Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đạo hàm cấp hai (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc $v(t)=S^{\prime }(t)=3t^2-6t-9$. Vận tốc triệt tiêu khi $3t^2-6t-9=0\iff t^2-2t-3=0\iff t=3$ (nhận, $t\ge 0$) hoặc $t=-1$ (loại). Gia tốc $a(t)=v^{\prime }(t)=6t-6$, nên $a(3)=18-6=12m/s^2$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc $v(t)=s^{\prime }(t)=3t^2-6t+7$. Cho $v(t)=16$: $3t^2-6t+7=16\iff 3t^2-6t-9=0\iff t^2-2t-3=0\iff t=3$ (nhận, $t>0$; $t=-1$ loại). Gia tốc $a(t)=v^{\prime }(t)=6t-6$, nên $a(3)=6\cdot 3-6=12$ (m/s${}^2$). Kết quả khớp với đáp án nguồn 12.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc là $v(t)=S^{\prime }(t)=-t^2+3t-2$. Vận tốc giảm khi $v^{\prime }(t)=S^{\prime \prime }(t)=-2t+3<0\iff t>\frac{3}{2}$. Với $t\ge 0$, từ $t>1,5$ tức là kể từ giây thứ $2$ trở đi vận tốc của vật giảm. Vậy đáp án là $2$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $s(t)=-\frac{1}{3}{t}^3+4t^2+9t$ (m), $t\ge 0$.
a) $v(t)=s^{\prime }(t)=-t^2+8t+9$ → Đúng.
b) Gia tốc $a(t)=v^{\prime }(t)=-2t+8$; tại $t=1$: $a(1)=6m/s^2$ → Đúng.
c) $v(3)=-9+24+9=24m/s\ne 25m/s$ → Sai.
d) $v(t)=-t^2+8t+9=-(t-4{)}^2+25$ đạt giá trị lớn nhất $25m/s$ tại $t=4$ → Đúng.
Kết quả khớp bảng hướng dẫn chấm mã đề 0102: ĐĐSĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)=s^{\prime }(t)=-t^2+8t+9$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$a(t)=v^{\prime }(t)=-2t+8$, nên $a(1)=6m/s^2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$v(3)=-9+24+9=24m/s\ne 25m/s$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)=-(t-4{)}^2+25\le 25$, max bằng $25m/s$ tại $t=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $s(t)=-\frac{1}{3}{t}^3+6t^2+12t$. a) $v(t)=s^{\prime }(t)=-t^2+12t+12$ → Đúng. b) $v(2)=-4+24+12=32m/s$ → Đúng. c) $a(t)=v^{\prime }(t)=-2t+12$, $a(4)=-8+12=4m/s^2$ → Đúng. d) $v(t)=-t^2+12t+12=-(t-6{)}^2+48$ đạt giá trị lớn nhất $48m/s$ tại $t=6$, không phải $25m/s$ → Sai. Kết quả khớp đáp án chính thức ĐĐĐS (mã đề 0101).
a) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)=s^{\prime }(t)=-t^2+12t+12$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$v(2)=-4+24+12=32m/s$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$a(t)=v^{\prime }(t)=-2t+12$ nên $a(4)=4m/s^2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)=-(t-6{)}^2+48\le 48$, vận tốc lớn nhất bằng $48m/s$ tại $t=6$, không phải $25m/s$.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc $v(t)=s^{\prime }(t)=3t^2-6t+8$, gia tốc $a(t)=v^{\prime }(t)=6t-6$. Tại $t=3$: $a(3)=6\cdot 3-6=12(m/s^2)$. Khớp với đáp án A trong bảng mã đề 0212.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc là đạo hàm của quãng đường: $v(t)=s^{\prime }(t)=3t^2-6t+8$. Gia tốc là đạo hàm của vận tốc: $a(t)=v^{\prime }(t)=6t-6$. Tại $t=3$: $a(3)=6\cdot 3-6=12m/s^2$. Kết quả trùng với đáp án A và bảng đáp án mã đề 0211 (câu 1: A).

