Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-12x+9=0⟺x=1$ (cực đại $a=1$) hoặc $x=3$ (cực tiểu $b=3$). Suy ra $A=2a+b=5$.

Từ bảng biến thiên, giá trị cực đại của hàm số là $f(0)=3$.

Từ đồ thị, điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $(1;-1)$.

a) Đúng: Đồ thị có 2 điểm cực trị $(-1;-2)$ và $(1;2)$. b) Đúng: Trên $(-1;1)$ đồ thị đi lên. c) Sai: Trên nửa khoảng $(1;2]$ hàm số nghịch biến và không chứa $x=1$ nên không có giá trị lớn nhất bằng $2$. d) Sai: Đồ thị đi qua $(1;2)$ nên $f(x)=-x^3+3x$.

Ta có $y^{\prime }=\frac{x^2+2x+2m-2}{(x+1{)}^2}$. Hàm số có cực đại và cực tiểu khi $x^2+2x+2m-2=0$ có $2$ nghiệm phân biệt khác $-1⟺{\Delta }^{\prime }=3-2m>0⟺m<\frac{3}{2}$. Do $m\in {\mathbb{Z}}^{+}$ nên $m=1$.

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại $x=-1$.

Ta có $y^{\prime }=-3x^2+6x=0⟺x=0$ hoặc $x=2$. Hai điểm cực trị là $A(0;5)$ và $B(2;9)$, suy ra $AB=\sqrt{(2-0{)}^2+(9-5{)}^2}=2\sqrt{5}$.

Hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=0$ và $x=2$, nên hàm số có $2$ điểm cực tiểu.

Từ đồ thị ta thấy điểm cực đại của đồ thị hàm số là điểm $(1;2)$.

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại $x=1$.

Tại $x=1$, $y^{\prime }$ không đổi dấu nên $x=1$ không phải là điểm cực trị. Hàm số đồng biến trên $(-\infty ;2)$ nên đồng biến trên $(-\infty ;0)$, có $2$ điểm cực trị tại $x=2$ và $x=4$. Khoảng cách giữa $(2;f(2))$ và $(4;f(4))$ là $\sqrt{(4-2{)}^2+6^2}=2\sqrt{10}$.

Dựa vào bảng biến thiên, giá trị cực tiểu của hàm số bằng $-4$ (tại $x=3$).

Từ đồ thị, hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$ (với giá trị cực tiểu $y_{\text{CT}}=-2$).

Dựa vào đồ thị hàm số $y=f(x)$, hàm số đạt cực đại tại $x=1$ và giá trị cực đại của hàm số là $y=3$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0104, trang 5), Câu 4 chọn đáp án C.

Từ bảng biến thiên:
- Hàm số đồng biến trên $(-\infty ;0)$ và nghịch biến trên $(0;3)$, đạt cực đại tại $x=0$ với $y_{CĐ}=2$.
- Hàm số nghịch biến trên $(0;3)$ và đồng biến trên $(3;+\infty )$, đạt cực tiểu tại $x=3$ với $y_{CT}=-4$.
Vậy giá trị cực tiểu của hàm số là $-4$.

Từ bảng biến thiên, hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ và giá trị cực đại là $y_{\text{CĐ}}=4$.

Theo định lý điều kiện đủ để hàm số có cực trị, nếu hàm số đạt cực trị tại $x_0$ (với hàm số có đạo hàm trên khoảng lân cận) thì đạo hàm đổi dấu khi $x$ đi qua $x_0$.

Phương trình $f^{\prime }(x)=0⟺x=-1$ (nghiệm bội lẻ) hoặc $x=1$ (nghiệm bội chẵn). Đạo hàm chỉ đổi dấu qua $x=-1$, nên hàm số có $1$ điểm cực trị.

Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-3=0⟺x=\pm 1$.
Bảng biến thiên cho thấy hàm số đạt cực đại tại $x=-1$.
Giá trị cực đại của hàm số là $y_{\text{CĐ}}=f(-1)=(-1{)}^3-3(-1)+2=4$.
Chọn B.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 17), Câu 3 (Phần III, câu 19) có đáp số là $158$.

Hàm số bậc ba $y=f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$ nên $d=0$.
Đồ thị cắt trục hoành tại $O(0;0)$, $A(2;0)$ và $B(3;0)$, nên phương trình có dạng:
$f(x)=ax(x-2)(x-3)=a(x^3-5x^2+6x).$

Đạo hàm $f^{\prime }(x)=a(3x^2-10x+6)$.
Phương trình $f^{\prime }(x)=0⟺x=\frac{5\pm \sqrt{7}}{3}$.
Điểm cực đại thuộc khoảng $(0;2)$ ứng với $x_1=\frac{5-\sqrt{7}}{3}\approx 0,785$.
Tại điểm cực đại, độ cao ngọn đồi là $528\text{ m}=0,528\text{ km}$, do đó:
$f(x_1)=0,528⟹a\cdot x_1(x_1-2)(x_1-3)=0,528⟹a\approx 0,25096.$

Điểm cực tiểu thuộc khoảng $(2;3)$ ứng với $x_2=\frac{5+\sqrt{7}}{3}\approx 2,549$.
Giá trị cực tiểu của hàm số:
$y_{\text{CT}}=f(x_2)=a\cdot x_2(x_2-2)(x_2-3)\approx 0,25096\cdot 2,549\cdot 0,549\cdot (-0,451)\approx -0,1583\text{ km}=-158,3\text{ m}.$

Độ sâu của hồ tại vị trí sâu nhất là $|y_{\text{CT}}|\approx 158\text{ m}$.

Đáp số: 158.