Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đại lượng tích lũy (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Quãng đường đi được trong 30 phút là $S={\int }_0^{30}v(t)dt$ tính theo từng khoảng:
- ${\int }_0^{10}100tdt=50t^2{|}_0^{10}=5000$ (m).
- ${\int }_{10}^{20}(20t+800)dt=(10t^2+800t){|}_{10}^{20}=(4000+16000)-(1000+8000)=11000$ (m).
- ${\int }_{20}^{30}(-10t+1400)dt=(-5t^2+1400t){|}_{20}^{30}=(-4500+42000)-(-2000+28000)=11500$ (m).

Tổng quãng đường: $S=5000+11000+11500=27500$ (m).

Vận tốc trung bình: $\bar{v}=\frac{27500}{30}\approx 916,67\approx 917$ (m/phút).

Kết quả khớp với đáp án nguồn (917).

(AI giải đề cho tôi)
a) Xe dừng khi $v(t)=-4t+20=0\iff t=5$ giây → Đúng. b) Trong 1,5 giây đầu xe đi đều $20m/s$: quãng đường $=20\cdot 1,5=30m$ → Đúng. c) Quãng đường khi phanh: ${\int }_0^5(-4t+20)dt=\left(-2t^2+20t\right){|}_0^5=-50+100=50m$. Tổng quãng đường $=30+50=80m$ → Đúng. d) Quãng đường từ lúc đạp phanh đến khi dừng là $50m$, không phải $40m$ → Sai. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1202, câu 14: DDDS.
a) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)=-4t+20=0\iff t=5$ giây, nên sau 5 giây kể từ lúc đạp phanh xe dừng hẳn.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trước khi phanh xe đi đều với $20m/s$: $s=20\cdot 1,5=30m$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Quãng đường phanh $={\int }_0^5(-4t+20)dt=50m$; tổng $=30+50=80m$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Quãng đường từ lúc đạp phanh đến khi dừng là ${\int }_0^5(-4t+20)dt=50m\ne 40m$.

(AI giải đề cho tôi)
Xe dừng khi v(t)=-10t+30=0 ⟹ t=3 giây (kể từ lúc đạp phanh). Quãng đường lúc đạp phanh: s=∫₀³(-10t+30)dt=[-5t²+30t]₀³=45 m. Trong 1 giây phản ứng xe đi đều 30 m. a) Tổng quãng đường từ lúc phát hiện đến khi dừng: 30+45=75 m → Đúng. b) Thời gian từ lúc đạp phanh đến khi dừng là 3 giây, không phải 4 → Sai. c) Sau 3 giây kể từ lúc đạp phanh quãng đường là 45 m, không phải 40 m → Sai. d) 1 giây cuối (t từ 2 đến 3): ∫₂³(-10t+30)dt=[-5t²+30t]₂³=45-40=5 m, không phải 10 m → Sai. Khớp đáp án mã đề 1201: DSSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trong 1 giây phản ứng xe đi 30 m; quãng đường phanh là ∫₀³(-10t+30)dt=45 m; tổng 30+45=75 m → Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
v(t)=0 ⟹ -10t+30=0 ⟹ t=3 giây, không phải 4 giây → Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
∫₀³(-10t+30)dt=45 m, không phải 40 m → Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
∫₂³(-10t+30)dt=[-5t²+30t]₂³=45-40=5 m, không phải 10 m → Sai.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: quãng đường đi được trong $t$ giây là $s(t)={\int }_0^{t}v(u)du$, không phải ${\int }_0^{11}v(t)dt$ (đó là quãng đường trong 11 giây). b) Đúng: $v(4)=11-4=7$ (m/s). c) Đúng: $s={\int }_0^4(11-t)dt=44-8=36$ m. d) Đúng: tại $t=6$, vận tốc $v(6)=5$ m/s $=18$ km/h $>5$ km/h, nên khi qua công trường xe vẫn vượt quá tốc độ cho phép, người lái không thực hiện đúng quy định. Kết quả khớp đáp án mã đề 1202: SĐĐĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Quãng đường trong $t$ giây là $s(t)={\int }_0^{t}v(u)du$, không phải ${\int }_0^{11}v(t)dt$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$v(4)=11-4=7$ (m/s).
c) (AI giải đề cho tôi)
$s={\int }_0^4(11-t)dt={\left[11t-\frac{t^2}{2}\right]}_0^4=44-8=36$ m.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tại $t=6$: $v(6)=5$ m/s $=18$ km/h $>5$ km/h, vượt giới hạn cho phép nên không đúng quy định.

