Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đạo hàm cấp hai (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời là $v(t)=s^{\prime }(t)=-t^2+36t-35$. Vận tốc giảm khi $v^{\prime }(t)<0$, tức $-2t+36<0\iff t>18$. Kết hợp với 40 giây đầu tiên $(0\le t\le 40)$, vận tốc giảm trên khoảng $(18;40)$, vậy $a=18$, $b=40$. Do đó $P=2b-3a=2\cdot 40-3\cdot 18=80-54=26$.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc $v(t)=s^{\prime }(t)=\frac{t^3}{3}-3t^2+12t+10$. Gia tốc $a(t)=v^{\prime }(t)=t^2-6t+12=(t-3{)}^2+3\ge 3$, đạt giá trị nhỏ nhất bằng $3$ tại $t=3$ (thuộc $(0;20)$). Khi đó $v(3)=\frac{27}{3}-27+36+10=9-27+36+10=28$ (m/s).

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc: $v(t)=s^{\prime }(t)=3t^2-6t+7$. Cho $v(t)=16$: $3t^2-6t+7=16\iff 3t^2-6t-9=0\iff t^2-2t-3=0\iff t=3$ (nhận $t>0$). Gia tốc: $a(t)=v^{\prime }(t)=6t-6$, nên $a(3)=6\cdot 3-6=12$ (m/s²). Kết quả khớp với đáp án nguồn 12.

(AI giải đề cho tôi)
Gia tốc là $a(t)=v^{\prime }(t)=0,003906t^2-0,16058t$. Gia tốc tăng khi $a^{\prime }(t)=v^{\prime \prime }(t)=0,007812t-0,16058>0\iff t>\frac{0,16058}{0,007812}\approx 20,56$ (s). Vậy gia tốc tăng trên khoảng từ $t\approx 20,56$ đến $t=126$, độ dài khoảng thời gian là $126-20,56\approx 105,44\approx 105$ giây.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc là $v(t)=S^{\prime }(t)=-t^2+8t+9$. Vận tốc tăng khi $v^{\prime }(t)=-2t+8>0\iff t<4$. Kết hợp $0\le t\le 10$ (trong 10 giây đầu), vận tốc tăng trên khoảng $(0;4)$, vậy $a=0,b=4$ và $a+b=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc: v(t)=s'(t)=-t^2+8t. a) v(3)=-9+24=15 m/s, đúng. b) s(5)=-125/3+100=175/3≈58,3 m, đúng. c) Gia tốc a(t)=v'(t)=-2t+8, không phải 3t+8, sai. d) Trên [0;6], v(t)=-t^2+8t đạt cực đại tại t=4 với v(4)=16 m/s (v(6)=12), nên vận tốc lớn nhất là 16 m/s chứ không phải 24 m/s, sai. Kết quả khớp đáp án nguồn 'ab'.
a) (AI giải đề cho tôi)
v(t)=s'(t)=-t^2+8t; v(3)=-9+24=15 m/s.
b) (AI giải đề cho tôi)
s(5)=-125/3+4·25=175/3≈58,3 m.
c) (AI giải đề cho tôi)
a(t)=v'(t)=-2t+8, không phải 3t+8.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên [0;6], v(t)=-t^2+8t đạt max tại t=4, v(4)=16 m/s ≠ 24 m/s.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc $v(t)=s^{\prime }(t)=\frac{t^3}{3}-2t^2+12t+7$. Gia tốc $a(t)=v^{\prime }(t)=t^2-4t+12=(t-2{)}^2+8$. Trên $(0;60]$, $a(t)$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $8$ (m/s²) khi $(t-2{)}^2=0$, tức $t=2$ giây. Vậy gia tốc nhỏ nhất tại thời điểm $t=2$ (giây).

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc $v(t)=s^{\prime }(t)=\frac{t^3}{3}-3t^2+12t$. Gia tốc $a(t)=v^{\prime }(t)=t^2-6t+12=(t-3{)}^2+3\ge 3$. Gia tốc nhỏ nhất bằng 3 tại $t=3$ (thuộc khoảng 20 giây đầu). Khi đó $v(3)=\frac{27}{3}-27+36=9-27+36=18$ (m/s).

