Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-9=0\iff x=\pm \sqrt{3}$. Hàm số đạt cực đại tại $x=-\sqrt{3}$ và cực tiểu tại $x=\sqrt{3}$. Hiệu giữa hoành độ điểm cực tiểu và hoành độ điểm cực đại là $\sqrt{3}-(-\sqrt{3})=2\sqrt{3}\approx 3,464\approx 3,5$ (làm tròn đến hàng phần chục). Kết quả khớp với đáp án nguồn 3,5.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$. Máy bay tiếp đất tại gốc tọa độ $O(0;0)$ là điểm cực tiểu nên $d=0$ và $f^{\prime }(0)=0$. Điểm cực đại $(-4;1)$ nên $f^{\prime }(-4)=0$. Do đó $f^{\prime }(x)=3ax(x+4)$, suy ra $f(x)=a\left(\frac{x^3}{3}+2x^2\right)$. Kết hợp $f(-4)=1$: $a\left(-\frac{64}{3}+32\right)=\frac{32a}{3}=1\Rightarrow a=\frac{3}{32}$. Vậy $f(x)=\frac{x^3}{32}+\frac{3x^2}{16}$.

Vị trí hạ cánh (tiếp đất) là gốc tọa độ $O(0;0)$, nên khi máy bay cách vị trí hạ cánh theo phương ngang 1,5 dặm thì hoành độ của máy bay là $x=-1,5$ (máy bay đang hạ cánh nên nằm bên trái gốc tọa độ, trên đoạn từ điểm cực đại $(-4;1)$ về $(0;0)$). Khi đó:
$f(-1,5)=\frac{(-1,5{)}^3}{32}+\frac{3\cdot (-1,5{)}^2}{16}=\frac{-3,375}{32}+\frac{6,75}{16}=-0,10546875+0,421875=0,31640625\approx 0,32$.

Vậy máy bay cách mặt đất khoảng $0,32$ dặm, khớp với đáp án nguồn (Đề 2061, Phần 3, Câu 4: 0.32).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-1)$, nghịch biến trên $(-1;3)$, đồng biến trên $(3;+\infty )$. Tại $x=3$, hàm số đạt cực tiểu với giá trị $f(3)=1$. Vậy giá trị cực tiểu của hàm số bằng $1$, chọn đáp án D. (Kết quả trùng với đáp án nguồn: 6.D)

