/x^2<0 với mọi x≠0 → Đúng. d) h(x)=1/x+2 nghịch biến trên [3;6] nên max tại x=3 bằng 2+1/3=7/3≠13/6 → Sai. Kết quả khớp đáp án SSDS của mã đề 122.
a) (AI giải đề cho tôi)
g'(x)=-3x(x-2); hàm đạt cực tiểu tại x=0, còn x=2 là điểm cực đại.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tổng telescoping bằng 2025/2026 nên k(x)=2025x^3-6075x, k'(x)=6075(x^2-1) đổi dấu trên (-1;2), không nghịch biến trên toàn khoảng.
c) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)=-1/x^2<0 với mọi x∈ℝ\{0}.
d) (AI giải đề cho tôi)
h(x)=1/x+2 nghịch biến trên [3;6], giá trị lớn nhất là h(3)=7/3, không phải 13/6.

(AI giải đề cho tôi)
$y=x^3-9x+8$, $y^{\prime }=3x^2-9=0\Rightarrow x=\pm \sqrt{3}$. Điểm cực đại $x_{CD}=-\sqrt{3}$, điểm cực tiểu $x_{CT}=\sqrt{3}$. Hiệu điểm cực tiểu và điểm cực đại (theo hoành độ): $x_{CT}-x_{CD}=\sqrt{3}-(-\sqrt{3})=2\sqrt{3}\approx 3,464\approx 3,5$ (làm tròn đến hàng phần chục). Kết quả khớp với đáp án nguồn 3,5.

Đáp án theo bảng đáp án mã đề 121: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Sai (DSSS).