Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 6), Câu 1 (Phần II, câu 17): a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.

a) Đúng. b) Đúng vì hàm số đồng biến trên $(1;3)$. c) Sai vì hàm số đạt cực đại tại $x=3$. d) Đúng vì trên $[5;8]$, hàm số nghịch biến trên $(5;7)$ và đồng biến trên $(7;8)$ nên đạt GTNN tại $x=7$ với $f(7)=-18$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 121, trang 5), Câu 4 (Phần 1) chọn đáp án B.

Đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu qua hai nghiệm bội lẻ $x=0$ và $x=1$, nên hàm số có $2$ điểm cực trị.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 121, trang 5), Câu 7 (Phần 1) chọn đáp án C.

Từ bảng biến thiên, hàm số đạt cực đại tại $x=-1$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 121, trang 5), Câu 2 (Phần 3, câu 18) có đáp số là $4$.

Ta có $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-\frac{2025}{2024}=0⟺f^{\prime }(x)=\frac{2025}{2024}\in (1;2)$. Đường thẳng $y=\frac{2025}{2024}$ cắt đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ tại $4$ điểm phân biệt mà qua đó $g^{\prime }(x)$ đều đổi dấu, nên $g(x)$ có $4$ điểm cực trị.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 121, trang 5), Câu 2 (Phần 1) chọn đáp án B.

Đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm qua $x=-\frac{1}{2}$ và đổi dấu từ âm sang dương qua $x=2$, nên hàm số có đúng $1$ điểm cực đại.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 121, trang 5), Câu 1 (Phần 2, câu 13): a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.

Ta có $y^{\prime }=6x^2-10x-24=0⟺x=-\frac{4}{3}$ hoặc $x=3$. a) Đúng. b) Đúng: $y\left(-\frac{4}{3}\right)=\frac{10}{27}$. c) Sai: trên $(3;+\infty )$ hàm số đồng biến. d) Sai: trên $\left(-\frac{4}{3};3\right)$ hàm số nghịch biến.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 121, trang 5), Câu 1 (Phần 3, câu 17) có đáp số là $2$.

Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x=0⟺x=0$ hoặc $x=2$. Giá trị cực đại $a=y(0)=-2$, giá trị cực tiểu $b=y(2)=-6$. Suy ra $2a^2+b=2(-2{)}^2-6=2$.

Ta có $y^{\prime }=8x^3+2x=2x(4x^2+1)=0\iff x=0\Rightarrow y(0)=-6$. Vậy tọa độ điểm cực trị của đồ thị hàm số là $(0;-6)$. Chọn C.

Dựa vào đồ thị, hàm số bậc ba đã cho có $1$ điểm cực đại và $1$ điểm cực tiểu, tức là có $2$ điểm cực trị. Chọn A.

Ta có $f^{\prime }(x)=(9-x^2)(x+3)=(3-x)(x+3{)}^2$. Đạo hàm chỉ đổi dấu khi đi qua nghiệm đơn $x=3$ từ dương sang âm (điểm cực đại), và không đổi dấu qua $x=-3$. Vậy hàm số không có điểm cực tiểu nào (số điểm cực tiểu bằng $0$). Chọn B.

Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ đi qua $(0;1)$ và đạt cực tiểu tại $(2;-3)$, cực đại tại $x=0$, ta có $f^{\prime }(x)=x^3-3x^2+1$. Suy ra $f(x)=\frac{1}{4}{x}^4-x^3+x-1\Rightarrow g(x)=f(x)-x=\frac{1}{4}{x}^4-x^3-1$. Ta có $g^{\prime }(x)=x^3-3x^2=0\iff x=0$ (bội chẵn) hoặc $x=3$ (nghiệm đơn), nên $g(x)$ có $1$ điểm cực trị tại $x=3$ với $g(3)=-\frac{31}{4}<0$. Mặt khác ${\lim }_{x\to \pm \infty }g(x)=+\infty$ nên đồ thị $y=g(x)$ cắt trục hoành tại $2$ điểm phân biệt. Vậy hàm số $y=|g(x)|$ có $1+2=3$ điểm cực trị. Chọn C.