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)=x^3-6x^2+9x+2$; $f^{\prime }(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$.
a) Hàm đa thức nên tập xác định $D=\mathbb{R}$ → Đúng.
b) $f^{\prime }(x)=0\iff x=1$ hoặc $x=3$; $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x=3$ nên hàm đạt cực tiểu tại $x=3$, $y_{CT}=f(3)=27-54+27+2=2$ → Đúng.
c) Trên $(1;3)$, $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến, không đồng biến → Sai.
d) Trên đoạn $[-1;0]$ có $f^{\prime }(x)>0$ với $x<1$... thực tế với $x\in [-1;0]$, $f^{\prime }(x)=3(x-1)(x-3)>0$ nên hàm đồng biến; giá trị nhỏ nhất tại $x=-1$: $f(-1)=-1-6-9+2=-14$, không phải 2 → Sai. (Lưu ý $f(0)=2$ là giá trị lớn nhất trên đoạn này.) Kết quả khớp đáp án nguồn: Đ-Đ-S-S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số là đa thức nên xác định trên toàn $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3(x-1)(x-3)$ đổi dấu từ âm sang dương tại $x=3$, nên $y_{CT}=f(3)=2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(1;3)$, $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-1;0]$, $f^{\prime }(x)>0$ nên hàm đồng biến; ${\min }_{[-1;0]}f=f(-1)=-14\ne 2$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$. Máy bay tiếp đất tại gốc tọa độ $O(0;0)$ là điểm cực tiểu nên $d=0$ và $f^{\prime }(0)=0\Rightarrow c=0$. Điểm cực đại $(-4;1)$ nên $f(-4)=1$ và $f^{\prime }(-4)=0$.
$f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx$; $f^{\prime }(-4)=48a-8b=0\Rightarrow b=6a$.
$f(-4)=-64a+16b=32a=1\Rightarrow a=\frac{1}{32},b=\frac{3}{16}$.
Vậy $f(x)=\frac{x^3}{32}+\frac{3x^2}{16}=\frac{x^2(x+6)}{32}$; kiểm tra $f^{\prime }(x)=\frac{3x(x+4)}{32}$ nên $(-4;1)$ là cực đại, $(0;0)$ là cực tiểu, thỏa đề.
Khi máy bay cách vị trí hạ cánh (gốc tọa độ) theo phương ngang 1 dặm, do đang hạ cánh nên $x=-1$, độ cao cách mặt đất là $f(-1)=\frac{(-1{)}^2\cdot 5}{32}=\frac{5}{32}=0,15625\approx 0,16$ dặm. Kết quả khớp đáp án nguồn 0.16.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-1)$, nghịch biến trên $(-1;3)$, đồng biến trên $(3;+\infty )$. Tại $x=-1$ hàm đạt cực đại với giá trị $f(-1)=5$; tại $x=3$ hàm đạt cực tiểu với giá trị $f(3)=1$. Vậy giá trị cực tiểu của hàm số bằng $1$, chọn đáp án A. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Đề 1061, Câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
y'=3x^2-6x=3x(x-2). a) y'<0 khi 0<x<2 nên nghịch biến trên (0;2) → đúng. b) y'=0 tại x=0, x=2, đổi dấu qua cả hai điểm nên có hai cực trị → đúng. c) Trên (0;+∞), hàm đạt cực tiểu (cũng là GTNN) tại x=2: y(2)=8-12+5=1 ≠ 2 → sai. d) Tại x=1: y(1)=1-3+5=3, y'(1)=3-6=-3, tiếp tuyến: y=-3(x-1)+3=-3x+6 ≠ -3x+3 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
y'=3x(x-2)<0 trên (0;2) nên hàm nghịch biến trên (0;2).
b) (AI giải đề cho tôi)
y'=0 tại x=0 và x=2, y' đổi dấu qua cả hai điểm nên hàm có hai điểm cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên (0;+∞) hàm đạt GTNN tại x=2 với y(2)=1, không phải 2.
d) (AI giải đề cho tôi)
y(1)=3, y'(1)=-3, tiếp tuyến là y=-3x+6, không phải y=-3x+3.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-2x^2+3x-1$ có đạo hàm $y^{\prime }=x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$. Cho $y^{\prime }=0$ được $x=1$ hoặc $x=3$. Xét dấu của $y^{\prime }$: trên $(-\infty ;1)$ ta có $y^{\prime }>0$; trên $(1;3)$ ta có $y^{\prime }<0$; trên $(3;+\infty )$ ta có $y^{\prime }>0$. Vì $y^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=3$, hàm số đạt cực tiểu tại $x=3$ (tại $x=1$ hàm số đạt cực đại). Vậy điểm cực tiểu của hàm số là $x=3$, đáp án B.

a) $f^{\prime }(x)=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$.

Bảng biến thiên:



Giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên khoảng $(-\infty ;0)$ bằng $4$. Suy ra mệnh đề a) sai.

b) Hàm số đồng biến trên khoảng $(1;+\infty )$, suy ra mệnh đề b) đúng.

c) $f^{\prime }(x)=3x^2-3$. Suy ra mệnh đề c) đúng.

d) Hai điểm cực trị là $A(-1;4),B(1;0)\Rightarrow AB=2\sqrt{5}$. Suy ra mệnh đề d) đúng.
a) $f^{\prime }(x)=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$.

Bảng biến thiên:



Giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên khoảng $(-\infty ;0)$ bằng $4$. Suy ra mệnh đề sai.
b) Hàm số đồng biến trên khoảng $(1;+\infty )$, suy ra mệnh đề đúng.
c) $f^{\prime }(x)=3x^2-3$. Suy ra mệnh đề đúng.
d) Hai điểm cực trị là $A(-1;4),B(1;0)\Rightarrow AB=2\sqrt{5}$. Suy ra mệnh đề đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi qua $x=3$, nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=3$ (với giá trị cực tiểu $f(3)=-4$). Tại $x=0$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên đó là điểm cực đại. Đáp án khớp với đáp án nguồn (mã đề 202, câu 2: A).