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời là $v(t)=h^{\prime }(t)=-0,06t^2+4t-40$. Vận tốc giảm khi $v^{\prime }(t)=h^{\prime \prime }(t)=-0,12t+4<0$, tức $t>\frac{4}{0,12}=\frac{100}{3}\approx 33,3$. Vậy trên khoảng $(a;60)$ vận tốc giảm với $a$ nhỏ nhất là $a=\frac{100}{3}\approx 33,3$, khớp với đáp án nguồn 33,3.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời của tàu là $v(t)=h^{\prime }(t)=-0,06t^2+4t-40$. Vận tốc tức thời giảm trên khoảng $(a;60)$ khi $v^{\prime }(t)=h^{\prime \prime }(t)<0$. Ta có $h^{\prime \prime }(t)=-0,12t+4<0\iff t>\frac{100}{3}\approx 33,3$. Vậy $a$ nhỏ nhất là $a=\frac{100}{3}\approx 33,3$, khớp với đáp án nguồn 33,3.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc $v(t)=s^{\prime }(t)=\frac{2}{3}{t}^3-4t^2+10t$. Gia tốc $a(t)=v^{\prime }(t)=2t^2-8t+10=2(t-2{)}^2+2\ge 2$, nhỏ nhất bằng $2$ khi $t=2$ (s). Vận tốc tại thời điểm đó: $v(2)=\frac{2}{3}\cdot 8-4\cdot 4+20=\frac{16}{3}-16+20=\frac{16}{3}$ (m/s). Vậy $a=16,b=3$, $T=2a-3b=32-9=23$.

(AI giải đề cho tôi)
Gia tốc là $a(t)=v^{\prime }(t)=0,003906t^2-0,18058t+23,61$ trên $[0;126]$.

a) Xét $a^{\prime }(t)=0,007812t-0,18058$; $a^{\prime }(t)=0\iff t\approx 23,11$. Với $t<23,11$ thì $a^{\prime }(t)<0$, tức gia tốc giảm từ lúc cất cánh đến $t=23$ (s). Vậy ý a) SAI.

b) Trên $[21,5;23,11]$ ta vẫn có $a^{\prime }(t)<0$ nên gia tốc giảm, không tăng trên toàn khoảng $[21,5;126]$. Vậy ý b) SAI.

c) $a(t)$ là parabol bậc hai hướng lên với đỉnh $t\approx 23,11$ (điểm nhỏ nhất), nên gia tốc lớn nhất đạt tại một đầu mút: $a(0)=23,61$; $a(126)=0,003906\cdot 126^2-0,18058\cdot 126+23,61\approx 62,011-22,753+23,61\approx 62,87feet/s^2$. Vậy ý c) ĐÚNG.