Đáp án chính thức theo bảng hướng dẫn chấm (mã đề 001, Phần II, Câu 2, trang 9): "ĐĐSS", tức a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai. Lưu ý: về mặt toán học S(3) = -2·27 + 45·9 = 351 m (và v(t) = 6t(15-t) ≥ 0 trên [0;15] nên quãng đường đi được trong 3 giây là 351 m, không phải 216 m; 216 m chính là v(3)). Đề bài in 216 m nhưng bảng đáp án chính thức vẫn đánh dấu ý a) là Đúng — mâu thuẫn nội tại của tài liệu gốc được giữ nguyên, không tự sửa.

Trang lời giải (nguồn in lời giải theo thứ tự phương án khác: A.12, B.17, C.24, D.14, Chọn A) tương ứng với phương án D của đề (D. $12m/s^2$), khớp với bảng đáp án mã đề 111 (Câu 5: D). Ta có: Vận tốc của chuyển động $v(t)=s^{\prime }(t)=3t^2-6t+5$.
Gia tốc của chuyển động $a(t)=v^{\prime }(t)=6t-6$. Khi $t=3\Rightarrow a(t)=12m/s^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc là $v(t)=S^{\prime }(t)=-t^2+3t-2$. Vận tốc giảm khi $v^{\prime }(t)<0$, tức $-2t+3<0\iff t>\frac{3}{2}$. Vậy vận tốc giảm trên khoảng $\left(\frac{3}{2};+\infty \right)$, suy ra $a=\frac{3}{2}=1,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $y=2^x$, ta có $y^{\prime }=2^x\ln 2$. Đạo hàm cấp hai: $y^{\prime \prime }=(2^x\ln 2{)}^{\prime }=2^x\ln 2\cdot \ln 2=2^x{\ln }^{2}2$. Lưu ý $\ln 4=2\ln 2\ne (\ln 2{)}^2$, nên đáp án B sai. Đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=5(3x-7{)}^4\cdot 3=15(3x-7{)}^4$. Sau đó $f^{\prime \prime }(x)=15\cdot 4(3x-7{)}^3\cdot 3=180(3x-7{)}^3$. Tại $x=2$: $f^{\prime \prime }(2)=180(6-7{)}^3=180\cdot (-1)=-180$. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{3x+1}{x+2}=3-\frac{5}{x+2}$ với $x\ne -2$. Suy ra $y^{\prime }=\frac{5}{(x+2{)}^2}$ và $y^{\prime \prime }=-\frac{10}{(x+2{)}^3}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-6x+1$, $y^{\prime \prime }=6x-6$. Cho $y^{\prime \prime }=0\Rightarrow x=1$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc $v(t)=s^{\prime }(t)=3t^2+8t$. Giải $3t^2+8t=11$ với $t>0$: $3t^2+8t-11=0\Rightarrow (t-1)(3t+11)=0\Rightarrow t=1$ (nhận, vì $t>0$). Gia tốc $a(t)=s^{\prime \prime }(t)=6t+8$, nên $a(1)=6+8=14m/s^2$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\frac{1}{3x+2}$. a) Sai: điều kiện $3x+2\ne 0\Rightarrow x\ne -\frac{2}{3}$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \left\{-\frac{2}{3}\right\}$, không phải $\left(\frac{2}{3};+\infty \right)$. b) Đúng: $f^{\prime }(x)=-\frac{(3x+2{)}^{\prime }}{(3x+2{)}^2}=\frac{-3}{(3x+2{)}^2}$. c) Sai: $f^{\prime \prime }(x)=-3\cdot {\left[(3x+2{)}^{-2}\right]}^{\prime }=-3\cdot (-2)(3x+2{)}^{-3}\cdot 3=\frac{18}{(3x+2{)}^3}$, không phải $\frac{-27}{(3x+2{)}^3}$. d) Sai: $f^{\prime \prime }\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{18}{(3\cdot (-1/3)+2{)}^3}=\frac{18}{1^3}=18\ne 27$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $3x+2\ne 0$ nên $D=\mathbb{R}\setminus \{-2/3\}$, không phải $(2/3;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{-3}{(3x+2{)}^2}$ đúng theo quy tắc đạo hàm của hàm hợp.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime \prime }(x)=\frac{18}{(3x+2{)}^3}$, không phải $\frac{-27}{(3x+2{)}^3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime \prime }(-1/3)=\frac{18}{1^3}=18\ne 27$.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc là $v(t)=s^{\prime }(t)=6\cos 2t-4\sin 2t$. Gia tốc là $a(t)=s^{\prime \prime }(t)=-12\sin 2t-8\cos 2t$. Tại $t=\frac{\pi }{4}$: $\sin \frac{\pi }{2}=1$, $\cos \frac{\pi }{2}=0$, nên $a\left(\frac{\pi }{4}\right)=-12\cdot 1-8\cdot 0=-12$ (m/s${}^2$).