Từ BBT ta thấy hàm số $f(x)$ đạt cực tiểu tại điểm $x=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=x(x^2-1)(x^2-2)$ với 5 nghiệm đơn: $x=-\sqrt{2},-1,0,1,\sqrt{2}$. Xét dấu $f^{\prime }$ (với hệ số của $x^5$ dương): $f^{\prime }<0$ trên $(-\infty ;-\sqrt{2})$, $f^{\prime }>0$ trên $(-\sqrt{2};-1)$, $f^{\prime }<0$ trên $(-1;0)$, $f^{\prime }>0$ trên $(0;1)$, $f^{\prime }<0$ trên $(1;\sqrt{2})$, $f^{\prime }>0$ trên $(\sqrt{2};+\infty )$. Điểm cực đại là nơi $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$: tại $x=-\sqrt{2}$, $x=0$, $x=\sqrt{2}$. Vậy hàm số có 3 điểm cực đại, chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=x(x^2-1)(x^2-2)$ với các nghiệm đơn $x=-\sqrt{2},-1,0,1,\sqrt{2}$. Xét dấu $f^{\prime }$: với $x>\sqrt{2}$ thì $f^{\prime }>0$; trên $(1;\sqrt{2})$ thì $f^{\prime }<0$; trên $(0;1)$ thì $f^{\prime }>0$; trên $(-1;0)$ thì $f^{\prime }<0$; trên $(-\sqrt{2};-1)$ thì $f^{\prime }>0$; với $x<-\sqrt{2}$ thì $f^{\prime }<0$. Điểm cực đại là nơi $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$: đó là $x=-1$ và $x=0$. Vậy hàm số có 2 điểm cực đại.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=x(x-1)(x-2{)}^2$. Xét dấu: với $x<0$, $f^{\prime }(x)<0$; với $0<x<1$, $f^{\prime }(x)>0$; với $1<x<2$ và $x>2$, $f^{\prime }(x)>0$ (do $(x-2{)}^2\ge 0$ luôn dương). Vậy $f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương tại $x=0$ (cực tiểu) và từ dương sang âm tại $x=1$ (cực đại). Tại $x=2$, $f^{\prime }(x)=0$ nhưng không đổi dấu nên không phải điểm cực trị. Hàm số có 2 điểm cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=(x^2+9x)(x^2-9)=x(x+9)(x-3)(x+3)$, các nghiệm đơn: $x=-9,-3,0,3$. Xét dấu $f^{\prime }$: $f^{\prime }>0$ trên $(-\infty ,-9)\cup (-3,0)\cup (3,+\infty )$, $f^{\prime }<0$ trên $(-9,-3)\cup (0,3)$. Vậy $f$ đạt cực đại tại $x=-9$ và $x=0$, cực tiểu tại $x=-3$ và $x=3$ (tất cả là nghiệm đơn của $f^{\prime }$). Đặt $t=|x^3+3x|+2m-m^2$, $c=2m-m^2$. Vì $u(x)=x^3+3x$ đồng biến và $u(0)=0$ nên $|x^3+3x|$ có giá trị nhỏ nhất $0$ tại $x=0$, mỗi giá trị $a>0$ đạt tại đúng 2 điểm đối nhau. Ta có $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(t)\cdot t^{\prime }(x)$ với $t^{\prime }(x)\ne 0$ với $x\ne 0$. Do đó: với mỗi giá trị $v\in \{-9,-3,0,3\}$: nếu $v>c$ thì $|x^3+3x|=v-c$ có 2 nghiệm → 2 điểm cực trị; nếu $v=c$ thì chỉ $x=0$, và gần $x=0$ ta có $t=c+3|x|+O(|x{|}^3)$ nên $g\approx f(c)+\frac{9}{2}{f}^{\prime \prime }(c)x^2$ với $f^{\prime \prime }(c)\ne 0$ (nghiệm đơn) → $x=0$ là 1 điểm cực trị; nếu $v<c$ thì không có. Vậy số điểm cực trị $N=2\cdot \#\{v>c\}+\#\{v=c\}$. Vì $m$ nguyên nên $c=2m-m^2=1-(m-1{)}^2\le 1$ nguyên. Xét: $c=1$ ($m=1$): chỉ $v=3>c$, $N=2$ ✓; $c=0$ ($m=0,2$): $v=3>c$ và $v=0=c$, $N=3$ ✓; $c=-3$ ($m=3,-1$): $v=0,3>c$, $v=-3=c$, $N=5$ ✓; $c=-8$ ($m=4,-2$): $v=-3,0,3>c$, không $v=c$, $N=6$ ✓ (không quá 6); $c=-15$ ($m=5,-3$): cả 4 giá trị $v>c$, $N=8>6$ ✗; với $|m|$ lớn hơn, $c$ càng nhỏ, $N=8$ ✗. Vậy các giá trị $m$ thỏa mãn: $m\in \{-2,-1,0,1,2,3,4\}$, tổng cộng 7 giá trị.