d) $v^{\prime }(t)=a(t)$ có giá trị nhỏ nhất $a(23,11)\approx 0,003906\cdot (23,11{)}^2-0,18058\cdot 23,11+23,61\approx 21,52>0$ trên $[0;126]$, nên $v(t)$ luôn đồng biến (vận tốc luôn tăng). Vậy ý d) ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
$a^{\prime }(t)=0,007812t-0,18058<0$ khi $t<23,11$, nên gia tốc giảm từ lúc cất cánh đến $t=23$ (s).
b) (AI giải đề cho tôi)
Gia tốc chỉ tăng khi $t>23,11$; trên $[21,5;23,11]$ gia tốc còn giảm nên không tăng trên toàn khoảng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$a(t)$ là parabol hướng lên, GTLN tại đầu mút: $a(126)\approx 62,87feet/s^2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$a(t)=v^{\prime }(t)\ge a(23,11)\approx 21,52>0$ trên $[0;126]$ nên vận tốc luôn tăng.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc $v(t)$ thỏa $v^{\prime }(t)=a(t)$. Trên đoạn $[2;3]$ đồ thị $a(t)$ nằm dưới trục hoành ($a(t)<0$) nên $v$ giảm dần; từ $t=3$ đến $t=4$ đồ thị nằm trên trục hoành ($a(t)>0$) nên $v$ tăng dần. Do đó $v$ đạt giá trị nhỏ nhất tại thời điểm $a(t)$ đổi dấu từ âm sang dương, tức là $t=3$. Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Với $y=\sqrt{2x-x^2}$, ta có $y^2=2x-x^2$. Tính $y^{\prime }=\frac{1-x}{y}$. Sau đó $y^{\prime \prime }=\frac{-y-(1-x)y^{\prime }}{y^2}=\frac{-y^2-(1-x{)}^2}{y^3}=\frac{-(2x-x^2)-(1-2x+x^2)}{y^3}=\frac{-1}{y^3}$. Vậy $A=y^3\cdot y^{\prime \prime }=-1$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $v(t)=s^{\prime }(t)=t^3-3t^2+4t+2$ và $a(t)=v^{\prime }(t)=3t^2-6t+4$. a) $a(2)=12-12+4=4$ m/s² → đúng. b) $v(t)=34\Rightarrow t^3-3t^2+4t-32=0$, thử $t=4$: $64-48+16-32=0$ ✓, khi đó $a(4)=48-24+4=28\ne 24$ → sai. c) $a(t)=13\Rightarrow 3t^2-6t-9=0\Rightarrow t=3$ (nhận $t>0$), $v(3)=27-27+12+2=14\ne 12$ → sai. d) Trên $[0;5]$, $a(t)=3(t-1{)}^2+1$ đạt giá trị nhỏ nhất $a=1$ tại $t=1$; khi đó $v(1)=1-3+4+2=4\ne 1$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)=t^3-3t^2+4t+2$, $a(t)=3t^2-6t+4$; $a(2)=12-12+4=4$ m/s².
b) (AI giải đề cho tôi)
$v=34$ tại $t=4$; $a(4)=28$ m/s², không phải 24.
c) (AI giải đề cho tôi)
$a=13$ tại $t=3$; $v(3)=14$ m/s, không phải 12.
d) (AI giải đề cho tôi)
$a(t)=3(t-1{)}^2+1$ nhỏ nhất bằng 1 tại $t=1$; $v(1)=4$ m/s, không phải 1.

(AI giải đề cho tôi)
Với $s(t)=4\cos \left(2\pi t-\frac{\pi }{12}\right)$:

a) $s^{\prime }(t)=4\cdot \left[-\sin \left(2\pi t-\frac{\pi }{12}\right)\right]\cdot 2\pi =-8\pi \sin \left(2\pi t-\frac{\pi }{12}\right)$ → đúng.

b) $s^{\prime \prime }(t)=-8\pi \cos \left(2\pi t-\frac{\pi }{12}\right)\cdot 2\pi =-16{\pi }^2\cos \left(2\pi t-\frac{\pi }{12}\right)$, không phải $+16{\pi }^2$ → sai.

c) Tại $t=5$: $2\pi \cdot 5-\frac{\pi }{12}=\frac{119\pi }{12}=9\pi +\frac{11\pi }{12}$, nên $\sin \left(\frac{119\pi }{12}\right)=-\sin \frac{11\pi }{12}=-\sin \frac{\pi }{12}\approx -0,258819$. Vận tốc $v=s^{\prime }(5)=-8\pi \cdot (-0,258819)\approx 6,505$ (m/s) → đúng.