(AI giải đề cho tôi)
Bài 7: Cho hàm số $y=\sin 2x$, xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$.

Bước 1: Tính đạo hàm cấp nhất:
$$y^{\prime }=(\sin 2x{)}^{\prime }=2\cos 2x.$$

Bước 2: Tính đạo hàm cấp hai:
$$y^{\prime \prime }=(2\cos 2x{)}^{\prime }=2\cdot (-2\sin 2x)=-4\sin 2x=-4y.$$

Bước 3: Suy ra:
$$4y+y^{\prime \prime }=4y-4y=0.$$

Vậy $4y+y^{\prime \prime }=0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Đpcm.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 6. Tính đạo hàm cấp hai.

a) $y=\frac{-2x^2+3x}{1-x}$, xác định với $x\ne 1$.

Ta biến đổi: $-2x^2+3x=(1-x)(2x-1)+1$, nên
$$y=\frac{(1-x)(2x-1)+1}{1-x}=2x-1+\frac{1}{1-x}.$$

Đạo hàm cấp nhất:
$$y^{\prime }=2+\frac{(1-x{)}^{\prime }}{(1-x{)}^2}=2+\frac{1}{(1-x{)}^2}$$
(vì ${\left(\frac{1}{1-x}\right)}^{\prime }=\frac{-(-1)}{(1-x{)}^2}=\frac{1}{(1-x{)}^2}$).

Đạo hàm cấp hai:
$$y^{\prime \prime }={\left((1-x{)}^{-2}\right)}^{\prime }=-2(1-x{)}^{-3}\cdot (1-x{)}^{\prime }=\frac{2}{(1-x{)}^3}.$$

Vậy $y^{\prime \prime }=\frac{2}{(1-x{)}^3}$ với $x\ne 1$.

b) $y=\sqrt{x^2+2x+3}$, xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ vì $x^2+2x+3=(x+1{)}^2+2>0$.

Đạo hàm cấp nhất:
$$y^{\prime }=\frac{2x+2}{2\sqrt{x^2+2x+3}}=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+3}}=\frac{x+1}{\sqrt{u}},u=x^2+2x+3.$$

Đạo hàm cấp hai (dùng quy tắc thương với $u^{\prime }=2x+2=2(x+1)$):
$$y^{\prime \prime }=\frac{\sqrt{u}-(x+1)\cdot \frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}}{u}=\frac{u-(x+1{)}^2}{u\sqrt{u}}=\frac{(x^2+2x+3)-(x+1{)}^2}{(x^2+2x+3{)}^{3/2}}.$$

Tính tử số: $x^2+2x+3-(x^2+2x+1)=2$.

Vậy $y^{\prime \prime }=\frac{2}{{\left(x^2+2x+3\right)}^{3/2}}$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.

Kiểm tra lại: với a) thử $x=0$: $y=0$, $y^{\prime }=3$, $y^{\prime \prime }=2$ — đúng theo công thức $2/(1-0{)}^3=2$. Với b) thử $x=0$: $y^{\prime }=1/\sqrt{3}$, $y^{\prime \prime }=2/(3\sqrt{3})$ — nhất quán với công thức.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 7: Cho $y=\sin 2x$. Ta có $y^{\prime }=2\cos 2x$ (đạo hàm hàm hợp: $(\sin u{)}^{\prime }=u^{\prime }\cos u$ với $u=2x$). Đạo hàm lần hai: $y^{\prime \prime }=-4\sin 2x$ (vì $(\cos 2x{)}^{\prime }=-2\sin 2x$). Do đó $4y+y^{\prime \prime }=4\sin 2x-4\sin 2x=0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Vậy $4y+y^{\prime \prime }=0$ (đpcm).