(AI giải đề cho tôi)
Lợi nhuận khi bán 100 sản phẩm đầu tiên là ${\int }_0^{100}{P}^{\prime }(x)dx={\int }_0^{100}(-0,0008x+10,4)dx=\left(-0,0004x^2+10,4x\right){|}_0^{100}=-0,0004\cdot 10000+10,4\cdot 100=-4+1040=1036$ triệu đồng. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1202, câu 18: 1036).

(AI giải đề cho tôi)
Xe chuyển động chậm dần đều với $v(t)=11-t$ (m/s), $0\le t\le 11$.
a) $v(4)=11-4=7$ (m/s) → đúng.
b) Quãng đường đi được trong $t$ giây là $s(t)={\int }_0^{t}v(x)dx$, không phải ${\int }_0^{11}v(t)dt$ (tích phân từ 0 đến 11 chỉ cho quãng đường trong 11 giây) → sai.
c) $s(4)={\int }_0^4(11-t)dt={\left[11t-\frac{t^2}{2}\right]}_0^4=44-8=36$ (m) → đúng.
d) Tại $t=6$: $v(6)=5$ m/s $=18$ km/h $>5$ km/h. Quãng đường đã đi: $s(6)=66-18=48$ m. Xe cách công trình 9 m, thời điểm tới công trình: $11t-\frac{t^2}{2}=57\iff t^2-22t+114=0\iff t=11-\sqrt{7}\approx 8,35$ s. Khi đó $v\approx 11-8,35=2,65$ m/s $\approx 9,54$ km/h $>5$ km/h, nên người lái xe không thực hiện đúng quy định của biển báo → đúng.
Khớp đáp án mã đề 1201, câu 14: ĐSĐĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$v(4)=11-4=7$ (m/s).
b) (AI giải đề cho tôi)
Quãng đường trong $t$ giây là $s(t)={\int }_0^{t}v(x)dx$; tích phân từ 0 đến 11 chỉ cho quãng đường trong 11 giây.
c) (AI giải đề cho tôi)
$s(4)={\int }_0^4(11-t)dt=44-8=36$ (m).
d) (AI giải đề cho tôi)
Tại $t=6$, $v=5$ m/s $=18$ km/h; xe tới công trình tại $t=11-\sqrt{7}\approx 8,35$ s với $v\approx 2,65$ m/s $\approx 9,54$ km/h $>5$ km/h nên không đúng quy định.

(AI giải đề cho tôi)
Hai dây song song cách đều tâm và cách nhau 22 m nên mỗi dây cách tâm 11 m. Phần trồng hoa là dải giữa giới hạn bởi hai dây, tức phần hình tròn giữa hai đường thẳng $x=-11$ và $x=11$ (tâm $O$, bán kính $R=15$). Diện tích: $$S={\int }_{-11}^{11}2\sqrt{225-x^2}dx=2{\int }_0^{11}2\sqrt{225-x^2}dx.$$ Nguyên hàm: $\int 2\sqrt{225-x^2}dx=x\sqrt{225-x^2}+225\arcsin \frac{x}{15}$. Vậy $$S=2\left[11\sqrt{104}+225\arcsin \frac{11}{15}\right]\approx 2(112,18+185,20)\approx 594,8\approx 595m^2.$$ Kết quả khớp đáp án nguồn 595 (mã đề 404, Phần III Câu 2).

a/ Chi phí
$C(x)=\int C^{\prime }(x)dx=\int \left(3x^2-11x+20\right)dx=x^3-\frac{11}{2}{x}^2+20x+C$
Chi phí ban đầu C(0) = 600 nên C = 600.
Do đó $C(x)=x^3-\frac{11}{2}{x}^2+20x+600$
Chi phí sx 16 chiếc chiếu là C(16) = 3608 (nghìn đồng) (0,25 + 0,25 điểm)

b/ Lợi nhuận khi bán x chiếc chiếu là
$L(x)=320x-\left(x^3-\frac{11}{2}{x}^2+20x+600\right)=-x^3+\frac{11}{2}{x}^2+300x-600,(0\le x\le 20)$
Xét hàm L(x). Tính L'(x). Gpt L'(x) = 0 có 2 nghiệm 12 và -25/3.
Lập bảng biến thiên.
Kết luận, lợi nhuận tối đa là 2064 nghìn đồng. (0,25 + 0,25 điểm)

a/ Chi phí
$C(x)=\int C^{\prime }(x)dx=\int \left(3x^2-4x+10\right)dx=x^3-2x^2+10x+C$
Chi phí ban đầu C(0) = 500 nên C = 500.
Do đó $C(x)=x^3-2x^2+10x+500$
Chi phí sx 15 chiếc chiếu là C(15) = 3575 (nghìn đồng) (0,25 + 0,25 điểm)