d) $\cos \left(\frac{119\pi }{12}\right)=-\cos \frac{11\pi }{12}=\cos \frac{\pi }{12}\approx 0,965926$. Gia tốc $a=s^{\prime \prime }(5)=-16{\pi }^2\cdot 0,965926\approx -152,533$ (m/s²), giá trị âm chứ không dương → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$s^{\prime }(t)=-8\pi \sin \left(2\pi t-\frac{\pi }{12}\right)$ theo quy tắc chuỗi.
b) (AI giải đề cho tôi)
$s^{\prime \prime }(t)=-16{\pi }^2\cos \left(2\pi t-\frac{\pi }{12}\right)$, dấu âm.
c) (AI giải đề cho tôi)
$s^{\prime }(5)=-8\pi \sin \frac{119\pi }{12}=8\pi \sin \frac{\pi }{12}\approx 6,505$ m/s.
d) (AI giải đề cho tôi)
$s^{\prime \prime }(5)=-16{\pi }^2\cos \frac{\pi }{12}\approx -152,533$ m/s², không phải $\approx 152,533$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 6 (trang 24): Tính đạo hàm cấp hai.

a) $y=\frac{-2x^2+3x}{1-x}$, xác định với $x\ne 1$.

Theo quy tắc thương:
$$y^{\prime }=\frac{(-4x+3)(1-x)-(-2x^2+3x)(-1)}{(1-x{)}^2}=\frac{(4x^2-7x+3)+(-2x^2+3x)}{(1-x{)}^2}=\frac{2x^2-4x+3}{(1-x{)}^2}.$$

Tiếp tục lấy đạo hàm:
$$y^{\prime \prime }=\frac{(4x-4)(1-x{)}^2-(2x^2-4x+3)\cdot 2(1-x)\cdot (-1)}{(1-x{)}^4}=\frac{(4x-4)(1-x)+2(2x^2-4x+3)}{(1-x{)}^3}.$$

Tử số: $(4x-4)(1-x)=-4x^2+8x-4$; cộng $4x^2-8x+6$ được $2$.

Vậy $y^{\prime \prime }=\frac{2}{(1-x{)}^3}$ với $x\ne 1$.

b) $y=\sqrt{x^2+2x+3}$, xác định với mọi $x$ vì $x^2+2x+3=(x+1{)}^2+2>0$.

$$y^{\prime }=\frac{2x+2}{2\sqrt{x^2+2x+3}}=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+3}}.$$

Đặt $u=x^2+2x+3$, khi đó $y^{\prime }=(x+1)u^{-1/2}$:
$$y^{\prime \prime }=u^{-1/2}+(x+1)\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)u^{-3/2}\cdot (2x+2)=\frac{1}{\sqrt{u}}-\frac{(x+1{)}^2}{u\sqrt{u}}=\frac{u-(x+1{)}^2}{u\sqrt{u}}.$$

Tử số: $x^2+2x+3-(x^2+2x+1)=2$.

Vậy $y^{\prime \prime }=\frac{2}{{\left(x^2+2x+3\right)}^{3/2}}$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc $v(t)=s^{\prime }(t)=3t^2-6t-9$. Vận tốc triệt tiêu khi $3t^2-6t-9=0\iff t^2-2t-3=0\iff t=3$ (nhận, $t\ge 0$) hoặc $t=-1$ (loại). Gia tốc $a(t)=v^{\prime }(t)=6t-6$. Tại $t=3$: $a=6\cdot 3-6=12$ (m/s${}^2$). Vậy gia tốc của chuyển động tại thời điểm vận tốc bị triệt tiêu bằng $12{\text{m/s}}^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc: $v(t)=s^{\prime }(t)=\frac{t^3}{3}-3t^2+14t+15$. Gia tốc: $a(t)=v^{\prime }(t)=t^2-6t+14=(t-3{)}^2+5\ge 5$. Gia tốc đạt giá trị nhỏ nhất bằng $5$ khi $t=3$ (thỏa $t>0$). Khi đó $v(3)=\frac{27}{3}-3\cdot 9+14\cdot 3+15=9-27+42+15=39$ (m/s).

(AI giải đề cho tôi)
v(t)=∫10sin t dt = -10cos t + C. Với v(0)=5: -10+C=5 ⇒ C=15, nên v(t)=15-10cos t. Trên [0, π], v(t) lớn nhất khi cos t = -1, tức t=π (v=25 m/s). Gia tốc tại t=π: a(π)=10sin π=0 (m/s²). Vậy đáp án là 0.