Phương trình hoành độ giao điểm của $(C)$ và $(C^{\prime })$ có 3 nghiệm $x=2,x=3,x=6$ nên $f(x)-f^{\prime }(x)=a(x-2)(x-3)(x-6)=a{x}^3-11a{x}^2+36ax-36a$. Mặt khác $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2(a-9)x+c$, đồng nhất hệ số của $x^2$ trong $f(x)-f^{\prime }(x)$ ta có $(a-9)-3a=-11a\iff 9a=9\iff a=1$. Khi đó $f(x)=(x-2)(x-3)(x-6)+f^{\prime }(x)$, đạo hàm hai vế và đồng nhất hệ số ta tìm được $f(x)=x^3-8x^2+20x-16=(x-2{)}^2(x-4)$, có hai điểm cực trị là $x=2$ và $x=\frac{10}{3}$. Tổng hai giá trị cực trị là $f(2)+f\left(\frac{10}{3}\right)=0+\left(-\frac{32}{27}\right)=\frac{-32}{27}$. Chọn B.

Hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi đi qua cả 4 điểm $x=-1$, $x=0$, $x=2$, $x=4$ (dù tại $x=0$ đạo hàm không xác định nhưng hàm số vẫn liên tục trên $\mathbb{R}$). Do đó hàm số có $4$ điểm cực trị. Chọn C.

Từ bảng biến thiên, hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$ và giá trị cực tiểu của hàm số là $y_{\text{CT}}=f(0)=-4$. Chọn A.

Ta có $f^{\prime }(x)=(x+3)(x-2)$. Xét $g(x)=f(x^3-3x^2-9x+m)$, ta có $g^{\prime }(x)=(3x^2-6x-9)f^{\prime }(x^3-3x^2-9x+m)=0\iff x\in \{-1;3\}$ hoặc $h(x)=x^3-3x^2-9x=-m-3$ hoặc $h(x)=x^3-3x^2-9x=-m+2$. Hàm số $h(x)=x^3-3x^2-9x$ đạt cực đại $h(-1)=5$ và cực tiểu $h(3)=-27$. Để $g(x)$ có đúng $6$ điểm cực trị thì tổng số nghiệm bội lẻ (khác $-1$ và $3$) của hai phương trình $h(x)=-m-3$ và $h(x)=-m+2$ phải bằng $4$, tức một đường thẳng cắt đồ thị $y=h(x)$ tại $3$ điểm phân biệt (thuộc khoảng $(-27;5)$) và đường thẳng còn lại cắt tại $1$ điểm bội lẻ (nằm ngoài đoạn $[-27;5]$): $[<table><tbody><tr><td>-27<-m-3<5\le -m+2</td></tr><tr><td>-m-3\le -27<-m+2<5</td></tr></tbody></table>\iff [<table><tbody><tr><td>-3\le m<2</td></tr><tr><td>24\le m<29</td></tr></tbody></table>$. Do $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-3;-2;-1;0;1\}\cup \{24;25;26;27;28\}$, có tất cả $5+5=10$ giá trị nguyên của $m$. Chọn A.

Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị cực đại của hàm số bằng $3$ tại điểm $x=\pm 2$.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại $x=0$ và đạt cực tiểu tại $x=1$.

Xét $h(x)=f(x^6)-x^3$, ta có $h^{\prime }(x)=3x^2(2x^3{f}^{\prime }(x^6)-1)=0\iff x=0$ (bội chẵn) hoặc $f^{\prime }(t)=\pm \frac{1}{2\sqrt{t}}$ với $t=x^6>0$, có duy nhất một nghiệm $x=\sqrt[3]{t_0}>0$. Do $h(0)=0$ nên đồ thị $y=h(x)$ có $1$ điểm cực trị và cắt trục hoành tại $2$ điểm phân biệt. Vậy hàm số $g(x)=|h(x)|$ có $3$ điểm cực trị.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 9), Câu 9 (Phần 1) chọn đáp án B.

Từ bảng biến thiên, điểm cực tiểu của đồ thị hàm số có tọa độ là $(1;0)$.

Từ đồ thị hàm số ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1$ (với $y_{\text{CT}}=0$) và đạt cực đại tại $x=1$ (với $y_{\text{CĐ}}=4$). Chọn D.