Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$ và giá trị cực tiểu của hàm số là $y_{\text{CT}}=f(2)=0$. Chọn D.

Từ bảng biến thiên, hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=2$ và giá trị cực tiểu của hàm số là $y_{CT}=f(2)=-4$.

Dựa vào bảng biến thiên, đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm $x=0$. Do đó hàm số đạt cực đại tại điểm $x=0$.
Chọn B.

Dựa vào đồ thị, hàm số đạt cực đại tại điểm $x=0$ (với giá trị cực đại $y_{\text{CĐ}}=2$). Chọn C.

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đạt cực đại tại điểm $x=-1$ và giá trị cực đại tương ứng của hàm số là $y=1$. Chọn D.

Phương pháp: Dựa vào đồ thị hàm số, giá trị cực đại là giá trị của $y$ tại điểm cực đại của đồ thị.
Lời giải: Đồ thị hàm số đạt cực đại tại điểm $(-1;2)$. Khi đó, giá trị cực đại của hàm số là $y=2$.
Chọn D.

Lời giải chi tiết:
Hàm số $f(x)=2\sin x-x\Rightarrow f^{\prime }(x)=2\cos x-1$. Do đó ý c) đúng.
Giải phương trình $f^{\prime }(x)=0\iff \cos x=\frac{1}{2}$. Trên đoạn $[-\pi ;\pi ]$, phương trình có đúng $2$ nghiệm là $x=\pm \frac{\pi }{3}$. Do đó ý a) đúng.
Lập bảng biến thiên trên $[-\pi ;\pi ]$, ta thấy hàm số đạt cực đại tại $x_1=\frac{\pi }{3}\Rightarrow y_1=\sqrt{3}-\frac{\pi }{3}$ và đạt cực tiểu tại $x_2=-\frac{\pi }{3}\Rightarrow y_2=-\sqrt{3}+\frac{\pi }{3}$. Do đó ý d) sai (vì điểm cực đại là $x=\frac{\pi }{3}$).
Tọa độ hai điểm cực trị là $A\left(\frac{\pi }{3};\sqrt{3}-\frac{\pi }{3}\right)$ và $B\left(-\frac{\pi }{3};-\sqrt{3}+\frac{\pi }{3}\right)$. Khoảng cách giữa hai điểm cực trị:
$AB=\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2}=\sqrt{{\left(\frac{2\pi }{3}\right)}^2+{\left(2\sqrt{3}-\frac{2\pi }{3}\right)}^2}\approx \sqrt{2,094^2+1,370^2}\approx 2,502\approx 2,5$. Do đó ý b) đúng.
Kết luận: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 9125, trang 5), Câu 1 (Phần III, câu 17) có đáp số là $4,47$.

Hai điểm cực trị là $A(0;4)$ và $B(2;0)$, nên $AB=\sqrt{2^2+(-4{)}^2}=\sqrt{20}\approx 4,47$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 083, trang 5), Câu 2 (Phần I) chọn đáp án A.

Đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=2$, nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 221, trang 4), Câu 9 (Phần I) chọn đáp án C.

Ta có $G^{\prime }(t)=90t-3t^2=0⟺t=30$ (do $t>0$).

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 221, trang 4), Câu 2 (Phần II, câu 12): a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.

Từ bảng biến thiên: a) Sai vì hàm số đồng biến trên $(1;3)$. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai vì giá trị cực đại là $y(3)=1$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 221, trang 4), Câu 3 (Phần III, câu 15) có đáp số là $4$.

Ta có $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-\frac{2}{3}=0⟺f^{\prime }(x)=\frac{2}{3}$. Đường thẳng $y=\frac{2}{3}\in (0;2)$ cắt đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ tại $4$ điểm phân biệt mà qua đó $f^{\prime }(x)-\frac{2}{3}$ đổi dấu, nên hàm số $g(x)$ có $4$ điểm cực trị.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 6), Câu 2 (Phần I) chọn đáp án A.

Hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi đi qua $x=-1,x=0,x=2$, nên hàm số có $3$ điểm cực trị.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 6), Câu 7 (Phần I) chọn đáp án D.

Từ đồ thị, hàm số đạt cực đại tại $x=2$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 6), Câu 11 (Phần I) chọn đáp án C.

Từ bảng biến thiên, giá trị cực tiểu của hàm số bằng $-4$ (tại $x=3$).

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 6), Câu 1 (Phần III, câu 17) có đáp số là $4,47$.

Ta có $y^{\prime }=\frac{x^2+2x}{(x+1{)}^2}=0⟺x=0\text{ hoặc }x=-2$. Hai điểm cực trị là $M(0;0)$ và $N(-2;-4)$, nên $MN=\sqrt{(-2{)}^2+(-4{)}^2}=\sqrt{20}\approx 4,47$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề thi 1121, trang 6), Câu 6 (Phần I) chọn đáp án B.

Đạo hàm $f^{\prime }(x)$ chỉ đổi dấu qua nghiệm đơn $x=\frac{1}{2}$, nên hàm số có $1$ điểm cực trị.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề thi 1121, trang 6), Câu 3 (Phần III, câu 19) có đáp số là $3,33$.

Từ đồ thị, $f^{\prime }(x)=(x+1)(x-2)=x^2-x-2$. Với $f(0)=\frac{13}{6}$, ta có $f(x)=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2-2x+\frac{13}{6}$, đạt cực đại tại $x=-1$ với $f(-1)=\frac{10}{3}\approx 3,33$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 5), Câu 8 (Phần I) chọn đáp án B.

Từ đồ thị, điểm cực đại của đồ thị hàm số là $M(-1;2)$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 6), Câu 10 (Phần I) chọn đáp án C.

Từ bảng biến thiên, đạo hàm $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ qua $x=6$ nên điểm cực đại của hàm số là $x=6$.