b/ Lợi nhuận khi bán x chiếc chiếu là
$L(x)=270x-\left(x^3-2x^2+10x+500\right)=-x^3+2x^2+260x-500,(0\le x\le 20)$
Xét hàm L(x). Tính L'(x). Gpt L'(x) = 0 có 2 nghiệm 10 và -26/3.
Lập bảng biến thiên.
Kết luận, lợi nhuận tối đa là 1300 nghìn đồng. (0,25 + 0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Từ $h(0)=520$, $h(5)=530$, $h(15)=520$ và $h(t)=520+{\int }_0^{t}v(s)ds=\frac{a{t}^3}{3}+\frac{b{t}^2}{2}+520$, ta có hệ $\frac{125a}{3}+\frac{25b}{2}=10$ và $1125a+\frac{225b}{2}=0$. Giải được $a=-0,12$, $b=1,2$, tức $v(t)=-0,12t^2+1,2t$. a) $v(t)=0$ tại $t=10$, $h(10)=-40+60+520=540$ m là độ cao lớn nhất → Đúng. b) $v(t)>0$ trên $(0;10)$, $v(t)<0$ với $t>10$ nên tăng độ cao trong 10 phút đầu → Đúng. c) Đề cho xuất phát ở độ cao 520 m nên $h(0)=520$ m → Đúng (khớp đáp án 0002: 2c = Đ). d) Vì $h(0)=520\ne 0$, công thức đúng là $h(t)=520+{\int }_0^{t}v(s)ds$ → Sai (khớp đáp án 0002: 2d = S).
a) Vì $h(0)=520$, $h(5)=530$ và $h(15)=520$, ta có $h(t)=\frac{a{t}^3}{3}+\frac{b{t}^2}{2}+520$. Giải hệ $\frac{125a}{3}+\frac{25b}{2}=10$ và $1125a+\frac{225b}{2}=0$ được $a=-0,12$, $b=1,2$, tức $v(t)=-0,12t^2+1,2t$. Khi đó $v(t)=0$ tại $t=10$ (phút), và $h(10)=-40+60+520=540$ m là độ cao lớn nhất.
b) Với $v(t)=-0,12t^2+1,2t$, ta có $v(t)>0$ trên $(0;10)$ và $v(t)<0$ với $t>10$, nên khinh khí cầu tăng độ cao trong 10 phút đầu.
c) Đề bài cho tại thời điểm xuất phát ($t=0$) khinh khí cầu ở độ cao 520 m, nên $h(0)=520$ m là đúng. Phù hợp đáp án của đề 0002: 2c = Đ.
d) Vì $h(0)=520\ne 0$, công thức đúng phải là $h(t)=520+{\int }_0^{t}v(s)\mathrm{d}s$. Phù hợp đáp án của đề 0002: 2d = S.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục toạ độ với gốc tại $A(0;0)$, trục $Ox$ dọc mép trên $AB$ (dài $40+40=80$ cm) và trục $Oy$ hướng xuống dưới. Theo hình vẽ: đáy sâu nhất của đường cong $AC$ cách $A$ theo phương ngang $30$ cm (còn $10$ cm nữa tới $C$), độ sâu lớn nhất $22,5$ cm; điểm nối $C$ cách $A$ theo phương ngang $40$ cm, sâu $20$ cm, tức $C(40;20)$; $B(80;0)$; chiều rộng gầu $120$ cm.

Parabol qua $A(0;0)$ có dạng $y=a{x}^2+bx$, đỉnh tại $x=30$ với $y(30)=22,5$:
$$\{\begin{array}{l}900a+30b=22,5\\ 60a+b=0\end{array}\Rightarrow a=-0,025,b=1,5,$$
tức $y=1,5x-0,025x^2$. Kiểm tra: $y(40)=60-40=20$ ✓ (đúng đi qua $C$).

Diện tích dưới đường cong từ $x=0$ đến $x=40$:
$$S_1={\int }_0^{40}\left(1,5x-0,025x^2\right)dx={\left[0,75x^2-\frac{0,025x^3}{3}\right]}_0^{40}=1200-\frac{1600}{3}=\frac{2000}{3}({\text{cm}}^2).$$

Phần tam giác $BC$ (cạnh $40$ và $20$):
$$S_2=\frac{40\cdot 20}{2}=400({\text{cm}}^2).$$

Diện tích tiết diện ngang:
$$S=S_1+S_2=\frac{2000}{3}+400=\frac{3200}{3}({\text{cm}}^2).$$

