Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

Từ bảng biến thiên, giá trị cực tiểu của hàm số là $f(-1)=-2$. Chọn A.

Đạo hàm $f^{\prime }(x)=0$ có các nghiệm $x=1$ (nghiệm đơn), $x=2$ (nghiệm bội 2), $x=3$ (nghiệm bội 3). Vì $f^{\prime }(x)$ chỉ đổi dấu qua các nghiệm bội lẻ $x=1$ và $x=3$ nên hàm số có đúng 2 điểm cực trị.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 17), Câu 3 chọn đáp án B.

Phương trình $f^{\prime }(x)=0⟺x(x-2{)}^2=0⟺x=0$ hoặc $x=2$.
Đạo hàm chỉ đổi dấu khi qua nghiệm đơn $x=0$, không đổi dấu khi qua nghiệm kép $x=2$.
Vậy hàm số đã cho có đúng 1 điểm cực trị.

Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Đạo hàm $y^{\prime }=\frac{2(1)-3(1)}{(x+1{)}^2}=\frac{-1}{(x+1{)}^2}<0,\forall x\ne -1$. Do đạo hàm không đổi dấu và không triệt tiêu nên hàm số không có cực trị.

Dựa vào bảng biến thiên, đạo hàm $y^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua $x=0$, nên điểm cực đại của hàm số là $x=0$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 135).

Dựa vào bảng biến thiên, tại $x=8$ hàm số đạt cực tiểu và giá trị cực tiểu bằng $-4$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 135).

Từ bảng biến thiên, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm $x=-4$, do đó hàm số đạt cực đại tại điểm $x=-4$ (giá trị cực đại $y_{CĐ}=-3$).

- Ý a) Đúng: Vì $x^2+4>0,\forall x\in \mathbb{R}$ nên tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}$.
- Ý b) Đúng: Ta có ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{2x-3}{x^2+4}=0$, nên trục hoành $y=0$ là đường tiệm cận ngang của $(C)$.
- Ý c) Sai: Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{2(x^2+4)-(2x-3)\cdot 2x}{(x^2+4{)}^2}=\frac{-2x^2+6x+8}{(x^2+4{)}^2}=0\iff x=-1$ hoặc $x=4$. Qua $x=-1$, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương nên $x=-1$ là điểm cực tiểu (còn $x=4$ là điểm cực đại).
- Ý d) Đúng: Trên $\mathbb{R}$, ${\min }_{\mathbb{R}}f(x)=f(-1)=-1$ và ${\max }_{\mathbb{R}}f(x)=f(4)=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$. Do đó tập giá trị của $f(x)$ là $[a;b]=\left[-1;\frac{1}{4}\right]$, suy ra $a+4b=-1+4\cdot \frac{1}{4}=0$.

Ta có $f^{\prime }(x)=(x-2)(x-3)(x-4)=0$ có $3$ nghiệm đơn phân biệt $x=2,x=3,x=4$, nên hàm số có $3$ điểm cực trị.

Dựa vào đồ thị, điểm cực tiểu của hàm số là $x=0$.

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đạt cực đại tại điểm $x=0$.

Từ đồ thị:
a) Đúng vì hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ và cực tiểu tại $x=1$.
b) Sai vì hàm số nghịch biến trên $(-1;1)$.
c) Đúng vì trên $[-2;0]$, GTLN là $f(-1)=2$.
d) Đúng vì đồ thị cắt trục hoành tại $3$ điểm phân biệt.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 17), Câu 6 (Phần I) chọn đáp án C.

Quan sát bảng biến thiên:
- Tại $x=-1$, đạo hàm $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ và hàm số liên tục nên $x=-1$ là một điểm cực đại.
- Tại $x=0$, hàm số không xác định (hai vạch đứng).
- Tại $x=1$, đạo hàm $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ và hàm số liên tục nên $x=1$ là một điểm cực đại.
Vậy hàm số có đúng 2 điểm cực trị.

Dựa vào bảng biến thiên, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=2$, nên điểm cực tiểu của hàm số đã cho là $x=2$. Chọn D.

Dựa vào bảng biến thiên, giá trị cực đại của hàm số là $y_{\text{CĐ}}=f(-2)=-4$.

Ta có $y^{\prime }=x^2-4x+3=0\iff x=1$ hoặc $x=3$. Vì $y^{\prime \prime }(3)=2>0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=3$.

Ta có $y^{\prime }=6x^2+6x-36=0\iff x=-3$ hoặc $x=2$. Hai điểm cực trị là $A(-3;82)$ và $B(2;-43)$, nên $AB=\sqrt{5^2+(-125{)}^2}=\sqrt{15650}\approx 125$.

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ và giá trị cực đại là $y_{\text{CĐ}}=f(-1)=-4$. Chọn A.

Dựa vào bảng biến thiên, giá trị cực tiểu của hàm số là $y_{\text{CT}}=f(2)=4$.

Ta có $y^{\prime }=x^2-4x+3=0\iff x=1$ hoặc $x=3$. Vì $y^{\prime \prime }(1)=-2<0$ nên hàm số đạt cực đại tại $x=1$.