Chọn A. Xét hàm số $y=-\left|3x^2-12x+9\right|+m-3$ có đồ thị có dạng "$\wedge$" như sau:



Hàm số $y=f(x)$ có 4 điểm cực trị là $x=0$, $x=1$, $x=2$ và $x=3$.

Để hàm số $g(x)=f\left(-\left|3x^2-12x+9\right|+m-3\right)$ có số cực trị nhiều nhất thì mỗi đường thẳng $y=1$, $y=2$ và $y=3$ phải cắt đồ thị hàm số $y=-\left|3x^2-12x+9\right|+m-3$ tại 4 điểm phân biệt và đường thẳng $y=0$ phải cắt đồ thị hàm số $y=-\left|3x^2-12x+9\right|+m-3$ tại 2 điểm phân biệt.



Dựa vào đồ thị trên, ta có $\{\begin{array}{l}m-6\ge 0\\ m-6<1\\ m-3>3\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m\ge 6\\ m<7\\ m>6\end{array}\iff 6<m<7\Rightarrow S=(6;7)$

Vậy $T=4a-7b=-25$.

a) Dựa vào đồ thị hàm số, hàm số đạt cực đại tại $x=0$ và đạt cực tiểu tại $x=2$. Chọn ĐÚNG.

b) Hàm số $f(x)$ đồng biến trên khoảng $(-1;0)$. Vậy hàm số $g(x)=f(x)+2025$ đồng biến trên khoảng $(-1;0)$. Chọn SAI.

c) Số điểm cực trị của hàm số $f(|x+2|)$ bằng số điểm cực trị của hàm số $f(|x|)$; mà $SDCT\left\{f\right(|x|\left)\right\}=2a+1$ với $a$ là số điểm cực trị dương của $f(x)$ nên $f(|x|)$ có 3 điểm cực trị. Vậy $g(x)=f(|x+2|)$ có 3 điểm cực trị. Chọn ĐÚNG.

d) Xét $g(x)=|f(x)+4|$ (tịnh tiến $f(x)$ lên 4 đơn vị rồi lấy đối xứng phần dưới $Ox$ qua $Ox$). Phương trình có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $0<m^2-3m+2<4$ $\iff m\in \left(\frac{3-\sqrt{17}}{2};1\right)\cup \left(2;\frac{3+\sqrt{17}}{2}\right)$. Chọn ĐÚNG.
a) Dựa vào đồ thị hàm số, hàm số đạt cực đại tại $x=0$ và đạt cực tiểu tại $x=2$. Chọn ĐÚNG.
b) Hàm số $f(x)$ đồng biến trên khoảng $(-1;0)$. Vậy hàm số $g(x)=f(x)+2025$ đồng biến trên khoảng $(-1;0)$. Chọn SAI.
c) Do số điểm cực trị của hàm số $f(|x|)$ bằng số điểm cực trị của hàm số $f(|x+m|)$ nên số điểm cực trị của hàm số $f(|x+2|)$ bằng số điểm cực trị của hàm số $f(|x|)$. Mà $SDCT\left\{f\right(|x|\left)\right\}=2a+1$ với $a$ là số điểm cực trị dương của hàm số $f(x)$ nên hàm số $f(|x|)$ có 3 điểm cực trị. Vậy hàm số $g(x)=f(|x+2|)$ có 3 điểm cực trị. Chọn ĐÚNG.
d) Xét hàm số $g(x)=|f(x)+4|$. Đồ thị hàm số $g(x)=|f(x)+4|$ có được bằng cách: Tịnh tiến đồ thị hàm số $f(x)$ lên trên 4 đơn vị ta được $f(x)+4$; Lấy đối xứng phần phía dưới $Ox$ của đồ thị hàm số $f(x)+4$ qua $Ox$, ta được đồ thị hàm số $g(x)=\left|f(x)+4\right|$.