Thể tích gầu (chiều rộng $120$ cm):
$$V=\frac{3200}{3}\cdot 120=128000({\text{cm}}^3)=128\text{lıˊt}.$$

Kết quả khớp với đáp án 128.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $h(t)=h(0)+{\int }_0^{t}v(x)dx=520+\frac{a{t}^3}{3}+\frac{b{t}^2}{2}$. Theo đề: $h(5)=530\Rightarrow \frac{125a}{3}+\frac{25b}{2}=10$; và $h(15)=520\Rightarrow 1125a+\frac{225b}{2}=0\Rightarrow b=-10a$. Suy ra $\frac{125a}{3}-125a=10\Rightarrow -\frac{250a}{3}=10\Rightarrow a=-\frac{3}{25},b=\frac{6}{5}$. Vậy $v(t)=-\frac{3}{25}{t}^2+\frac{6}{5}t=-\frac{3}{25}t(t-10)$. a) Tại thời điểm xuất phát khinh khí cầu ở độ cao 520 m nên $h(0)=520$ m: đúng. b) $h(t)=520+{\int }_0^{t}v(x)dx$, thiếu hằng số 520 nên khẳng định sai. c) $v(t)>0$ khi $0<t<10$, $v(10)=0$, nên độ cao lớn nhất tại $t=10$: $h(10)=520+{\int }_0^{10}\left(-\frac{3}{25}{t}^2+\frac{6}{5}t\right)dt=520+\left(-40+60\right)=540$ m: đúng. d) Khinh khí cầu tăng độ cao khi $v(t)>0$, tức $0<t<10$, kéo dài 10 phút kể từ lúc xuất phát: đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn (1a Đ, 1b S, 1c Đ, 1d Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Đề cho tại thời điểm xuất phát ($t=0$) khinh khí cầu ở độ cao 520 m, nên $h(0)=520$ m.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $h^{\prime }(t)=v(t)$ và $h(0)=520$, nên $h(t)=520+{\int }_0^{t}v(x)dx$. Khẳng định thiếu số hạng $h(0)=520$ nên sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ các điều kiện tìm được $a=-\frac{3}{25},b=\frac{6}{5}$, nên $v(t)=-\frac{3}{25}t(t-10)$. Độ cao lớn nhất tại $t=10$: $h(10)=520+{\int }_0^{10}v(t)dt=520+20=540$ m.
d) (AI giải đề cho tôi)
Khinh khí cầu tăng độ cao khi $v(t)>0$, tức $-\frac{3}{25}t(t-10)>0\iff 0<t<10$, nên giai đoạn tăng độ cao kéo dài 10 phút kể từ thời điểm xuất phát.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích mặt cắt hình vuông cạnh $2\sqrt{1-x^2}$ là $S(x)={\left(2\sqrt{1-x^2}\right)}^2=4(1-x^2)$, hàm liên tục trên $[-1;1]$ nên a) Đúng. Thể tích tính bằng $V={\int }_{-1}^{1}S(x)dx$ (không có hệ số $\pi$ vì mặt cắt là hình vuông, không phải hình tròn) nên b) Sai. $S(x)=4(1-x^2)\ne 2(1-x^2)$ nên c) Sai. $V={\int }_{-1}^{1}4(1-x^2)dx=4{\left[x-\frac{x^3}{3}\right]}_{-1}^1=4\cdot \frac{4}{3}=\frac{16}{3}$ nên d) Đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn: Đ S S Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$S(x)=4(1-x^2)$ là đa thức nên liên tục trên $[-1;1]$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Công thức đúng là $V={\int }_{-1}^{1}S(x)dx$; hệ số $\pi$ chỉ dùng khi mặt cắt là hình tròn.
c) (AI giải đề cho tôi)
$S(x)={\left(2\sqrt{1-x^2}\right)}^2=4(1-x^2)$, không phải $2(1-x^2)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$V={\int }_{-1}^{1}4(1-x^2)dx=4\left(2-\frac{2}{3}\right)=\frac{16}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng chi phí: $C(82)=C(0)+{\int }_0^{82}(8-0,13x+0,00022x^2)dx$. Nguyên hàm: $8x-0,065x^2+\frac{0,00022x^3}{3}$. Thay $x=82$: $8\cdot 82=656$; $0,065\cdot 82^2=0,065\cdot 6724=437,06$; $\frac{0,00022\cdot 82^3}{3}=\frac{0,00022\cdot 551368}{3}=\frac{121,30096}{3}\approx 40,4337$. Vậy tích phân $\approx 656-437,06+40,4337=259,3737$. Tổng chi phí $C(82)=24+259,3737\approx 283,37\approx 283$ triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng chi phí $C(x)=C(0)+{\int }_0^x{C}^{\prime }(t)dt$. Với $x=84$: ${\int }_0^{84}(8-0,13t+0,00022t^2)dt={\left[8t-0,065t^2+\frac{0,00022t^3}{3}\right]}_0^{84}=672-458,64+43,46496=256,82496$. Vậy $C(84)=24+256,82496=280,82496\approx 281$ triệu đồng.

Xét hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ.

[Hình cần kiểm tra lại: p10_f1]

Gọi phương trình parabol $(P)$ có dạng: $y=a{x}^2+bx+c$.

Khi đó $(P)$ đi qua gốc $O$, điểm $C(15;10)$ và $D(-15;10)$.

Ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}c=0\\ 225a+15b+c=10\\ 225a-15b+c=10\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=\frac{2}{45}\\ b=0\\ c=0\end{array}$.

Vậy $(P)$: $y=\frac{2}{45}{x}^2$.

Khi đó: Diện tích trồng cỏ nhung Nhật là: $S_1=2\cdot {\int }_{-15}^{15}\left(10-\frac{2}{45}{x}^2\right)dx=400\left(m^2\right)$. (0,5 điểm)

Ý 2: Diện tích hình chữ nhật là: $S=50\cdot 30=1500\left(m^2\right)$.

Diện tích trải thảm nhân tạo là: $S_2=S-S_1=1500-400=1100\left(m^2\right)$. (0,25 điểm)

Tổng số tiền để trồng và trải thảm cỏ hết khu vui chơi là:

$400\cdot 140000+1100\cdot 100000=166000000$ (đồng) $=166$ (triệu đồng).

Tổng điểm: 3,00.

Ta có $v(t)=\int a(t)dt=t^2-4t+C$. Do $v(0)=10\Rightarrow C=10\Rightarrow v(t)=t^2-4t+10$. Quãng đường ô tô đi được sau 15 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là: $$s=\underset{0}{\overset{15}{\int }}v(t)dt=\underset{0}{\overset{15}{\int }}\left(t^2-4t+10\right)dt={\left(\frac{t^3}{3}-2t^2+10t\right)|}_0^{15}=825(m)$$

Ta có: $P(t)=\int P^{\prime }(t)dt=\int k\sqrt{t}dt=k.\frac{2}{3}{t}^{\frac{3}{2}}+C$. Số lượng vi khuẩn ban đầu của quần thể đó là 500 vi khuẩn hay $P(0)=500\iff C=500$. Từ đó suy ra: $P(t)=k.\frac{2}{3}{t}^{\frac{3}{2}}+500$. Sau một ngày số lượng vi khuẩn của quần thể đó tăng lên thành 600 vi khuẩn hay $P(1)=600\iff \frac{2}{3}.k+500=600\iff k=150$. Số lượng vi khuẩn của quần thể đó tại thời điểm $t$ là $P(t)=100.t^{\frac{3}{2}}+500$. Số lượng vi khuẩn của quần thể đó sau 7 ngày là: $P(7)=100.7^{\frac{3}{2}}+500\approx 2352$.

Ta có: $P(t)=\int P^{\prime }(t)dt=\int k\sqrt{t}dt=k.\frac{2}{3}{t}^{\frac{3}{2}}+C$. Số lượng vi khuẩn ban đầu của quần thể đó là 500 vi khuẩn hay $P(0)=500\iff C=500$. Từ đó suy ra: $P(t)=k.\frac{2}{3}{t}^{\frac{3}{2}}+500$. Sau một ngày số lượng vi khuẩn của quần thể đó tăng lên thành 600 vi khuẩn hay $P(1)=600\iff \frac{2}{3}.k+500=600\iff k=150$. Số lượng vi khuẩn của quần thể đó tại thời điểm $t$ là $P(t)=100.t^{\frac{3}{2}}+500$. Số lượng vi khuẩn của quần thể đó sau 7 ngày là: $P(7)=100.7^{\frac{3}{2}}+500\approx 2352$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị vận tốc là parabol có đỉnh (15;60) và đi qua gốc O. Suy ra v(t)=60-a(t-15)^2. Vì v(0)=0 nên 60-225a=0, a=4/15, tức v(t)=60-(4/15)(t-15)^2. Quãng đường từ t=0 đến t=15 là tích phân: S=∫₀¹⁵ [60-(4/15)(t-15)^2]dt = 60·15 - (4/15)·[(t-15)^3/3]₀¹⁵ = 900 - (4/15)·(0-(-3375)/3) = 900 - (4/15)·1125 = 900-300 = 600 m.