[Hình cần kiểm tra lại: p23_f1]

Phương trình $\left|f(x)+4\right|=m^2-3m+2$ có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng $y=m^2-3m+2$ cắt đồ thị hàm số $g(x)=\left|f(x)+4\right|$ tại 4 điểm phân biệt. Từ đồ thị hàm số $g(x)=\left|f(x)+4\right|$, ta suy ra phương trình $\left|f(x)+4\right|=m^2-3m+2$ có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $0<m^2-3m+2<4$ $$\iff \{\begin{array}{l}{m}^2-3m+2>0\\ m^2-3m+2<4\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m\in (-\infty ;1)\cup (2;+\infty )\\ m\in \left(\frac{3-\sqrt{17}}{2};\frac{3+\sqrt{17}}{2}\right)\end{array}\iff m\in \left(\frac{3-\sqrt{17}}{2};1\right)\cup \left(2;\frac{3+\sqrt{17}}{2}\right).$$ Chọn ĐÚNG.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$: $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ,a)$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(a,b)$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(b,c)$, $f^{\prime }(x)<0$ với $x>c$. Vậy $f$ tăng rồi giảm trên $(a,b)$, tăng trên $(b,c)$, giảm sau $c$. Do đó $f(a)$ là cực đại, $f(b)$ là cực tiểu nên $f(a)>f(b)$ (ý d đúng). Xét $f(c)-f(a)={\int }_a^c{f}^{\prime }(x)dx={\int }_b^c{f}^{\prime }(x)dx-\left|{\int }_a^b{f}^{\prime }(x)dx\right|$. Theo hình vẽ, diện tích phần đồ thị $f^{\prime }$ nằm trên trục $Ox$ trên $(b,c)$ (cung lớn bên phải) lớn hơn diện tích phần nằm dưới trục trên $(a,b)$, nên $f(c)>f(a)$. Kết hợp: $f(c)>f(a)>f(b)$, tức ý a đúng, ý b và c sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f(c)-f(a)={\int }_a^c{f}^{\prime }(x)dx$; diện tích cung dương trên $(b,c)$ lớn hơn diện tích cung âm trên $(a,b)$ theo hình vẽ nên $f(c)>f(a)$; lại có $f(a)>f(b)$ vì $a$ là điểm cực đại, $b$ là điểm cực tiểu. Vậy $f(c)>f(a)>f(b)$: đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Sai vì $f(a)>f(b)$ (a là cực đại, b là cực tiểu), không thể có $f(b)>f(a)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Sai vì $f(c)>f(a)>f(b)$, không thể có $f(a)>f(b)>f(c)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(a,b)$ có $f^{\prime }(x)<0$ nên $f$ giảm từ $a$ đến $b$, do đó $f(a)>f(b)$: đúng.

Từ bảng suy ra hàm số $y=f(x)$ có 4 điểm cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: tại $x=-1$, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=-1$ là điểm cực đại. Tại $x=1$, hàm số không có đạo hàm (có vạch kép) nhưng $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi qua $x=1$ và hàm liên tục trên đoạn qua $x=1$, nên $x=1$ là điểm cực tiểu. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị.